精品解析：江苏省海安高级中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题

高三数学三模模拟试卷 （2025.4） 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式得集合，再根据补集定义求解. 【详解】∵， ， ∴. 故选：C． 2. 设向量，则（    ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由列举法求解古典概型概率问题即可. 【详解】画出树状图： 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为． 故选：B. 4. 已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质由等差数列的求和公式和等差中项可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【详解】，即， 又因为，，成等比数列，则， 即，整理可得， 再与联立可得，， 所以，， 故选：C． 5. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 6. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线相交，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论. 【详解】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 7. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【详解】化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 8. 方程在上的实数解有（    ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类讨论思想，先对特殊值进行分析判断，然后再对和进行分析判断即可得解. 【详解】当时，， 满足方程，所以是方程的一个实数解； 当时，， 满足方程，所以也是方程的一个实数解； 当时，， 不满足方程，所以不是方程的一个实数解； 当时，， 由方程可得：， 即，由于，所以此时方程无解； 当时，， 此时，显然方程无解； 综上，方程只有2个解，分别为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A. 样本的标准差 B. 样本的中位数 C. 样本的极差 D. 样本的平均数 【答案】AC 【解析】 【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项. 【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC. 10. 下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用诱导公式可判断A；根据两个函数的单调性不同可判断B；利用指数或对数的运算法则可判断C，D. 【详解】对于A，将的图象向左平移个单位后得到的图象，故A正确； 对于B，易知在上单调递增； 对于，，令，得， 所以当或时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以不能通过平移由得到，故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位后得到的图象，故C正确； 对于D，将的图象向上平移个单位后得到的图象，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用同角公式，两角和差公式，结合角的范围和变角思想：来求解即可. 【详解】由，，所以，即，故A错误； 由于，所以，则有， 即，故B正确； 因为，，所以， 又因为，所以，故C错误； 由 ， 因为，，所以， 则，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故答案为： 13. 若在上单调递减，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得知，不等式在上恒成立，由参变量分离法得出，求出函数，在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为________，直线斜率的最大值为________. 【答案】 ①. （除去点） ②. ## 【解析】 【分析】根据即可求出直线过定点，再数形结合可知点的轨迹为圆即可写出轨迹方程；最后根据图形可判断过原点的直线和点的轨迹在第一象限内相切时，斜率最大，即可求出. 【详解】由题可设，，则， 解得或者（不符合题意，舍）， 设直线的方程为，与抛物线方程联立得， 所以，，故，故直线的方程为， 所以直线过定点， 又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆， 因为，，中点坐标为， 所以点的轨迹方程为（除去点）， 过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大， 所以直线斜率的最大值为. 故答案为：（除去点）；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【小问1详解】 因为，所以，解得：． 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 16. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知 ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]： 由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． （1）求椭圆的方程； （2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，列出方程组，起度呃的值，得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得和，设，使得，根据，得到恒成立，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：因为椭圆的离心率，且椭圆过点， 可得 ，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由题意，显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为点为的中点，可得， 则，即， 令，可得，即， 假设存在点，使得，此时 因为，可得， 整理得， 因为，所以，即恒成立， 所以 ，解得，即， 即存在定点，使得. 18. 如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．设平面平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与棱交于点，求的值． 【答案】（1） 连接，在中，因为，分别为，的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由线线平行证明线面平行，再由线面平行的性质得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）根据平面的法向量与平面内直线垂直，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，连接， 因为为正四棱锥，所以为正方形的中心， 所以，平面． 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可知，，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 连接，设，所以， 因为，所以， 由（2）知平面的法向量为， 所以平面的法向量为， 由平面，可知， 即，解得． 即． 19. 已知函数. （1）证明：； （2）证明：在上单调递减； （3）若，且，证明：. 【答案】（1）证明：要证，只要证，因为，所以要证， 记，，得， 且时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，从而得证. （2）证明：要证，只要证，因为，所以要证， 记，，得， 且时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，从而得证. （3）证明：由（2）可知，若，则，不合题意. 若，则，不合题意. 所以，要证，只需证， 结合在上单调递减，只需证. 由，得. 故只需证，即证①. 设，， 则 . 设，， 则. 所以，即在上单调递增，又， 所以.从而在上单调递减. 因为，所以. 因为，所以，即不等式①成立. 故. 【解析】 【分析】（1）应用分析法，化为证明，构造函数并用导数研究其单调性和最值，即可证； （2）对函数求导，研究导数的区间符号确定区间单调性，即可证； （3）根据（2）得，分析法转化为证明，再应用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学三模模拟试卷 （2025.4） 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，则（    ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 3. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 5. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线相交，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 7. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 8. 方程在上的实数解有（    ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A. 样本的标准差 B. 样本的中位数 C. 样本的极差 D. 样本的平均数 10. 下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为______. 13. 若在上单调递减，则实数的取值范围为_______． 14. 已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为________，直线斜率的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 16. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． （1）求椭圆的方程； （2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 18. 如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．设平面平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与棱交于点，求的值． 19. 已知函数. （1）证明：； （2）证明：在上单调递减； （3）若，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $