专题07 期末复习专题：解答题压轴题（3大常考题型30题）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

专题07 期末复习专题：解答题压轴题 目录 【考点一 整式乘法之压轴题】 1 【考点二 相交线与平行线之压轴题】 15 【考点三 三角形全等和性质之压轴题】 34 【考点一 整式乘法之压轴题】 1．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 3．（23-24七年级下·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 4．（23-24七年级下·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 5．（23-24七年级下·山东济宁·期末）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号） ①；②；③． （2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式． 【创新设计】 （3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式． 6．（23-24七年级下·广东汕头·期末）综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 7．（23-24七年级下·江西赣州·期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． (1)图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示； (2)图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值． 8．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得； ②当时，类似上述过程进行割补，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形，此时． 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； (2)【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 9．（23-24七年级下·四川巴中·期末）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）中阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个关于、、的等量关系式是_____． 【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若，，则_____． 【拓展迁移】（3）若满足，求的值． 【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地，于点，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，，求种草区域的面积和． 10．（23-24七年级下·广东河源·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【考点二 相交线与平行线之压轴题】 11．（23-24七年级下·吉林松原·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题： (1)如图①，，直接写出与的关系________________． (2)如图②，，猜想与的关系，并说明理由． (3)由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角________________． 12．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，点B在上（点B与点A不重合），点C在上（点C与点D不重合），． (1)那么吗？试说明理由． (2)若平行移动，保持；点E、F在上，且满足，平分．求的度数． 13．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图1，点是的边上一点，过点作直线平分，以点为端点作线段，连接． (1)如图1，平分，证明：： (2)如图2，平分，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由： (3)如图3，平分，请求出的度数． 14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，已知，． (1)求证：； (2)如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小． 15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 16．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 17．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）【问题背景】 如图，线段的端点M、N分别在直线，上，E为，之间一点，连接NE，过点E作，交于点F，． 【问题探究】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点P，若平分，交于点Q． ①若，求的度数； ②判断与之间的数量关系，并说明理由． 18．（23-24七年级下·辽宁·期末）直线，点、分别在直线、上，点在直线、之间，直线左侧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点、在直线上，，过点作交直线于点，交线段于点． ①求证：； ②若，，求的度数． 19．（23-24七年级下·河北承德·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 20．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 【考点三 三角形全等和性质之压轴题】 21．（23-24七年级下·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 22．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 23．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 24．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 25．（23-24七年级下·河南漯河·期末）综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 26．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 在中，，过点A作． (1)如图1，求证：是等边三角形． (2)如图2，当点D在线段上（不与点A，B重合）时，连接，以为边在上方作等边，连接，求证：． (3)如图3，当点D在的延长线上时，连接，以为边在右边作等边，连接，作关于直线对称的图形，连接，已知，求的长． 27．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 28．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 29．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 30．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 期末复习专题：解答题压轴题 目录 【考点一 整式乘法之压轴题】 1 【考点二 相交线与平行线之压轴题】 15 【考点三 三角形全等和性质之压轴题】 34 【考点一 整式乘法之压轴题】 1．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式的乘法运算，注意计算的准确性即可； （1）根据多项式的乘法运算法则即可求解； （2）根据多项式的乘法运算法则即可求解； （3）①计算即可求解；②计算即可求解； 【详解】解： （1） ． 故答案为： （2） ． 故答案为： （3）① ， ． ② 由 （2）的规律知： ， 的结果不含 的项， ， ． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】(1) (2)17 (3)54 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题．利用数形结合的思想是解题的关键． （1）将图②中正方形的面积用两种方法表示出来，即得出答案； （2）由多项式乘多项式的运算法则将展开，整理得，即得出答案； （3）结合（1）得出，由多项式乘多项式的运算法则将展开，两者结合即得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 故答案为：． （2）解：， ∴需要用到C型纸片17张． 故答案为：17； （3）解：， 故， ， ， ， ． 3．（23-24七年级下·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（）利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）①利用完全平方公式的变形运算计算即可；②利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）由体题意可得，，，即得，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算，完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意可得，，， ∵长方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积和为． 4．（23-24七年级下·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 【答案】（1），13； （2），14； （3）． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，再把，代入计算即可； 类比用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可； 根据、中等式的规律直接写出结果即可． 【详解】正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； 由可知， ， 又，， ， 故答案为：； 类比可得：， 故答案为：； 由可得：， ，， ， 故答案为：； 由可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． 5．（23-24七年级下·山东济宁·期末）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号） ①；②；③． （2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式． 【创新设计】 （3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式． 