北京市第二中学2024-2025学年高三下学期校模数学试卷

第 1页，共 4页 北京二中 2024—2025学年度高三年级校模试卷 数学 命题人： 王逸飞 审核人： 邱松___ 一、单选题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．选出符合题目要求的一项） 1.已知集合 { | 2}A x y x   ， { | 3B x x  或 3}x   ，则 ( )RA B ð （ ）. A. ( , 3) ( 2, )     B. [ 3, 2]  C. [ 2,3] D. ( , 2) (3, )    2.已知复数 z满足 2(1 i) 2 4iz   ，其中 i为虚数单位，则复数 z的共轭复数 z 的虚部为（ ）. A. i B. i C. 1 D. 1 3.已知非零向量 a， b  满足 0a b   ， | | 3a   ，且 a与 a b  的夹角为 4  ，则 | |b   （ ）. A. 6 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 4.下列函数是奇函数，且函数值恒小于 1的是（ ）. A. 2 1( ) 2 1 x xf x    B.   1ln 1 xf x x      C. ( ) | sin |f x x D. 1 1 3 3( )f x x x    5.设直线 l经过抛物线 2 8x y 的焦点，P为直线 l上任意一点，过 P总能作圆 2 2 1x y  的切线，则直线 l斜 率 k的最大值为（ ）. A. 3 3 B. 3 C. 2 D. 1 6.设 ，  是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）. A.若 2    ，则 sin sin 1   B.若 2    ，则 cos cos 1   C.若 2    ，则 sin sin 2   D.若 2    ，则 cos cos 2   7.无穷等比数列 na 各项都为正数，前 n项和为 nS ，则“ na 是递减数列”是“ * 2, 3n nn N S S   ”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍” ( )chumeng 是底 面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如下图五面体 ABCDEF是一个 刍甍，其中四边形 ABCD为矩形，其中 8AB  ， 2 3AD  ， ADE 与 BCF 都是等边三角形，且二面角 E AD B  与 F BC A  相等，则 EF长度的取值范围为（ ）. 第 2页，共 4页 A. (2,14) B. (2,8) C. (0,12) D. (2,12) 9.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼 .1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏 的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续 15天月相变化的数列，记为 na ，其将满月等分成 240份， (1 15ia i„„ 且 *)i N 表示第 i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第 1天月球被太阳照亮部分占满 月的 5 240 ，即 1 5a  ；第 15天为满月，即 15 240.a  已知 na 的第 1项到第 5项是公比为 q的等比数列，第 5项到第 15项是公差为 d的等差数列，且 q，d均为正整数，则 6a （ ）. A. 80 B. 96 C. 100 D. 112 10.曲线 C： 1m nx y  ，其中 m，n均为正数，则下列命题错误．．的是（ ）. A.当 3m  ， 1n  时，曲线 C关于  0,1 中心对称 B.当 1 2 m  ， 1 2 n  时，曲线 C是轴对称图形 C.当 4m  ， 2n  时，曲线 C所围成的面积小于 π D.当 3m  ， 2n  时，曲线 C上的点与  0,0 距离的最小值等于 1 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11.在 5 2( )x x  的二项展开式中， 2x 的系数为 .(用数字作答 ) 12.已知双曲线 2 2 1kx y  的一条渐近线与直线 2 1 0x y   垂直，那么双曲线的离心率为 ； 渐近线方程为 . 13.已知角 的终边经过点 (1, 2)P  ，函数 ( ) sin ( )( 0)f x x     图象的相邻两条对称轴之间的距离等 于 π 3 ，则 π( ) 12 f  _______. 14.已知函数 ( )f x  π π π, , 2 2 πcos , π 2 e 4 , πx a x x x x a x                  ，若 ( )f x 是 π , 2      上的单调函数，则 a的一个取值为________; 若 ( )f x 有最小值，则 a的取值范围是 . 15.已知 na 是各项均为正数的无穷数列，其前 n项和为 nS ，且  * 1 1 1 n n n N a S    给出下列四个结论： ① 2 1a a ； ② na 各项中的最大值为 2； ③ *k N  ，使得 1ka  ； ④ *n N  ，都有 1.nS n  其中所有正确结论的序号是__________. 第 3页，共 4页 三、解答题（本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. (本小题满分 13分 )在 ABC 中，角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，且 cos 2 cos .a B a b A  （Ⅰ）求 sin sin C A 的值； （Ⅱ）若 3b  ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 ABC 存在且唯一确定，求 ABC 的面积. 条件①： 11cos 16 B  ； 条件②： 15sin 4 C  ； 条件③： ABC 的周长为 9. 注：若选择条件不合要求，本小题得 0 分；若选择多个条件，按所选第一个条件计入. 