12 2025年江西中考夺分训练(四)圆的证明与计算题-【超级考卷】2025年中考数学（江西专用）

世书中雪动备其47 Beeo 任表8)的卡是：一2：E=6,求核夏城的省 来型目与线线的性质有关的计短与证男 收下图：A春基a0的直特C瑞C0上+-山.以点C得U伊的成CD,丝A溶的国鞋准F自D,道a 225年江西中多夺分得练（四】 A作AE1DFAE,屋展C.C 着2BA-,本∠1的度数】 园的社国与计幕恩 工若和=1山=1求了的长. 、型■与图的性质有关的计掉当使第 有-k 1E本M1△办ai 4如下两-6红是0的州信同南时，博司0的直程.4=5，=：4，点F在A1,连装 a益格A.1和州调进米D46用的无线，升反现州店 学并城长，交8干a-生道以作球，泰显为E 4IDR蛙，△weA△A 下下厘已里2A1'内TD销量K线贸An下AD,究8DT复E,交区)的线AF干春 春AF=:求D的E F.A 山求利A给 EW.0￥学∠LC 建糖，，A,A 2L架AE-l,说-32，重的挂. 来©)中，羊径量直千强Ak,重是为∠A一，及为流4Ah所时气属上一点 1I■四中，米.A将相，/B直的： 411证AF=0不： 人虹下限，点A化内裤中■4∠点汇=4古，4山春制灯销重建.建风于点i,车与亡4的M登 T有r,作rLC,乘是为，交元0PAF 1本证= 21 象下属，已通△A日Ai清直键岭8交于直D.成是8的线道律C.晚是青E, 2如下闲在交和A中，球角置dC,山义于直上.白0作过A.D两点，义鳞的样汇子点广 口有∠a=+且A功-石，本场夜的风 是长CN交8)干白 查传F义AD子点i-得-t I求址，A目=AC (表止，A房基国U箱世线 若4E=,0g=.录AP角图 (已年方》静卡号交型角自高之t为1·，来函A1山所第， 兵型目与铸域的料定有无的计草与证用 I原■下四，应心是么AaC的导被情：的进D心的的检：AB=C,AE,E到D的能长线与A亡 名型回们候的性质与判定的峰骨 核.8是8A的并裤调夕A,雄长里：左，连莲以 的交5： 11门周中：管=D,且森身展4C的中，家星：得9南国罐， 1话证AR是。n因线： 1潮里，若n0是80的线-用山=1，D=.480的型轻及地A目的将 回载∠AC--3,7简比 魔度TAC,能∠r=正4 1表证：AC是8P的吸 红者A1于AP:E=球✉，速W中量指笛西积 与度下复J,存CD1则一点工，使即7=℃ 小1证F是s的句， 口容D是时前中点-A=4,求下容E. 甲实)T有.涯装TA红，汇笑炉于真E 有硬：是⊙0的国压， 2在R△ABC中，n∠EAC=怎。 4F=kA.x,4F=180-90=90(N), ∴.CE=AC·sin∠EAC≈60X0.98=58.8(cm) ÷k=4F=0=45(N/cm). △x2 在R△BEC中.sn∠EBC-能=8.6， 故该弹簧的劲度系数k为45N/cm. ∴.∠ABC≈40. 10.解：(1)设波长入关于频率∫的函数解析式为入= 故∠ABC的度数约为40 (2)如图②，过点A作AF⊥BC于 0 将f=10A=30代人，得30=合解得k=30, 点F, ∴波长入关于频率f的函数解析式为A=30 :D,A,B三点共线，∠DAC 100°，∠ABC=30°， (2当/=5时，= =4. .∠ACF=100°-30°=70° 图2 ∴.此电磁波的波长入为4m 在Rt△AFC中，sin∠ACF=AE AC' 11.解：(1)一次 ∴.AF=AC·sin∠ACF≈50X0.94=47(cm). (2)设这个一次函数的解析式为y=k1+b(k≠0). :当1=0时，y=10:当t=10时，y=30, 在Rt△AFB中，∠ABC=30", ∴.AB=2AF=2×47=94(cm). 10=b, 1k=2, 解得 设AB所在圆的圆心为O,连接OA,OB,则OA=OB. 30=10k+b, b=10, 圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC相切于 ,.y关于1的函数解析式为y=21十10， 点B, (3)当1=110时，y=2×110+10=230. ∴.OB1BC,即∠OBC=90°， 故这种食用油的沸点是230℃. ∴.∠OBA=90°-∠ABC=60, 1 12.解：1)x=5t,y=一2t+124 ,△OBA为等边三角形， ∴.OB=AB=94cm,∠BOA=60°， (②)0依题意，得-+121=0。 .AB的长为50X3.14X94≈98.4(cm. 解得11=0（舍），te=24. 180 故滑轨AB的长度约为98.4cm. 当1=24时，x=120. 故飞机落到水平安全线时，飞机飞行的水平距离为 9.解：(1)如图，过点O作OE⊥AB于 120m. 点E,则OE=4.8. ∠OCB=53, ②设发射平台相对于水平安全线的高度为nm,则飞 .∠C0E=37°. 机相对于水平安全线的飞行商度y=一号+12： :tan∠COE= CE OE =tan37°= 十 由题意可知，125<x<130,.125<51<130,∴.25<t m∠ODB-8, <26. ,CE=OE·tan37°≈4.8×0.75=3.6(cm),DE= 在了=-+12+n中， OE an∠0DB≈0.7污=6.4(cm), 4.8 当1=25，y=0时，n=12.5: ∴.CD=DE-CE=6.4-3.6=2.8(cm). 当1=26，y=0时，n=26, .12.5<n<26. 故CD的长约为2.8cm. 故发射平台相对于水平安全线的高度的变化范围是 (2)如图，由(1)知，∠C0E=37 大于12.5m且小于26m. ,sin∠ODC=sin37° n·cos∠C0E=cos37°=05， OE OC 122025年江西中考夺分训练（四）】 OE=4.8 cm 圆的证明与计算题 OE 4.8 OE 4.8 ..OD= sin37≈0.6 =8(cm),OC= 0s37≈0.80 =6 【详解详析】 (cm), 1.解：(1)∠1（答案不唯-一）△BCD .△x=OD-(OC=8-6=2(cm). (2)证明：：△ABC是等边三角形， 90 中考数学 ∴AC=BC,.AC=BC.∠5=∠6. 又：∠2=∠3， 既瑞溜 ∴.△AED∽△CEB. BM= BC·EB-3E×6=25,CM= BC EC 36 EC (3)四边形OAEB是菱形. 理由：：∠5=∠ABC=60°，∠6=∠CAB=60°，OA= (32) =6. OE=OB. 3√6 .△AOE和△BOE是边长相等的等边三角形， 如图，连接CF,则∠F=∠BAC=45, ∴.OA=AE=BE=OB, .∠MCF=45", ∴.四边形OAEB是菱形. :MF=MC=6 2.解：(1)证明：，四边形EFBG是矩形， .BF=BM+MF=23+√6. ∴.∠E=90. 4.解：(1)证明：，AB为直径，∴.∠ACB=90°. AE-DE BE⊥CD,,∠BED=90 .∠ADE=∠DAE=45, :BC所对的圆周角为∠BDE和∠BAC, ,AB为⊙(O的直径， ∴∠BDE=∠BAC .∠ADB=∠ACB=90°， 在△DBE和△ABC中， .∠BDC=180°-90°-45°=45°， I∠BED=∠BCA, .∠BAC=∠BDC=45, I∠BDE=∠BAC, .∠ABC=90°-∠BAC=45°=∠BAC, .△DBE∽△ABC ..AC=BC. (2)如图，过点C作CG⊥AB,垂足为G. (2)在R△AED中，DE=AE=1,∠E=90°， ..AD=AE+DE=2. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，BD=32,AD=√2， .AB=√BD+AD=25, .AC-BC-AB-/T0, :∠ACB=90°.AC=√5，BC=25, 2 ∴.在Rt△AEC中，由勾股定理，得CE=√AC一AE ..co =3, CGLAB,..AG=AC.cosA=1. .CD=CE-DE=3-1=2. AF=2.∴.FG=AG=1. 3.解：(1)证明：如图，连接DC,则∠BDC=∠BAC=45 .AC=FC,∴∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF, BD⊥BC, :.BD-BF-AB-AF-3. .∠BCD=90°-∠BDC=45°， '△DBE∽△ABC, .∠BCD=∠BDC, ∴.BD=BC. 0需D=3 5 5.解：(1)证明：D是AC的中点，∴CD=DA DE⊥AB,AB是⊙O的直径，DA=AH,CD =AH. .∠ADH=∠DAC,.AF=DF (2)AH=DA,.∠ADH=∠B, (2):∠DBC=90°， sin∠ADH=sin∠B=5」 .CD为⊙O的直径，.CD=2r=6. .可设AE-5x,AD-5.r, ∴.BC=CD·sin∠BDC=6sin45=3√2， ∴.DE=/AD-AE=V(5x)-(5.x)=2√5x. ∴EC=√EB+BC=√6+(32)=36. :∠BMC=∠EBC=90°，∠BCM=∠ECB, .EF-DE-DF-DE-AF-2/5x- .