【答案】（1）①②③；（2）；（3）图见解析，写出的关于的等式是： 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据拼图得出大正方形、小正方形以及长方形的边长之间的关系、面积之间的关系，逐项进行判断即可； （2）用代数式表示图形中大、小正方形面积，长方形的面积由面积之间的和差关系可得答案； （3）画出相应的拼图，再根据面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中，大正方形的边长，因此①正确； 图2中大正方形的边长，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积为，由拼图可知，即，因此②正确； 由拼图可知，，所以，即，因此③正确； 故答案为：①②③； （2），理由如下： 图3中大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为， 因此有，即； （3）画图：如图所示（画图不唯一）， 根据拼图，可得关于，的等式是：． 6．（23-24七年级下·广东汕头·期末）综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 【答案】（）；； （）． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （）根据题意可得出图中阴影部分正方形的边长； 根据图中大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，进而可得出，，之间的等量关系； （）设，，依题意得，，根据（）的结论得，由此可得的面积． 【详解】解：（）依题意得：图中阴影部分正方形的边长为：， 故答案为：； ∵图2中大正方形的边长为：， ∴图中大正方形的面积为：， ∵图中阴影部分正方形的边长为：， ∴图中阴影部分正方形的面积为：， 由拼图可知：， 故答案为：； （）设，， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·江西赣州·期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． (1)图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示； (2)图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值． 【答案】(1) (2)15 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的法则，数形结合思想是解题的关键． （1）等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积； （2）先用a，b表示，再列方程求解． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ②， ∴ ， ∴． 8．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得； ②当时，类似上述过程进行割补，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形，此时． 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； (2)【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)①，，；②详见解析，③详见解析 (2)的最大值为49 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式的乘法、以及多项式的乘法的几何运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． (1)根据等面积问题即可得出答案； (2)根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值． 【详解】（1）解：， 长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积=大正方形面积-小正方形面积， ， 故答案为：，，； ②当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， ③当时，该长方形为边长是5的正方形，此时， 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为49． 9．（23-24七年级下·四川巴中·期末）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）中阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个关于、、的等量关系式是_____． 【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若，，则_____． 【拓展迁移】（3）若满足，求的值． 【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地，于点，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为25.5 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（1）的结论，整体代入计算即可； （3）根据题意得，再根据（1）把变形，代入计算即可； （4）设由题意得到，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为，因此阴影部分的面积为, 所以有 故答案为：； （2）∵，， ∴； （3） ∵，， ， （4）∵，设，， ∴，，，， ∵种花区域的面积和为35，即 ∴， ∵， ∴种草区域的面积和为 10．（23-24七年级下·广东河源·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【答案】(1)； (2)； (3)阴影部分的面积和为平方单位． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（）根据题目提供的方法，进行计算即可； （）设，，则，，然后利用进行计算即可； （）由题意得，，，则阴影部分的面积和为，由长方形的面积为平方单位得，设，，根据即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握，，与间的关系． 【详解】（1）设，， 则，， 所以， ， ， ； （2）设，， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为：； （3）由题意得，，， ∴阴影部分的面积和为， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴ ， ， ； ∴阴影部分的面积和为平方单位． 【考点二 相交线与平行线之压轴题】 11．（23-24七年级下·吉林松原·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题： (1)如图①，，直接写出与的关系________________． (2)如图②，，猜想与的关系，并说明理由． (3)由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角________________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)相等或互补 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可作答； （2）根据两直线平行，内错角相；两直线平行，同旁内角互补，即可作答； （3）根据（1）、（2）结论直接归纳即可； 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）， 证明：， ， ， ， ； （3）根据（1）、（2）的结果可知：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； 12．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，点B在上（点B与点A不重合），点C在上（点C与点D不重合），． (1)那么吗？试说明理由． (2)若平行移动，保持；点E、F在上，且满足，平分．求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，（1）根据平行线的性质可得，再利用等量代换可得，由平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴． 13．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图1，点是的边上一点，过点作直线平分，以点为端点作线段，连接． (1)如图1，平分，证明：： (2)如图2，平分，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由： (3)如图3，平分，请求出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （2）根据内错角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （3）先证明，结合是的平分线，求出，然后利用三角形外角的性质可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由： ∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长交于点G， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，已知，． (1)求证：； (2)如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键． （1）根据同旁内角互补，两直线平行即可证明结论； （2）过点P作，证明，得到即可解答； （3）过点N、F作，，设，，，根据平行的性质得到，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：过点P作，如图1所示： ， 由（1）得，， ， ， ， （3）解：过点N、F作，，如图所示： ， ． 平分、， ，， 不妨设，，， ，① ， ，， ， ，② ， ， ， ， ， 又， ，③ 由①②③式可得，，即 15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1) (2)①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由见解析；②与之间的关系为或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长到，由平行线的性质可得，求出，由角平分线的定义得出，最后再由平行线的性质可得答案； （2）①延长到，设，由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而得出，求出，由角平分线的定义得出，再由计算即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时，延长至；当点在点的右侧时，延长至，分别利用平行线的性质并结合角平分线的定义计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，延长到， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由如下： 如图，延长到， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②与之间的关系为或， 当点在点的左侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的关系为或． 