期末数学测试仿真冲刺卷（一）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

北师大版2024——2025八年级数学下学期期末仿真冲刺卷（一） 试卷信息：满分120分，考试时间120分钟，命题范围：北师大版八年级下册（1-6章），难度比例：基础题70%，中档题20%，压轴题10%. 1、 选择题（10题×3分=30分） 1．（24-25九年级上·广东珠海·期末）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，交于点O，O为中点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 6．（19-20八年级上·湖北恩施·期中）如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C，D分别是，的中点，P是上一动点，则的最小值是（    ）    A． B．4 C． D． 8．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，，，、分别是、的中点，若的长恰为整数，则的长可以是（    ）    A．，， B．， C．，， D．，，， 2、 填空题（6题×4分=24分） 11．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）若，则 （填“”或“”） 12．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 13．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式方程的解为整数，则整数 ． 14．（24-25九年级上·山东·期末）如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点D落在上，与相交于点F，若，，则的大小为 ．    15．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是 ． 16．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知a，b，c为的三边， 且满足则是 三角形． 三、解答题（9题共66分） 17.（每小题3分，共6分）（24-25八年级下·广东茂名·期中）将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 18.（6分）（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）过点A作，求线段与的数量关系． 19. （6分）（23-24八年级下·四川成都·期末） （1）化简：； （2）请在以下四个数：，，1，3中，选择一个适当的数作为的值，求出（1）中代数式的值． 20.（6分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将向左平移4格，画出平移后的对应； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； （3）第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________． 21.（8分）（2022·四川成都·二模）为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． （1）求A，B文具的单价； （2）为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 22.（8分）（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 23.（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求不等式的解集； （3）直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 24.（8分）（22-23八年级下·广东深圳·期末）【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12．，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究：如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． （3）拓展延伸：如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则长方形的周长为 ，的面积为 ． 25.（10分）（23-24八年级下·广东深圳·期末）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． （1）如图1，若，求、的长； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版2024——2025八年级数学下学期期末仿真冲刺卷（一） 试卷信息：满分120分，考试时间120分钟，命题范围：北师大版八年级下册（1-6章），难度比例：基础题70%，中档题20%，压轴题10%. 1、 选择题（10题×3分=30分） 1．（24-25九年级上·广东珠海·期末）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这个图形叫作中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可． 解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意； B、不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件． 解：当时，， ∴当时，分式没有意义， 故选：． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，交于点O，O为中点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 解：∵O为的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A 4．（23-24八年级下·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的平移，根据平移的性质和坐标系即可得；掌握点坐标的平移是解题的关键． 解：∵将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴，， 即， 故选：A． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 根据因式分解的定义逐项判定即可. 解：：符合因式分解的定义，则A选项符合题意； 是乘法运算，故B选项不符合题意； 是完全平方公式，则C不符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：A． 6．（19-20八年级上·湖北恩施·期中）如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．如图，过作于，于，于，则，由的外角的平分线与相交于点P，可得，然后作答即可． 解：如图，过作于，于，于，则，    ∵的外角的平分线与相交于点P， ∴， ∴点P到的距离为3， 故选：B． 7．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C，D分别是，的中点，P是上一动点，则的最小值是（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】如图，作点C关于y轴的对称点，连接，连接，交y轴于点，由对称知，，由两点之间线段最短，可知当三点共线时，取最小值；由中位线定理，，，中，，． 解：如图，作点C关于y轴的对称点，连接，连接，交y轴于点．由对称知，， ∴，当三点共线时，，取最小值，    ∵C，D分别是，的中点 ∴， ∴ 中， ∴, 故选：C． 【点拨】本题考查轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，运用轴对称知识作出辅助线，将求线段和最小值转化为求线段长是解题的关键． 8．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．先将将方程转化为，再根据已知得，，再由，解得，由，解得，据此即可得出答案． 解：将方程转化为：， 方程的两根分别为m，， ，， 由，解得：， 由，解得：， 方程的根是：，， 故选：． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键． 解二元一次方程组，得，由“方程组的解均为正数”可得，解得；解不等式组，由得，由得，由“不等式组的解集为”可得，解得；综合以上，于是得解． 解：， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的解均为正数， ， 解得：； ， 整理，得： 由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 解得：； 综上，的取值范围是：， 故选：． 10．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，，，、分别是、的中点，若的长恰为整数，则的长可以是（    ）    A．，， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【分析】连接并延长至，使得，连接、，证明，根据三角形三边关系，可得的范围，根据中位线的性质即可求解． 解：如图，连接并延长至，使得，连接、，   ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， 当时，，，三点共线， ， 分别是的中点，， 是的中位线， ， 长的取值范围为：， 的长可以是：，，， 故选：C． 【点拨】本题考查的是三角形的中位线定理，三角形全等的判定与性质，三角形的三边关系，准确作出辅助线并灵活运用三角形三边关系，全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2、 填空题（6题×4分=24分） 11．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）若，则 （填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质进行计算，即可解答． 解：， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正五边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 解：在正五边形中，， ， 在正方形中，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上， ， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式方程的解为整数，则整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值． 