17. (本小题满分 13分 )某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线 生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了两项质量指标 A、B的值，记为 ,A Bq q ，定义产品的指标偏差 | 1 | | 2 |A BQ q q    ，数据如下表： 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． （Ⅰ）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足 1Aq  且 2Bq  的概率； （Ⅰ）从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设 X表示这两件产品中满足 2Bq  的产品数，求 X的分 布列和数学期望  E X ； （Ⅲ）已知 Q的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条 生产线上的产品质量更好？（直接写出结论即可） 第 4页，共 4页 18. (本小题满分 14分 )如图，四边形 ABCD是正方形，EA 平面 ABCD， //EA PD， 2 2AD PD EA   ，F，G，H分别为 PB，EB，PC的中点． （Ⅰ）求证： //FG 平面 PED； （Ⅱ）求平面 FGH与平面 PBC所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段 PC上是否存在一点 M，使直线 FM与直线 PA所成的角为 3  ？若存在， 求出线段 PM的长；若不存在，请说明理由． 19. (本小题满分 15分 )已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的短轴长为 2，离心率为 2 . 2 （Ⅰ）求椭圆 C的方程; （Ⅱ）点 P是椭圆 C上一点，且在第一象限内，过 P作直线交 y轴正半轴于 A点，交 x轴负半轴于 B点， 与椭圆 C的另一个交点为 E，且 PA AB ，点 Q是 P关于 x轴的对称点，直线 QA与椭圆 C的另一个交点 为 .F ( )i 证明：直线 AQ，AP的斜率之比为定值； ( )ii 求直线 EF的斜率的最小值. 20. (本小题满分 15分 )已知函数 2( ) ( 1) lnf x a x x   ， a R ，   1e xg x  . （Ⅰ）证明：   1g x x  在区间 (1, ) 恒成立； （Ⅱ）若 ( )f x 的最小值为 0，求 a的值； （Ⅲ）若 11( ) sin( 1) e xf x a x x     在区间 (1, ) 内恒成立，求 a的取值范围． 21. (本小题满分 15分 )设 na 和 nb 均为各项互不相等的 N项数列，其中  , 1,2, ,i ia b N  ， 1,2, , .i N  记数列 C： 1c ， 2c ，…， Nc ，其中 k k kc a b  ， 1,2, , .k N  （Ⅰ）写出所有满足条件的数列 na 和 nb ，使得数列 : 1, 1,0,2C   ； （Ⅱ）若 2024N  ，C是公差不为 0的等差数列，求证： i ia b 为定值； （Ⅲ）若 C为各项互不相等的数列，记 C中最大的数为 P，最小的数为 Q，求 P Q 的最小值． 第 1页，共 8页 2025 校模数学参考答案 一、选择题（每小题 4分） 1 2 3 4 5 D C D A B 6 7 8 9 10 C A A B C 二、填空题（每小题 5分） 11. 80 12. 5 2 ; 1 2 y x  13. 10 10  14. 1, 2      任取即可 ; 1[ ,0] 4  15.①②④ 三、解答题（共 85分） 16. ( 13分 )在 ABC 中，角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，且 cos 2 cos .a B a b A  (1)求 sin sin C A 的值； (2)若 3b  ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 ABC 存在且唯一确定， 求 ABC 的面积.条件①： 11cos 16 B  ；条件②： 15sin 4 C  ；条件③： ABC 的周长为 9. 【答案】 (1)解：因为 cos 2 cosa B a b A  ，由正弦定理得 sin cos 2sin cos sinA B A A B  ， 即 2sin sin cos cos sin sin( )A A B A B A B    ，可得    sin sin sinA B C C    ， 可得 sin 2 sin C A  . (2)解：由 (1)得 sin 2sinC A ，由正弦定理得 2c a ， 若选条件①：由余弦定理得 2 2 2 cos 2 a c bB ac    ，即 2 2 2 4 9 11 4 16 a a a    ，又由 0a  ，解得 2a  ，则 4c  ， 此时 ABC 存在且唯一确定，因为 11cos 0 16 B   ，则 0, 2 B      ，可得 2 3 15sin 1 16 B cos B   ， 所以 1 1 3 15 3 15sin 2 4 2 2 16 4ABC S ac B      ； 若选条件②：由 15sin 4 C  ，因为 c a ，即 C A ，若 C为锐角，则 2 1cos 1 4 C sin C   ， 由余弦定理 2 2 2 cos 2 a b cC ab    ，即 2 21 9 4 4 6 a a a    ，整理得 22 6 0a a   ，且 0a  ，解得 3 2 a  ， 则 3c  ；若 C为钝角，则 2 1cos 1 4 C sin C     ，由余弦定理得 2 2 2 cos 2 a b cC ab    ， 即 2 21 9 4 4 6 a a a     ，整理得 22 6 0a a   ，解得 2a  ，则 4c  ； ABC 不唯一确定，不合题意； 若条件③：因为 9a b c   ，即 3 2 9a a   ，解得 2a  ，则 4c  ，所以此时 ABC 存在且唯一确 定，由余弦定理得 2 2 2 4 16 9 11cos 0 2 2 2 4 16 a c bB ac           ，因为 0, 2 B      ，可得 2 3 15sin 1 16 B cos B   ， 所以 1 1 3 15 3 15sin 2 4 2 2 16 4ABC S ac B      ． 