△BCM∽△ECB, 在Rt△AEF中，AE+EF-AF, 答案详解 91 50+(25-=(停)月 由(1)，得∠CEB=30, 在△BEF中，EF=EB. 解得x=0(舍去)，x 25,AD=25, .∠B=∠EFB=75°， 5 .∠AOE=2∠B=150°， .AB= AD=25=10 sin∠B5 又：∠AOG=180°-∠AC=120°， ∴.∠GOE=∠AOE-∠AOG=30° ∴.⊙0的半径为5. ,GE与⊙O相切于点E, 6.解：(1)：AE⊥CD于点E,∴.∠AEC-90°， .OE⊥GE,即∠OEG=90 .∠ACD=∠AEC+∠EAC=90+25=115. 在R△OBG中，tan∠GOE-ES OE (2),CD是⊙O的切线，OC是⊙O的半径， ∴.∠OCD=90. .EG=3tan30°=√3. 在Rt△OCD中，OC=OB=OA=2,OD=OB+BD 9.解：(1)证明：如图，连接OD, =3, OB=(OD,∴.∠OBD=∠ODB. ,DE是⊙O的切线..ODLDE ∴.CD=OD-OC=5. 又DE⊥AC,.OD∥AC, :∠OCD=∠E=90°， .∠C=∠ODB,∴∠OBD=∠C, ∴.OC∥AE, .AB=AC. 0器脚瓷是 CE-26 3 7.证明：(1)：AF是⊙O的切线， (2)如图，连接AD,BF .AF⊥AO,即∠OAF=90 AB是⊙O的直径， ,CE是⊙O的直径， .∠ADB=∠F=90°， ∴.∠CBE=90°， ∴.∠ADC=90°，∴.∠CDE+∠ADE=90. ∴.∠OAF=∠CBE ,DE⊥AC,∴.∠DAE+∠ADE=90°， AF∥BC, .∠DAE=∠CDE ∴∠BAF=∠ABC, an∠DAE-5-2iam∠CDE-S-2 CE ∴.∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC. 即∠OAB=∠ABE, .CE=2DE=12. .AO∥BE AB=AC,AD⊥BC, (2):∠ABE与∠ACE都是AE对应的圆周角， ∴.BD=CD. ∴.∠ABE=∠ACE ∠F=∠CED=90DE/BF票-品-1 AO=CO,∴∠ACE=∠OAC, ∴.EF=CE=12,.AF=12-3=9. .∠ABE=∠OAC 10.解：(1)证明：如图，连接AO并延长交BC于点F,连 由(1)知，∠OAB=∠ABE. 接OC. ∴.∠OAB=∠OAC, ,⊙O是△ABC的外接圆， .AO平分∠BAC ..OB=OC. 8.解：(1)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB, .AB=AC. .AC=BC,.∠AOC=∠BOC .∠AOB=∠AOC, ∠AOC=60°， ∴.∠BOF=∠COF, ∴.∠AOB=2∠A0C=120°. 即OF平分∠BOC, :∠CEB=∠B0C=2∠A0C ∴AOLBC. .∠CEB=30 :AE∥BC 故∠AOB和∠CEB的度数分别为120°，30. .AO⊥AE (2)如图，连接)E. :AO是⊙O的半径， 92 中考数学 ∴AE是⊙O的切线 .AG=GD,.OF⊥AD. (2):AB=AC, .∠OGA=∠FGA=90 .∠ACB=∠ABC=75, 四边形ABCD是菱形， ∴.∠BAC=180°-2X75°=30°. ∴∠GAF=∠BAF, .∠BOC=2∠BAC=60 .∠BAF+∠AFG=∠GAF+∠AFG=90 义，OB=OC,.△BOC为等边三角形， OA=OF,.∠OAF=∠OFA..∠OAF+∠BAF ∴.OC=OB=BC=2. =∠OAB=90°. :∠COD=180°-∠BC=120°， 又：OA为⊙O的半径， ⑦的长为12902-号 ,AB是⊙O的切线 (2)设AG=GD=4a. 11.解：(1)证明：如图①，连接OF. :⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8， .OA:AG=5:4. ∴.OA=5a,∴.0G=√OA-AG=3a, ∴.FG=OF-OG=2a. F :四边形ABCD是菱形 图① CDLAB,.∠CDB=90,.∠B+∠C=90. .BD⊥AC,∴.∠DEA=90°=∠FGA, .OB=OF.EF=EC. .∠ADB=∠AFG, ∴.∠B=∠OFB,∠C=∠EFC, AG_4a=2. tan∠ADB=ian∠AFG-FC2a ∴.∠OFB+∠EFC=90°， 13.解：(1)证明：如图，连接OA. ,∴.∠OFE=180°-（∠OFB+∠EFC)=90°. :BE是⊙O的直径， ,OF是⊙O的半径，.EF是⊙O的切线. .∠BAE=90°，.∠AEB+∠B=90°. (2)如图②，连接AF, :∠EDA与∠B为AE所对圆 周角，∴∠EDA=∠B. 又：∠EAC-∠EDA, ∴∠EAC=∠B. OA=OE. 图② .∠AEO=∠OAE AB-4..0A-OB-TAB-2.CD-AB-4. .∠OAE+∠EAC=∠AEO+∠B=90°. D是OM的中点，0D=AD=20A=1 即∠OAC=90°， ,.OA⊥AC .BD=0B+OD=3. OA是⊙O的半径， .在R1△BDC中，BC=√BD+CD=√3+4平 AC是⊙O的切线. =5. (2)设⊙O的半径为r,则EF=r一2，OA=元 AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90 :ADLBE,BE为⊙O的直径，∴.AE=DE, ∠AFB=∠BDC=90°，∠B=∠B, ∴AE=DE=4. ∴.△BDC△BFA, 在R:△AEF和Rt△AOF中，AFP=AE-EF= 课紧∴凉-BF-号 OA-0F,即4一(r-2)=r2-2, 5 解得r=4(负值已含去)，∴.OA=OE=4=AE, CF=BC-BF=号CF的长为号 .△AOE是等边三角形， 12.解：(1)证明：如图，连接OA, ∴.∠AOE=60 在R△AOC中，tan∠AOC=AC, 04· ,.AC=OA·1an60°=45， 8u=5ar-Saee=号×4X45-60X4 1 360 答案详解 93 86- ∴，BD是⊙O的切线. 14.解：(1)证明：如图所示，连接0C PA是⊙O的切线，∴.∠OAP =90° :BC∥OP,.∠AOP=∠B ∠COP=∠OCB. 图① 图2 OB=OC.∴.∠B=∠OCB,∴.∠AOP=∠COP. (2)如图②，连接OB,过点O作OH⊥AB,垂足为H, 过点B作BN⊥OC,垂足为N, 在△AOP和△COP中， :BD是⊙O的切线， OA=OC. .∴.OBI BD ∠AOP=∠COP, 设⊙O的半径为r,在Rt△OBD中，OB+BD OP=OP. =OD, '.△AOP≌△COP(SAS), ∴r2十3=(r十1)，解得r=4. ∴.∠OCP=∠OAP=90°，即OC⊥PC. ,OC为⊙0的半径， -BN OD-BD OB. ,,PC是⊙O的切线 (2)OA=OC,∠AOP=∠COP, BN=是 .OE⊥AC :AB∥OC, 在R1△AOE中，sin∠OAE=sin∠BAC=OE= .∠ABN=180°-∠ONB=90°， OA 3 ∴.∠BHO=∠ABN=∠ONB=90°， 设OE=x,则OA=OD=3.x,.DE=2x,AE= .四边形ONBH为矩形， OA-OE=√(3.x)-x=22x 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD=AE+DE, a0H=BN=号 即(25)=(22x)2+(2x)2, 在R△OHB中，BH=VOB-OF-9 解得x=1,x2=一1（舍去）， ,OH⊥AB, AE-22. ..AH=BH. ∠OAP=90°， .∠BAC+∠EAP=90°.又.∠APO+∠EAP 六AB=2BH-器 =90°， 132025年江西中考夺分训练（五） .∠BAC=∠APO,∴.sin∠BAC=sin∠APE= 1 3 反比例函数的综合探究 【详解详析】 1.解：(1)y=-x+10 ∴PA=3AE=62. (2)当y=0时，-x+10=0, 15.解：(1)证明：如图①，连接OB,交AC于点M. .x=10,∴.A(10,0) ,·B是弧AC的中点，OB为⊙O的半径， :点C的横坐标为8，当x=8时，y=一8+10=2， ∴.∠A=∠BCA,AC⊥OB,即∠BMC=∠CMO=90. OC∥AB. :C8,2,将点C坠标代人y=兰（>0，得长=2X8 ∴∠A=∠ACO. =16, ∴.∠BCA=∠ACO “反比例函数的解析式为y=15(x>O)。 又"*CM=CM, ∴.△BCM≌△OCM(ASA), 令16=-x+10,解得=8，x,=2,∴D(2,8), ∴.OM=MB. OC=CD. Sm=Sam-Sw=号X10X8- 2 ×10×2 .MC∥BD, =30. .∠OBD=∠OMC=90°，即OB⊥BD, 2.解：(1)一次函数y=kx十b的图象与反比例函数y 94 中考数学