解：， 整理得： 若分式方程的解为整数， 为整数， 当时，解得：，经检验：成立； 当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:， 故答案是：． 14．（24-25九年级上·山东·期末）如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点D落在上，与相交于点F，若，，则的大小为 ．    【答案】/25度 【分析】本题考查了图形的旋转性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转性质得到对应角相等，并结合直角三角形的性质求解． 解：由旋转的性质可得，、，再根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，然后根据等腰三角形的性质进而得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．当点，重合时，，的面积最小，过点作交的延长线于点，利用度角的性质及勾股定理求出，，得到；当点与点重合时，，此时的面积最大，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，根据折叠的性质和平行四边形的性质可推出，，设，则，，推出，根据列方程求出，即可求出得到，最后根据三角形的面积公式可求出面积的最大值，进而可得的取值范围． 解：当点，重合时，， 此时的面积最小， 过点作交的延长线于点， 在中，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 的最小值为； 当点与点重合时，， 此时的面积最大， 过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 在中，，， ，， 由折叠可得：，，，， ，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：，即， ，即； 取值范围是， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知a，b，c为的三边， 且满足则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解，得出或，即可求解． 解：∵ ∴， 即， 解得：或， ∴是是等腰三角形， 故答案为：等腰． 三、解答题（9题共66分） 17.（每小题3分，共6分）（24-25八年级下·广东茂名·期中）将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 18.（6分）（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）过点A作，求线段与的数量关系． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，推出，结合即可得出结论． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19.（6分）（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）化简：； （2）请在以下四个数：，，1，3中，选择一个适当的数作为的值，求出（1）中代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简； （2）根据分式有意义的条件确定的值，代入计算得到答案． 本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 解：（1）原式 ； （2）由题意得：，3， 当时，原式． 20.（6分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将向左平移4格，画出平移后的对应； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； （3）第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． （3）首先勾股定理求出，然后得到旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆，进而求解即可． 解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）根据题意得， ∵绕点顺时针旋转得到 ∴旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆 ∴旋转过程中边“扫过”的面积为． 21.（8分）（2022·四川成都·二模）为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． （1）求A，B文具的单价； （2）为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 【答案】（1）A文具的单价为20元，B文具的单价为15元；（2）最多购买了A文具30件． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，设恰当未知数，列出方程和不等式． （1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，利用数量=总价÷单价，结合用900元购买B文具的数量是用600元购买A文具数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B文具的单价，再将其代入中即可求出A文具的单价； （2）设购买A文具m件，则购买B文具件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 解：（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； （2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买了A文具30件． 22.（8分）（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）①B；②4 【分析】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，进一步则可得出答案． 解：（1）证明：∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：， 理由如下：由（1）知：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：B； ②∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴， ∴， ∵. 23.（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求不等式的解集； （3）直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据函数图象直接得出的解集即可； （3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 解：（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：； （2）解：当时，，解得， ∴， 根据函数图象可知，不等式的解集是：． 故答案为：； （3）解：联立， 解得：， ∴点D的坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时点P的坐标为； 当时，，此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． 24.（8分）（22-23八年级下·广东深圳·期末）【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12．，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究：如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． （3）拓展延伸：如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则长方形的周长为 ，的面积为 ． 【答案】（1）3；6；（2）13；（3）68， 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决此题的关键．   （1）由折叠可知点H是中点，，过点A作于M，根据三角形面积求的长，由，点H是中点可知是中位线，得到 进而求完美长方形面积； （2）根据折叠可知，，从而可得 ，根据平行四边形面积可求得的长为4进而可求周长； （3）由折叠可证点E，G分别是中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为26，设，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可． 解：（1）由折叠可知，， ∴，点H是中点 ∵ ∴ 即， 过点A作于M， ∵四边形是长方形 ∴ ∴ ∴H是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴完美长方形的面积为 故答案为：3，6 （2）由折叠可知 同理可知 ∴长方形的面积为         ∴长方形的周长为 （3）由折叠可证点E，G分别是的中点 ∴ 由题意知 ∴ ∴为平行四边形 ∴ 在中，设，则 由勾股定理得 ∴ ∴周长为：    面积为： 故答案为：68， 25.（10分）（23-24八年级下·广东深圳·期末）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． （1）如图1，若，求、的长； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 【答案】（1），；；（2）证明见分析；（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，证明，得到，，进而得出，再证明，得到，即可得出结论； （3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值． 解：（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，连接， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设与的交点为， 点在直线上运动， 当点运动到点处时，有最小值， ，， ， 由（1）可知，， ， ， 在中，， ，， 即的最小值为． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，综合性较强，掌握相关知识点是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$