期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（13类题型）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（13类题型） 北师大版七下解答题注重基础考查、强调知识综合运用、突出数学思想方法、联系生活实际、体现思维能力考查，本专题结合使用北师大版地区期末考试题型特点精选细编出两大部分十三类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】整式的乘除运算（4题）.....................................................................................................................1 【题型二】整式的乘除化简求值（4题）.............................................................................................................4 【题型三】概率初步（3题）.................................................................................................................................6 【题型四】变量之间的关系（3题）.....................................................................................................................8 【题型五】相交线与平行线（3题）...................................................................................................................11 【题型六】全等三角形与求值证明（5题）.......................................................................................................14 【题型七】图形的轴对称（3题）.......................................................................................................................19 【题型八】尺规作图与求值证明（3题）...........................................................................................................26 【拓展延升+压轴培优】 【题型九】整式的乘除与几何图形（3题）.......................................................................................................29 【题型十】平行线的性质与判定与认识三角形（3题）....................................................................................35 【题型十一】三角形全等求值与证明探究性问题（3题）................................................................................42 【题型十二】三角形全等与图形的轴对称压轴题（4题）................................................................................50 【题型十三】三角形全等与图形的轴对称动点问题探究（4题）....................................................................58 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【基础夯实+综合提升】 【题型一】整式的乘除运算（4题） ★1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式除以单项式，积的乘方，多项式乘多项式，平方差公式等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． （2）先根据多项式乘多项式，平方差公式法则进行展开，再合并同类项，即可作答． 解：（1）解： ． （2）解： ★2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）计算 （1）计算： （2） 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和整式的四则运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先计算幂的运算，再计算乘法，最后进行加减运算即可得到答案； （2）原式分别根据完全平方公式和平方差公式将括号展开，再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． ★3．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算零指数幂与负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方，再合并同类项即可得； （2）先计算完全平方公式，再计算括号内的整式加减，然后计算单项式除以单项式即可得． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ★4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末） （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（）；（）． 【分析】（）先化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，然后合并即可； （）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型二】整式的乘除化简求值（4题） ★★1．（24-25八年级上·河南新乡·期末） （1）运用平方差公式计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了乘法公式，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式的变形计算即可． 解：（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ★★2．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先化简，再求值： 其中． 【答案】． 【分析】本题主要考查整式的化简求值．首先根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则把括号里的部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，得到：原式，利用乘法分配律把括号外面的分式与括号里面的各项分另相乘，可得结果为，再把整体代入求值即可． 解： ， 当时， 原式． ★★3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式乘法的化简求值，涉及整式的四则混合运算，掌握四则运算法则与运算顺序是解题的关键；先计算整式的乘法，即用完全平方公式与平方差公式展开，单项式乘多项式，再合并同类项，计算除法，最后代入值计算即可． 解： ； 由于， 所以， 原式． ★★4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值： （1），其中． （2）其中，． 【答案】（1），；（2），40 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式乘以多项式法则和合并同类项法则化简，然后把a的值代入计算即可； （2）先根据完全平方公式和合并同类项法则化简，然后把a，b的值代入计算即可． 解：（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 【题型三】概率初步（3题） ★★1．（23-24七年级下·四川成都·期末）某路口东西方向交通信号灯的设置时间为∶ 红灯20秒，绿灯27秒，黄灯m秒．张师傅随机地由东向西开车到达该路口． （1）张师傅遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？为什么？ （2）若张师傅遇到红灯的概率为，则黄灯每次开启多少秒？ 【答案】（1）绿灯，原因见分析；（2）黄灯每次开启3秒 【分析】本题考查概率的意义，已知概率求数量： （1）根据概率的意义，进行说明即可； （2）根据红灯的概率，结合概率公式进行求解即可． 解：（1）解：张师傅遇到绿灯的概率大，原因是：绿灯时长比红灯的时长要长； （2）解：由题意，得：， 解得：； 故黄灯每次开启3秒． ★★2．（24-25七年级下·全国·期末）在一个不透明的口袋中装有个红球，个白球，这个球除颜色外其他完全相同 （1）从口袋中随机摸出个球，请写出在这一过程中的一个必然事件和一个不可能事件； （2）若从口袋中随机摸出个球，试求摸到红球的概率； （3）若再往不透明的口袋中装入若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，从中摸出个球．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，求口袋中黑球大约有多少个． 【答案】（1）必然事件：从口袋中随机摸出个球，至少有个是红球；不可能事件：从口袋中随机摸出个球，都是白球（答案不唯一）；（2）；（3）个． 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．随机事件可能发生也可能不发生的事件；必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是不会发生的事件． 根据必然事件和不可能事件的定义写出一个必然事件和一个可能事件即可； 口袋中有个白球和个红球，从口袋中随机摸出一个球共有种等可能的情况，其中是红球的情况有种，所以随机摸出个红球的概率是； 通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，说明口袋中红球的数量占小球总数的，设口袋中黑球约有个，可以列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 解：（1）解：必然事件：从口袋中随机摸出个球，至少有个是红球； 不可能事件：从口袋中随机摸出个球，都是白球； （2）解：从口袋中随机摸出一个球共有种等可能的情况，其中是红球的情况有种， 随机摸出个红球的概率是； （3）解：设口袋中黑球约有个， 根据题意可得：， 解得：， 口袋中黑球大约有个． ★★3．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，有一个可以自由转动的转盘，转盘被平均分成等份，每个扇形区域内分别标有这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字． 请回答下列问题： （1）随机转动转盘，转出数字是______事件，转出数字是______事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个填空） （2）随机转动转盘，转出的数字是奇数的概率是______； （3）现有两张分别写有和的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，将转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，则这三条线段能构成三角形的概率是多少？请说明理由． 【答案】（1）不可能，随机；（2）；（3），见分析． 【分析】（）根据“不可能事件”“随机事件”“必然事件”的意义进行判断即可； （）转动转盘一次，共有种等可能出现的结果情况，其中转出的数字是奇数的有种，根据概率公式即可求解； （）转动转盘可得到这六个数字中的一个，与卡片中的两个数字作为三条线段的长度，共有种等可能的情况，其中能构成三角形的有种，根据概率公式即可求解； 本题考查了随机事件，概率的计算，三角形三边关系，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）∵转盘被平均分成等份，分别标有这六个数字，没有数字， ∴“转出数字”是不可能的，转出数字是可能的， 故答案为：不可能事件，随机事件； （2）转动转盘一次，共有种等可能出现的结果情况，其中转出的数字是奇数的有种， ∴转出的数字是奇数的概率是， 故答案为：； （3）这三条线段能构成三角形的概率是，理由如下： 设转出的数字是，则共有种等可能的结果， ∵能构成三角形， ∴， ∴转盘中符合结果数为种， ∴这三条线段能构成三角形的概率是． 【题型四】变量之间的关系（3题） ★★1．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）五一期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的） （1）求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）的关系式； （2）当千米时，求剩余油量的值． 【答案】（1）每千米耗油量为升；；（2）升 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，读懂题中变量间的关系是解题的关键． （1）根据平均每千米的耗油量总耗油量行驶路程，即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量总油量平均每千米的耗油量行驶路程，即可得出关于的关系式； （2）将代入（1）中关系式，求出值即可． 解：（1）解：根据题意可知，汽车行驶150千米时，耗油量为升 则该车平均每千米的耗油量为（升） 答：该车平均每千米的耗油量为升，剩余油量与行驶路程的关系式为． （2）解：由（1）可知， 则当时， 答：当千米时，剩余油量的值为升． ★★2．（23-24七年级下·四川成都·期末）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）该情境中的自变量是 ，因变量是 ． （2）小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 米； （3）当小红骑车距离舅舅家300米时，直接写出小红所用时间． 【答案】（1）自变量是：小红离家所用时间，因变量是：小红离家的距离；（2）多走1200米；（3）4分钟或分钟 【分析】本题考查了利用图象表示常量与变量之间的关系； （1）根据变量定义可得自变量与因变量分别为时间和路程； （2）根据题意以及图象可知，小红途中返回给表弟买礼物多走了两个米； （3）分开始去往和返回后去往两种情况解答即可． 解：（1）解：该情境中的自变量是：小红离家所用时间，因变量是：小红离家的距离； 故答案为：小红离家所用时间，小红离家的距离； （2）小红途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了：（米）． 故答案为：； （3）当小红骑车距离舅舅家300米时，即路程为米时的时间为分钟， 第分钟至第分钟时的速度为米/分钟， （分钟） 答：小红骑车距离舅舅家300米时，小红所用时间为4分钟或分钟 ★★3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点D在斜边上，，设，．    （1）根据表格的数据，猜想y与x的数量关系为：______________ x 20 40 60 80 … y 10 20 30 40 … （2）在图1的条件下，点E在边上，且，如图2．求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角并结合三角形的内角和定理表示和的度数是本题的关键． （1）先根据等边对等角可得，再根据三角形的内角和定理可得的度数，从而可得； （2）先根据直角三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质和角的差可得结论． 解：（1）解：猜想，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，中，， ， ， ， ． 【题型五】相交线与平行线（3题） ★★1．（22-23八年级上·广东广州·阶段练习）已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． （1）求证：； （2）试探究与的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行． （2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，则，将等角代换，即可得出与的数量关系． 解：（1）证明：、平分、， ，； ， ； 同旁内角互补，两直线平行 （2）解：， ， 平分， ， ． ． ★★2．（21-22八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ★★3．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图①，和都是直角． （1）如果，那么_________． （2）找出图①中除和之外相等的角：如果，它们还会相等吗？ （3）如果变小，那么如何变化？请说明理由． （4）在图②中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（添上适当的字母，明确回答出与相等的角） 【答案】（1）；（2）中相等的锐角是：；如果，它们还会相等，理由见分析；（3）变大，理由见分析；（4）画图见分析，． 【分析】本题主要考查了垂直的定义，余角的概念，画垂线； （1）根据，即可求解； （2）结合图形，利用余角的性质进行分析即可； （3）由（1）可得，结合题意，即可求解； （3）先用尺规画直角，再利用等角的余角相等进行求解即可； 解：（1）解：∵和都是直角． ∴， 故答案为：． （2）中相等的锐角是：， 会相等，理由： ∵和都是直角， ∴，， ∴， 如果，它们仍相等； （3）由（1）可得 ∴如果变小，那么变大， （4）如图， 以为边画，再以为边画，由同角的余角相等得． 【题型六】全等三角形与求值证明（5题） ★1．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）8 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据题意和平行线的性质得到，，，然后证明即可； （2）首先得到，，然后由全等三角形的性质得到，进而求解即可． 解：（1）证明：∵E是边的中点， ∴ ∵ ∴， ∴； （2）解：∵E是边的中点，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． ★2．（24-25七年级上·山东泰安·期末）在和中，与交于点E，且． （1）请说明：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． （1）先证明，推出，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合三角形的外角，求解即可． 解：（1）解：在和中， ， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2） ∴， ． ★★3．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F． （1）求证：； （2）若的面积为6，的面积为2，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）10． 【分析】（1）根据三角形中线的定义得到，再根据垂直的定义得到，则可根据“”判断，从而得到； （2）先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 解：（1）证明：，， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 是的中线， ， 又， ， ． 【点拨】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． ★★4．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，已知，点是上一点，平分交直线于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定的方法是解题的关键． （1）根据，，平分，推出，，运用证明； （2）根据，推出，再利用已知条件求出的长． 解：（1）证明： 平分， ， ， ． 在和中， （2）解：， 在和中， ， ， ． ， ． ★★5．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，分别是的高和角平分线． （1）若，求的度数； （2）若，直接写出的表达式（用α、β表示）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． （2）同（1）即可得出结果． 解：（1）解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ； （2）解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ； 故答案为：． 【题型七】图形的轴对称（3题） ★★1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，，运用角角边即可求证； （2）根据全等的性质，线段和差得到，，由此即可求解． 解：（1）证明：， ， 又， ． （2）解：， ， ， ， ， ． ★★2．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，过点C作于点D，在的延长线上取点E，连接，使． （1）求证：； （2）探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）先证明，，从而可得结论； （2）如图，在上截取，连接，证明，再证明，结合全等三角形的性质可得结论. 解：（1）证明： （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接． 由（1）得， 在和中 . 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质；作出合适的辅助线是解本题的关键. ★★3．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． （1）如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见分析；（2），见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，，进一步可证． 解：（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示．    平分， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ，平分， ， ， ，， ， ． ★★4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，点D是的中点，点E是线段上一点．于点F，交于点G． （1）如图1，求证： ①； ②． （2）如图2，过点A作交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点M，请在图中找出与相等的线段，并证明． 【答案】（1）①见分析；②见分析；（2），见分析 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）①先证明，再进一步可得；②由①可得，，证明，即可得出； （2）根据垂直的定义得出，再根据，，得出，进而证明出． 解：（1）证明：①∵点D是中点，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 又∵， 在和中，， ∴， ∴． ★★5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． （1）若，求的度数． （2）若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】（1）；（2）12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 解：（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 【题型八】尺规作图与求值证明（3题） ★★1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，小明利用尺规作图过程如下： 第一步：以B为圆心，以任意长为半径画弧，交于点M，交于点N； 第二步：以N为圆心，以______长为半径画弧，交已画弧于点E； 第三步：作射线． 可得： （1）补全第二步横线部分的内容； （2）若，_______度； （3）若，与互补，求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了尺规作图、角度的运算、角的和差、补角等知识点，掌握尺规作图是解题的关键． （1）根据运用尺规作图作一个角等于已知角的方法即可解答； （2）根据角度制的转换即可解答； （3）由和可求得，再根据补角的定义即可解答． 解：（1）解：由尺规作图可得：以N为圆心，以长为半径画弧，交已画弧于点E． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ★★2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E，连接，过C点作，垂足为F．不添加辅助线找出图中与相等的线段，然后再加以证明． （1）结论：______． （2）证明过程： 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识； （1）根据题意结合图形得； （2）根据垂直的定义和平行线的性质，可得，，即可证得，据此即可证明． 解：（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ★★3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图1，，要求用尺规在上取一点，使得平分，下面是两位同学的做法． 小明：如图，以点为圆心，适当长度为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接并延长交于点． 小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图，以为圆心为半径画弧，与的交点就是点． （1）请证明小明的做法是正确的； （2）小红的做法正确吗，请说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）正确，理由见分析． 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明可得结论； （）利用等边对等角，平行线的性质证明即可. 解：（1）证明：如图中，连接，， 由作图可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：正确，理由如下： 如图中，连接， 由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【拓展延升+压轴培优】 【题型九】整式的乘除与几何图形（3题） ★★★1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． （1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ． （2）观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决问题：若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）16 【分析】本题考查了矩形的拼图，正方形的性质和判定，分割法求图形的面积，公式的应用，熟练掌握图形的性质和特点，明确两幅图中空白区域面积的计算方法及它们面积相等是解题的关键. （1）图2的阴影部分的正方形的边长等于小长方形长减去宽； （2）图2大正方形边长为，面积为，阴影小正方形的边长为，面积， 4个长方形的面积和为，大正方形面积等于小正方形面积加4个小长方形面积； （3）根据（2）中结论有，把代入计算即得． 解：（1）解：图2的阴影部分的正方形的边长； 故答案为：； （2）解：∵图2整体上是边长为的正方形， ∴面积为， ∵中间阴影小正方形的边长为， ∴面积， ∵空白4个长方形的面积和为， ∴有； （3）解：∵， ∴， 即， ∴． ★★★2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号） ①；②；③． （2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式． 【创新设计】 （3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式． 【答案】（1）①②③；（2）；（3）图见分析，写出的关于的等式是： 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据拼图得出大正方形、小正方形以及长方形的边长之间的关系、面积之间的关系，逐项进行判断即可； （2）用代数式表示图形中大、小正方形面积，长方形的面积由面积之间的和差关系可得答案； （3）画出相应的拼图，再根据面积之间的和差关系即可得出答案． 解：（1）图2中，大正方形的边长，因此①正确； 图2中大正方形的边长，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积为，由拼图可知，即，因此②正确； 由拼图可知，，所以，即，因此③正确； 故答案为：①②③； （2），理由如下： 图3中大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为， 因此有，即； （3）画图：如图所示（画图不唯一）， 根据拼图，可得关于，的等式是：． ★★★3．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：______（只填序号）． 任务2 如图，若将个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积． 方法1：______；方法2：______；你可以得到一个关于，，的等式是：______． 任务3 如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为，．若，求的值． 【答案】任务1，；任务，，，；任务， 【分析】本题考查了平方差公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的验证是解题的关键， 任务，根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； 任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形，根据正方形的面积公式及三角形的面积公式即可得解； 任务，如图，连接，由得，进而得 解：任务，图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故答案为：； 任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形， 方法： ， 方法： ， ∴， ∴， ∴可以得到一个关于，，的等式是； 故答案为：，，； 任务，如图，连接， ∵ ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴ 【题型十】平行线的性质与认识三角形（3题） ★★★1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，某段铁路两旁安置了，两盏可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接， ，平分交于点，为上一点，连接． （1）__________； （2）如图，为上一点，连接．当，时，试说明：； （3）探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）或或或或． 【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可； （）由可得，再利用平行线的性质可得，即可求证； （）分五种情况画图，列出关于的式子即可解答即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，当时，则，如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴； 当时，则，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若转射线后回旋， 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，则，如图， 由题意得，， ， ∴， ∴ ∴； 当时，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或或或或． ★★★2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． （1）如图1，与的数量关系是________，理由是________； （2）如图1，点在上，若，求的度数； （3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方且在直线右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出所有可能的值． 【答案】（1）；同角的余角相等；（2）；（3）或或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，准确识图，理解垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）依题意得，，由此可得与的数量关系及理由； （2）由得，进而可得，然后再由三角形内角和定理可得的度数； （3）根据点在直线的上方且在直线右侧，则有以下三种情况：①时，过点作则，进而得，，由此可得的度数；②时，则，由此可得的度数；③当时，则，由此可得的度数，综上所述即可得出所有可能的值． 解：（1）依题意得：，， ，， （同角的余角相等）， 故答案为：；同角的余角相等． （2）， ， ， ， ， ； （3）点在直线的上方且在直线右侧， 当这两块三角尺存在一组边互相平行时，有以下三种情况： ①时，过点作，如图2所示： ， ，， ， ； ②时，如图3所示： ， ； ③当时，如图4所示： ， ． 综上所述：所有可能的值或或． ★★★3．（22-23七年级下·江西南昌·期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则_______度，______度，______度； （2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； （3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 【答案】（1），90，35；（2）；（3）判断（2）中的结论不成立，或或． 【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可，掌握三角形内角和定理是解题的关键； （2）猜想：，利用三角形内角和定理即可解决问题．掌握三角形内角和定理是解题的关键； （3）分、、，分别画出图形并理由三角形内角和定理即可解答．掌握分类讨论思想成为解题的关键． 解：（1）解：， ， 又， ， 故答案为125，90，． （2）解：猜想：理由如下： 在中，， ，， ， ， 又在中，， ， ， ． （3）解：（2）中的结论不成立．理由如下： ①如图中，结论： 理由：设交于   ， ， ②如图中，结论：证明方法类似①    ③如图中，结论：    理由：，， ， 【题型十一】三角形全等求值与证明探究性问题（3题） ★★★1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）综合与实践 （1）操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． （2）开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． （3）拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论成立．证明见分析；（3）证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得． 解：（1）解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）解：仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ∴， 在和中， ， ， ． ★★★2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）证明见分析；（4）6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由（1）可知，由（2）可知，进而可得，，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论； （4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 解：（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，， ； （4）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为6． ★★★3．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）【初步思考】    （1）如图1．在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 小阳发现此题是证明线段的和（差）问题，根据证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点H，使，连接，易证，得出①_____，． 第二步：，得出，所以②______． 第三步：易证，得出③______，于是④_______，即． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC，CD上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形是边长为7的正方形，，求的周长． 【答案】（1），，，；（2）（1）中的结论仍然成立，见分析；（3）14 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． （1）延长至点H，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论； （2）延长至，使，连接，仿照（1）的证明方法解答； （3）在上截取，连接，仿照（2）的证明方法解答． 解：（1）如图，延长至点H，使，连接，    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，，； （2）（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图2，延长至，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵四边形为正方形， ∴，， ∴延长至G，使，连接，如图，    同理，， ∵， ∴， ∴， 在中中， ， ∴， ∴， 而， ∴， ∴的周长． 【题型十二】三角形全等与图形的轴对称压轴题（4题） ★★★1．（24-25八年级上·山西长治·期末）综合与实践 【操作实践】 如图1，数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”（有两组邻边分别相等的四边形）道具，其中，，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接，． （1）试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【实践应用】 （2）小组成员尝试使用这个“筝形”道具检测教室门框是否水平．如图2，，，在道具上的点A处绑一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，道具上的点B，D紧贴门框，线绳恰好经过点C．由于是铅锤线，所以是水平的，即门框是水平的．在上述的判断过程中，得出的依据是_______．（填字母） A．等角对等边            B．垂线段最短            C．等腰三角形“三线合一” 【实践拓展】 （3）如图3，在中，，．若E，F分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，求的度数． 【答案】（1），证明见分析；（2）C；（3）的度数为或． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形“三线合一”性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意证明出，即可得到； （2）根据等腰三角形“三线合一”性质求解即可； （3）首先根据三角形内角和定理求出，然后分两种情况讨论①当，；②当，，然后根据全等三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可． 解：（1）猜想：，理由如下： ∵，，， ∴ ∴； （2）由（1）同理可得：， ∵，， ∴是等腰三角形 ∴，依据是等腰三角形“三线合一”性质 故选：C； （3）∵，， ∴ 四边形为“筝形”， ∴①当，时，如图， 四边形为“筝形”， ∴ ∴ ∴； ②当，时，如图， 四边形为“筝形”， ∴ ∴ ∴； 综上：的度数为或． ★★★2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）综合与实践： 如图1，直线与直线相互垂直，垂足为点O，． 初步感知： （1）如图1，C为延长线上一点，连接．过点A作，垂足为点H，交于点P． ①求证：； ②若，试求的面积． 拓展延伸： （2）如图2，若点D为的中点，点M为延长线上一动点，连结，过点D作交直线于点N，当M点在延长线上运动的过程中，的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）①证明见分析；②；（2）的值是为定值，定值为9 【分析】（1）①先证明，得出，再根据“”证明 即可； ②根据全等三角形的性质求出，得出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，（三线合一），证明，得出，根据，求出结果即可． 解：（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴． （2）的值是否为定值．理由如下： 连接， ∵， ∴，（三线合一）， ∴．即， ∵， ∴．即． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵，， 又∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴ ． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． ★★★3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出． （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明． 解：证明：（1）点是的中点， ， ， ， ． ， 垂直平分 ， ， 在 中， ， ． （2）， 证明如下： 如图，延长至点，使 ，连接 ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ★★★4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 解：证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 【题型十三】三角形全等与图形的轴对称动点问题探究（4题） ★★★1．（20-21八年级上·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点为射线上一动点，连接，作，交射线于点，点是线段，垂直平分线的交点． （1）当点在边上时，______． （2）①当点，重合时，作，交的垂直平分线于点，则______． ②当点在线段上，或的延长线上时，的度数是否为定值？若是，请写出这个数，并选择点在线段上时，通过计算进行说明；若不是，请说明理由． （3）如图2，把等边三角形沿着折叠，得到，且点落在点处，连接．当时，证明平分，并在内确定一点，使点到三边的距离相等（不写作法，只保留作图痕迹）． 【答案】（1）30°；（2）①90°；②，理由见详解；（3）见详解 【分析】（1））由题意可得如图，由题意易得，，进而可得，，然后问题可求解； （2）①由题意可作如图，由（1）得，，进而可得，然后问题可求解； ②连接OA、OE、OP，由题意易得，则有，设，进而可得，然后问题可求解； （3）由题意易得，进而可得，然后可得，则问题可证，由题意可得点T为内角角平分线的交点． 解：（1）由题意可得如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵点是线段，垂直平分线的交点， ∴， ∴△是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 故答案为30°； （2）①由题意可作如图所示： ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵垂直平分PE， ∴， ∴， ∴， 故答案为90°； ②的度数是定值，为90°，理由如下： 连接OA、OE、OP，如图所示： ∵点是线段，垂直平分线的交点， ∴， ∴， 设， ∴， 在△中，由三角形内角和定理可得：， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）证明：∵等边三角形沿着折叠，得到， ∴， ∴AC与BD互相垂直且平分， ∴AC平分∠DAB， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 若要在内确定一点，使点到三边的距离相等，则可知点是内角的角平分线的交点，如图所示： 【点拨】本题主要考查等边三角形的性质、角平分线的性质定理与判定及轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质、角平分线的性质定理与判定及轴对称的性质是解题的关键． ★★★2．（20-21七年级上·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点D作射线DE交AB于点E，使∠ADE=∠B． （1）如图1，判断∠BDE与∠CAD的大小关系，并说明理由； （2）如图2，当∠DAE为直角时，请探索∠ADE与∠CAD的数量关系． 【答案】（1）∠BDE=∠CAD，理由见分析；（2）2∠ADE+∠CAD=90o，理由见分析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，平角的性质、三角形内角和定理，通过等量代换进行证明； （2）根据三角形内角和定理及（1）中的结论，通过等量代换进行证明猜想的数量关系． 解：（1）∠BDE=∠CAD； 理由如下： 因为AB=AC， 所以∠B=∠C． 因为∠ADE=∠B， 所以∠ADE=∠C． 因为∠BDE+∠ADE+∠ADC=180o， ∠CAD+∠C+∠ADC=180o， 所以∠BDE=∠CAD； （2）因为∠DAE为直角， 所以∠B+∠ADB=90o． 即∠B+∠BDE+∠ADE=90o． 由（1）知∠BDE=∠CAD， 又因为∠ADE=∠B， 所以2∠ADE+∠CAD=90o． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，平角性质，解题的关键是掌握相关的知识点，通过等量代换的思想间接证明． ★★★3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形中，，，，分别是边，上的动点，且． （1）如图1，当，分别在线段，上时， ①填空：若设，则之间的数量关系是______； ②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明． 【答案】（1）①．②猜想：．证明见分析；（2）（1）②中猜想不成立，．证明见分析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）①根据四边形内角和是求解即可； ②利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）在上截取，连接，利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 解：（1）解：（1）①四边形中，， ∴ ∵． ∴ ∵， ∴. 故答案为：． ②猜想：． 证明：延长至点，使，连接． ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）解：（1）②中猜想不成立，． 证明：如图，在上截取， ， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． ． 在和中， ， ， ， ， ． ★★★4．（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． （1）当t＝3秒时，BP＝ cm； （2）当t为何值时，连结CP，DP，△CDP为等腰三角形； （3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等． 【答案】（1）2；（2）或或；（3）2.5或4.5或7.5或9.5 【分析】（1）当t＝3秒时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度； （2）根据题意，点P分别在AB、BC、 CD和AD 上运动，当P在CD上时，不存在三角形，所以要使△CDP为等腰三角形，则点P的位置可以有三个，以此为前提可确定点P位置，根据点P运动的位置，即可计算出时间． （3）根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间． 解：（1）当t＝3秒时，点P走过的路程为：2×3＝6， ∵AB＝4， ∴点P运动到线段BC上， ∴BP＝6−4＝2cm， 故答案是：2； （2）①当P在AB上时，△PCD为等腰三角形， ∴ ， 在矩形ABCD中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ②当P在BC上时，△DCP为等腰三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ③当P在AD上时，△DCP为等腰三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述或或时，△CDP为等腰三角形． （3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝，DQ＝5， ∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ， ①当点P运动到时，C＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CD， ∴点P的路程为：AB＋B＝4＋1＝5， ∴t＝5÷2＝2.5s， ②当点P运动到时，B＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB， ∴点P的路程为：AB＋B＝4＋5＝9， ∴t＝9÷2＝4.5s， ③当点P运动到时，A＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB， ∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋1＝15， ∴t＝15÷2＝7.5s， ④当点P运动到时，即P与Q重合时，D＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CD， ∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋5＝19， ∴t＝19÷2＝9.5s， 综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$期末数学复习专题三(解答题)(综合压轴篇)(13类题型) 北师大版七下解答题注重基础考查、强调知识综合运用、突出数学思想方法、联系生活实际、体现思维能力考查,本专题结合使用北师大版地区期末考试题型特点精选细编出两大部分十三类题型进行高效复习,供大家参考使用! 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】整式的乘除运算(4题).....................................................................................................................1 【题型二】整式的乘除化简求值(4题).............................................................................................................2 【题型三】概率初步(3题).................................................................................................................................2 【题型四】变量之间的关系(3题).....................................................................................................................3 【题型五】相交线与平行线(3题).....................................................................................................................4 【题型六】全等三角形与求值证明(5题).........................................................................................................5 【题型七】图形的轴对称(3题).........................................................................................................................6 【题型八】尺规作图与求值证明(3题).............................................................................................................8 【拓展延升+压轴培优】 【题型九】整式的乘除与几何图形(3题).........................................................................................................9 【题型十】平行线的性质与判定与认识三角形(3题)....................................................................................12 【题型十一】三角形全等求值与证明探究性问题(3题)................................................................................13 【题型十二】三角形全等与图形的轴对称压轴题(4题)................................................................................15 【题型十三】三角形全等与图形的轴对称动点问题探究(4题)....................................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面 代表基础夯实, 代表巩固提升, 代表拓展培优 【基础夯实+综合提升】 【题型一】整式的乘除运算(4题) 1.(24-25八年级上 河南新乡 期末)计算: (1); (2). 2.(24-25八年级上 河南驻马店 期末)计算 (1)计算: (2) 3.(24-25八年级上 湖北荆州 期末)计算: (1) (2) 4.(24-25八年级上 山西吕梁 期末) (1)计算:; (2)计算:. 【题型二】整式的乘除化简求值(4题) 1.(24-25八年级上 河南新乡 期末) (1)运用平方差公式计算:; (2)已知,求的值. 2.(24-25八年级上 湖北孝感 期末)先化简,再求值: 其中. 3.(24-25八年级上 内蒙古呼伦贝尔 期末)先化简再求值:,其中. 4.(24-25八年级上 河南南阳 期末)先化简,再求值: (1),其中. (2)其中,. 【题型三】概率初步(3题) 1.(23-24七年级下 四川成都 期末)某路口东西方向交通信号灯的设置时间为∶ 红灯20秒,绿灯27秒,黄灯m秒.张师傅随机地由东向西开车到达该路口. (1)张师傅遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大?为什么? (2)若张师傅遇到红灯的概率为,则黄灯每次开启多少秒? 2.(24-25七年级下 全国 期末)在一个不透明的口袋中装有个红球,个白球,这个球除颜色外其他完全相同 (1)从口袋中随机摸出个球,请写出在这一过程中的一个必然事件和一个不可能事件; (2)若从口袋中随机摸出个球,试求摸到红球的概率; (3)若再往不透明的口袋中装入若干个黑球,它们除颜色外其他完全相同,从中摸出个球.通过多次摸球试验发现,摸到红球的频率稳定在附近,求口袋中黑球大约有多少个. 3.(23-24七年级下 广东河源 期末)如图,有一个可以自由转动的转盘,转盘被平均分成等份,每个扇形区域内分别标有这六个数字,转动转盘,当转盘停止转动后,指针指向的数字即为转出的数字. 请回答下列问题: (1)随机转动转盘,转出数字是_事件,转出数字是_事件;(从“随机”,“必然”,“不可能”中选一个填空) (2)随机转动转盘,转出的数字是奇数的概率是_; (3)现有两张分别写有和的卡片,随机转动转盘,转盘停止转动后,将转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度,则这三条线段能构成三角形的概率是多少?请说明理由. 【题型四】变量之间的关系(3题) 1.(23-24七年级下 山东菏泽 期末)五一期间,小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游,出发前,汽车油箱内储油45升,当行驶150千米时,发现油箱剩余油量为30升.(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的) (1)求该车平均每千米的耗油量,并写出剩余油量(升)与行驶路程(千米)的关系式; (2)当千米时,求剩余油量的值. 2.(23-24七年级下 四川成都 期末)小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客,当她骑了一段路时,想起要买个礼物送给表弟,于是又折回到刚经过的一家商店,买好礼物后又继续骑车去舅舅家.如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题: (1)该情境中的自变量是 ,因变量是 . (2)小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 米; (3)当小红骑车距离舅舅家300米时,直接写出小红所用时间. 3.(23-24七年级下 广东佛山 期末)如图,在中,,点D在斜边上,,设,. (1)根据表格的数据,猜想y与x的数量关系为:_ x 20 40 60 80 … y 10 20 30 40 … (2)在图1的条件下,点E在边上,且,如图2.求的度数. 【题型五】相交线与平行线(3题) 1.(22-23八年级上 广东广州 阶段练习)已知:如图所示,和的平分线交于,交于点,. (1)求证:; (2)试探究与的数量关系. 2.(21-22八年级上 广东揭阳 期末)如图,已知,. (1)求证:; (2)若平分,于点E,,求的度数. 3.(24-25七年级上 四川成都 期末)如图①,和都是直角. (1)如果,那么_. (2)找出图①中除和之外相等的角:如果,它们还会相等吗? (3)如果变小,那么如何变化?请说明理由. (4)在图②中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角.(添上适当的字母,明确回答出与相等的角) 【题型六】全等三角形与求值证明(5题) 1.(23-24七年级下 广东清远 期末)如图,在中,D是边上一点,E是边的中点,作交的延长线于点F. (1)证明:; (2)若,,,求的长. 2.(24-25七年级上 山东泰安 期末)在和中,与交于点E,且. (1)请说明:; (2)当时,求的度数. 3.(24-25七年级上 山东东营 期末)如图,分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线,垂足分别为E、F. (1)求证:; (2)若的面积为6,的面积为2,求的面积. 4.(24-25七年级上 山东泰安 期末)如图,已知,点是上一点,平分交直线于点,. (1)求证:; (2)若,求的长. 5.(23-24七年级下 四川内江 期末)如图,在中,分别是的高和角平分线. (1)若,求的度数; (2)若,直接写出的表达式(用 、 表示). 【题型七】图形的轴对称(3题) 1.(24-25八年级上 陕西渭南 期末)如图,在中,,点在边上,点在边上,连接. (1)求证:; (2)若,求的长. 2.(24-25八年级上 广东珠海 期末)如图,在中,,过点C作于点D,在的延长线上取点E,连接,使. (1)求证:; (2)探究、、之间的数量关系,并说明理由. 3.(24-25八年级上 广西贺州 期末)如图,平分,为上的一点,的两边分别与,相交于点、. (1)如图1,若,,过点作于点,作于点,请判断与的数量关系,并说明理由; (2)如图2,若,,判断线段、、的数量关系,并说明理由. 4.(24-25八年级上 安徽合肥 期末)在中,,,点D是的中点,点E是线段上一点.于点F,交于点G. (1)如图1,求证: ①; ②. (2)如图2,过点A作交的延长线于点H,的延长线交的延长线于点M,请在图中找出与相等的线段,并证明. 5.(24-25八年级上 山东聊城 期末)在中,垂直平分,连接,平分. (1)若,求的度数. (2)若,的周长比的周长多8,的面积为6,则三角形的面积为多少? 【题型八】尺规作图与求值证明(3题) 1.(24-25七年级上 河北唐山 期末)如图,小明利用尺规作图过程如下: 第一步:以B为圆心,以任意长为半径画弧,交于点M,交于点N; 第二步:以N为圆心,以_长为半径画弧,交已画弧于点E; 第三步:作射线. 可得: (1)补全第二步横线部分的内容; (2)若,_度; (3)若,与互补,求出的度数. 2.(24-25八年级上 贵州铜仁 期末)如图,,,以点B为圆心,长为半径画弧,与射线相交于点E,连接,过C点作,垂足为F.不添加辅助线找出图中与相等的线段,然后再加以证明. (1)结论:_. (2)证明过程: 3.(24-25八年级上 浙江台州 期末)如图1,,要求用尺规在上取一点,使得平分,下面是两位同学的做法. 小明:如图,以点为圆心,适当长度为半径画弧交,于点,,再分别以,为圆心,大于的长度为半径画弧交于点,连接并延长交于点. 小红:你的作图是正确的,我的做法和你不一样,如图,以为圆心为半径画弧,与的交点就是点. (1)请证明小明的做法是正确的; (2)小红的做法正确吗,请说明理由. 【拓展延升+压轴培优】 【题型九】整式的乘除与几何图形(3题) 1.(24-25八年级上 广东汕头 期末)图1是一个长为,宽为的长方形,沿图中虚线剪开分成四块小长方形,然后按图的形状拼成一个正方形. (1)图2的阴影部分的正方形的边长是 . (2)观察图2,写出,,这三个代数式之间的等量关系. (3)根据(2)题中的等量关系,解决问题:若,求的值. 2.(24-25八年级上 山东济宁 期末)数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法,“数”的精确描述与“形”的直观刻画,使代数问题与几何问题相互转化.例如,利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式. 【解决问题】 (1)如图2,用四个全等的长方形(为两条邻边长,且)拼成一个大正方形,内含一个小正方形.若大正方形的边长为,小正方形的边长为,则下列三个关系式中,正确的是_.(只填序号) ①;②;③. (2)用四个全等的直角三角形(是直角边,是斜边)和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示.根据此图形,可以得到一个关于的等式,请你写出这个等式. 【创新设计】 (3)如图4,A型是边长为的正方形,B型是长为、宽为的长方形,C型是边长为的正方形,其中A型、B型、C型都有若干个.请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形(A型、B型、C型至少使用一次,拼接时不可有重叠、不可有缝隙),并根据你的拼图写出一个关于的等式. 3.(24-25八年级上 福建龙岩 期末)根据以下素材,探索完成任务. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个等式. 素材 如图,大正方形的边长是,它是由两个小正方形和两个长方形组成,所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.根据等面积法,我们可以得到一个等式:. 