16．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 17．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）【问题背景】 如图，线段的端点M、N分别在直线，上，E为，之间一点，连接NE，过点E作，交于点F，． 【问题探究】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点P，若平分，交于点Q． ①若，求的度数； ②判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，推得，根据平行线的判定即可证明； （2）①根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质和可得，，即可求得．②根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴． ∵NM平分， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． ②． 理由如下： ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 18．（23-24七年级下·辽宁·期末）直线，点、分别在直线、上，点在直线、之间，直线左侧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点、在直线上，，过点作交直线于点，交线段于点． ①求证：； ②若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)①见解析；②． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查作图平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加辅助线，构造平行线解决问题． （1）如图1，过作．利用平行线的性质解决问题即可； （2）结论：．如图2，过作，利用平行线的性质解决问题； （3）①利用等角的余角相等证明即可； ②如图3，过作，利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）证明：如图1，过作． ∵，， ∴， ，， ， ； （2）解：结论：． 理由：如图2，过作， ∵，， ∴．同理可得． 平分， ， 平分， ． ． ， 由（1）得，， ； （3）①证明：， ，即， ∵，， ； ②解：如图3，过作， ∴， ∵， ． ∵， ， ， ， ， ∵， ， ． 19．（23-24七年级下·河北承德·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】（1）34；（2），理由见解析；（3）或． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角板中角度计算问题 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： 直线， ∴， ，， ， ， ，， ， 故答案为：34． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， ②当在直线的下方时，如图4所示： 同理得：， 设， 则， ， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 20．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，构造平行线是解题的关键． （1）由，得，由即可求解； （2）；过A作，则得，从而得，则可判定； （3）①过A作，过D作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，从而得与之间的关系； ②过A作，过C作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，，从而得、与之间的关系； 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图，过A作， ， ， ， ； ， ； （3）解：①如图，过A作，过D作， ，； ， ； ， ； ， ， ， ； 故答案为：； ②如图，过A作，过C作， ，； ，；， ； ， ； ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 【考点三 三角形全等和性质之压轴题】 21．（23-24七年级下·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1)见解析 (2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键． （1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可； （2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可． 【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ①， 而， ①式化为：， 可得． 因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ， 而，所以， 可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 22．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1） ①先证明，可得；②由可得，证明，从而可得结论； （2）①当点D在线段上时，如图2所示，证明，，可得，进一步可得结论；②当点D在线段的延长线上，如图所示，证明，，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，    ∴ ，    在和中， ， ∴；          ②由得 ，        ∵， ∴ ，       ∴ ，         ∴； （2）解：或．理由如下： ①当点D在线段上时，如图2所示， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴  ， ②当点D在线段的延长线上，如图所示， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】(1)先根据平行线的性质，得出，由可得，由可得，进而即可得解； (2)先证明，得，再证明，进而即可得解． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴平分； （2）证明：如图2： 点为中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 24．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）18 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 25．（23-24七年级下·河南漯河·期末）综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立．证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得． 【详解】（1）解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）解：仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ∴， 在和中， ， ， ． 26．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 在中，，过点A作． (1)如图1，求证：是等边三角形． (2)如图2，当点D在线段上（不与点A，B重合）时，连接，以为边在上方作等边，连接，求证：． (3)如图3，当点D在的延长线上时，连接，以为边在右边作等边，连接，作关于直线对称的图形，连接，已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得证； （2）证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ． ， 是等边三角形． （2）证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ． （3）解：由（2）同理可证：， ，． 与关于直线对称，是等边三角形， ，是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ． ， ∴设，则， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 所以的长为． 27．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形角平分线的定义 【分析】（）在上截取一点E，使得，可证，得到，，即得，又由，可得，进而得到，据此即可求解； （）在上截取一点E，使得，同理（）可得，得到，，进而得到，再根据三角形外角性质可得，即可得，得到，据此即可求证； （）如图，过点作的延长线于点，可证，得到，，进而证明，得到，即得到． 【详解】（1）解：在上截取一点E，使得， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在上截取一点E，使得， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 28．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 29．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 30．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）， （Ⅳ） 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （Ⅰ）根据题意列代数式即可； （Ⅱ）分点在线段上，点在延长线上两种情况计算即可； （Ⅲ）由得到，根据得到，再根据得到，得出，即可得到； （Ⅳ）证明，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得， ，， 故答案为：； （Ⅱ）由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为； （Ⅲ），， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （Ⅳ），理由如下， 如图，， ， ， , ，， ， ， ， ， ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$