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形,利用等面积法可证明某些乘法公式,在给出的四种拼法中,其中能验证平方差公式的有:_(只填序号). 任务2 如图,若将个直角边长分别为,,斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形,请你用两种不同的方法表示五边形的面积. 方法1:_;方法2:_;你可以得到一个关于,,的等式是:_. 任务3 如图,在中,,点,分别在边,上,且,,,垂足分别为,.若,求的值. 【题型十】平行线的性质与认识三角形(3题) 1.(24-25七年级下 全国 期末)如图,某段铁路两旁安置了,两盏可旋转探照灯.已知,,为上两点,连接, ,平分交于点,为上一点,连接. (1)_; (2)如图,为上一点,连接.当,时,试说明:; (3)探照灯,射出的光线在铁路所在平面旋转,探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动,探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动,转至射线后立即以相同速度回转,若它们同时开始转动,设转动时间为秒,当回到出发时的位置时同时停止转动,则在转动过程中,当与互相平行或垂直时,请直接写出此时的值. 2.(23-24七年级下 四川成都 期末)将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起,其中,,. (1)如图1,与的数量关系是_,理由是_; (2)如图1,点在上,若,求的度数; (3)如图2,将三角尺固定不动,改变三角尺的位置,但始终保持两个三角尺的顶点重合,当点在直线的上方且在直线右侧时,这两块三角尺存在一组边互相平行的情况,请直接写出所有可能的值. 3.(22-23七年级下 江西南昌 期末)问题情景:如图1,在同一平面内,点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上,点A与点P在直线的同侧,若点P在内部,试问,与的大小是否满足某种确定的数量关系? (1)特殊探究:若,则_度,_度,_度; (2)类比探索:请猜想与的关系,并说明理由; (3)类比延伸:改变点A的位置,使点P在外,其它条件都不变,判断(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出,与满足的数量关系式. 【题型十一】三角形全等求值与证明探究性问题(3题) 1.(24-25八年级上 河南漯河 期末)综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动. 如图1,在中,,,直线l经过点A,直线l,直线l,垂足分别为D,E.由此得到结论:,,之间的数量关系是 . (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题:如果三个角不是直角,那么结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为在中,,D,A,E三点都在直线l上,并且有,其中为任意锐角或钝角.(1)中的结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请给出合理的解释. (3)拓展应用 如图3,过的边、向外作正方形和正方形,是边上的高,延长交于点,求证:. 2.(24-25八年级上 河北邢台 期中)利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题. 初步感知 如图1,在中,为中线,过点作于点,过点作交的延长线于点.在延长线上取一点,连接,使. (1)填空:_.(填“”“”或“”) (2)求证:. (3)试说明:. 拓展应用 (4)如图2,在中,是钝角,点在边上,,点在边上,点在边的延长线上,,,若,的面积是12,求与的面积之和. 3.(23-24八年级上 湖北省直辖县级单位 期末)【初步思考】 (1)如图1.在四边形中,,E,F分别是边,上的点,且.求证:. 小阳发现此题是证明线段的和(差)问题,根据证明此类题型的常见方法,于是就有了如下的思考过程:请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路. 第一步:延长至点H,使,连接,易证,得出①_,. 第二步:,得出,所以②_. 第三步:易证,得出③_,于是④_,即. 【问题解决】 (2)如图2,在四边形中,,E、F分别是边BC,CD上的点,且,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由. 【拓展延伸】 (3)如图3,四边形是边长为7的正方形,,求的周长. 【题型十二】三角形全等与图形的轴对称压轴题(4题) 1.(24-25八年级上 山西长治 期末)综合与实践 【操作实践】 如图1,数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”(有两组邻边分别相等的四边形)道具,其中,,,相邻两根木条的连接处是可以转动的,连接,. (1)试猜想与之间的数量关系,并证明你的猜想. 【实践应用】 (2)小组成员尝试使用这个“筝形”道具检测教室门框是否水平.如图2,,,在道具上的点A处绑一条线绳,线绳的另一端挂一个铅锤,道具上的点B,D紧贴门框,线绳恰好经过点C.由于是铅锤线,所以是水平的,即门框是水平的.在上述的判断过程中,得出的依据是_.(填字母) A.等角对等边 B.垂线段最短 C.等腰三角形“三线合一” 【实践拓展】 (3)如图3,在中,,.若E,F分别是边,上的动点,当四边形为“筝形”时,求的度数. 2.(24-25八年级上 湖南邵阳 期末)综合与实践: 如图1,直线与直线相互垂直,垂足为点O,. 初步感知: (1)如图1,C为延长线上一点,连接.过点A作,垂足为点H,交于点P. ①求证:; ②若,试求的面积. 拓展延伸: (2)如图2,若点D为的中点,点M为延长线上一动点,连结,过点D作交直线于点N,当M点在延长线上运动的过程中,的值是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. 3.(24-25八年级上 陕西渭南 期末)【问题探究】 (1)如图1,在中,点是上一点,点是的中点,连接并延长到点,过点作交于点,连接,求证:; 【问题解决】 (2)如图2,四边形是一个工业区,点是一个入口,是两个仓库,点分别是粗加工厂和精密加工厂,点分别在上,是两条小路,是两条运输公路,为方便从粗加工厂运输到精密加工厂,现要沿修建一个运输轨道,为了估计成本,现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系.已知,.请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系,并加以证明. 4.(24-25八年级上 湖南邵阳 期末)数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图1,在中,,,是的中点,求边上的中线的取值范围. 小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长到,使,请补充完整证明.“∴”的推理过程. (1)求证:∴; 证明:∵延长到点,使, 在和中(已作), (_), (中点定义), ∴(_), (2)由(1)的结论,根据与之间的关系,探究得出的取值范围; (3)【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 【问题解决】 如图2,中,,,是的中线,,,且,求的长. 【题型十三】三角形全等与图形的轴对称动点问题探究(4题) 1.(20-21八年级上 河北廊坊 期末)如图1,是等边三角形,点为射线上一动点,连接,作,交射线于点,点是线段,垂直平分线的交点. (1)当点在边上时,_. (2)①当点,重合时,作,交的垂直平分线于点,则_. ②当点在线段上,或的延长线上时,的度数是否为定值?若是,请写出这个数,并选择点在线段上时,通过计算进行说明;若不是,请说明理由. (3)如图2,把等边三角形沿着折叠,得到,且点落在点处,连接.当时,证明平分,并在内确定一点,使点到三边的距离相等(不写作法,只保留作图痕迹). 2.(20-21七年级上 山东烟台 期末)如图,在 ABC中,AB=AC,点D为BC边上一动点(不与点B,C重合),过点D作射线DE交AB于点E,使∠ADE=∠B. (1)如图1,判断∠BDE与∠CAD的大小关系,并说明理由; (2)如图2,当∠DAE为直角时,请探索∠ADE与∠CAD的数量关系. 3.(24-25八年级上 山东济宁 期末)四边形中,,,,分别是边,上的动点,且. (1)如图1,当,分别在线段,上时, ①填空:若设,则之间的数量关系是_; ②猜想之间的数量关系,并证明你的猜想; (2)如图2,当,分别运动到在线段,延长线上时,其它条件不变,(1)中②你的猜想是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请写出它们之间的数据关系,并证明. 4.(21-22八年级上 江苏泰州 阶段练习)如图,长方形ABCD中,AB=4cm,BC=6cm,现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度,沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止,点P的运动时间为t秒. (1)当t=3秒时,BP= cm; (2)当t为何值时,连结CP,DP, CDP为等腰三角形; (3)Q为AD边上的点,且DQ=5,当t为何值时,以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与 DCQ全等. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$