第 2页，共 8页 17. ( 13分 )某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进 行简单随机抽样，经检测得到了两项质量指标 A、B的值，记为 ,A Bq q ，定义产品的指标偏差 | 1 | | 2 |A BQ q q    ，数据如下表： 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． (1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满 足 1Aq  且 2Bq  的概率； (2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设 X 表示这两件产品中满足 2Bq  的产品数，求 X的分布 列和数学期望  E X ； (3)已知 Q的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产 线上的产品质量更好？并说明理由． 【答案】解： (1)记 A表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足 1Aq  且 2Bq  ”． 用频率估计概率，则   3 . 10 P A  所以该产品满足 1Aq  且 2Bq  的概率为 3 . 10 (2)由表格数据，用频率估计概率，可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足 2Bq  ”的概率为 5 1 10 2  ；“从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足 2Bq  ”的概率为 7 . 8 由题意，X的所有可能取值为 0,1,2.   1 1 10 2 8 16 P X     ，   1 1 1 7 11 2 8 2 8 2 P X       ，   1 7 72 . 2 8 16 P X     所以 X的分布列为： X 0 1 2 P 1 16 1 2 7 16 所以 X的数学期望为   1 1 7 110 1 2 . 16 2 16 8 E X        (3)甲生产线上的产品质量更好. 从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则 甲生产线上的 Q值小于乙的概率为 7 4 4 5 5 4 3 5 2 6 9 1 8 10 16 2             ， 所以甲生产线上的产品质量更好． 第 3页，共 8页 18. ( 14分 )如图，四边形 ABCD是正方形， EA 平面 ABCD， //EA PD， 2 2AD PD EA   ，F，G，H分别为 PB，EB，PC的中点． （Ⅰ）求证： //FG 平面 PED； （Ⅱ）求平面 FGH与平面 PBC所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段 PC上是否存在一点 M，使直线 FM与直线 PA所成的角为 3  ？若存在，求出线段 PM的长； 若不存在，请说明理由． 【答案】 (1)证明：因为 F，G分别为 PB，BE的中点，所以 // .FG PE 又 FG  平面 PED， PE 平面 PED，所以 //FG 平面 .PED (2)解：因为 EA 平面 ABCD， //EA PD，所以 PD 平面 ABCD，又 AD、CD在平面 ABCD内， 所以 PD AD ， .PD CD 又因为四边形 ABCD是正方形，所以 .AD CD 如图建立空间直角坐标系， 因为 2 2AD PD EA   ，所以 (0, 0, 0)D ， (0,0, 2)P ， (2,0,0)A ， (0, 2, 0)C ， (2,0,1).E (2, 2, 0)B 因为 F，G，H分别为 PB，EB，PC的中点，所以 (1,1,1)F ， 1(2,1, ) 2 G ， (0,1,1).H 所以 1( 1,0, ) 2 GF    ， 1( 2,0, ) 2 GH    ， 设 1 1 1 1( , , )n x y z  为平面 FGH的一个法向量，则 1 1 0 0 n GF n GH           ，即 1 1 1 1 1 0 2 12 0 2 x z x z         ， 再令 1 1y  ，得 1 (0,1,0).n   (2, 2, 2), (0, 2, 2)PB PC      ， 设 2 2 2 2( , , )n x y z  为平面 PBC的一个法向量，则 2 2 0 0 n PB n PC           ，即 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 x y z y z       ， 令 2 1z  ，得 2 (0,1,1).n   所以 1 2 1 2 1 2 | | 1 2| cos , | . 2| | | | 1 2 n nn n n n             所以平面 FGH与平面 PBC所成锐二面角的大小为 . 4  第 4页，共 8页 (3)在线段 PC上存在点 M，使直线 FM与直线 PA所成角为 3  证明：假设在线段 PC上存在点 M，使直线 FM与直线 PA所成角为 . 3  依题意可设 PM PC   ，其中 0 1.„ „ 由 (0, 2, 2)PC    ，则 (0, 2 , 2 ).PM     又因为 , ( 1, 1,1)FM FP PM FP         ，所以 ( 1, 2 1,1 2 ).FM       又直线 FM与直线 PA成 3  角， (2, 0, 2)PA    ，所以 1| cos , | 2 FM PA     ， 即 2 1 | 2 2 4 | 2 2 2 1 2(2 1)          ，解得 5 . 8   所以 5 5(0, , ) 4 4 PM    ， 2 5 5 2| | 0 2 ( ) . 4 4 PM      所以，在线段 PC上存在点 M，使直线 FM与直线 PA所成角为 60 ，此时 PM的长为 5 2 . 4 第 5页，共 8页 19. ( 15分 )已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的短轴长为 2，离心率为 2 . 2 (1)求椭圆 C的方程; (2)点 P是椭圆 C上一点，且在第一象限内，过 P作直线交 y轴正半轴于 A点，交 x轴负半轴于 B点，与椭 圆 C的另一个交点为 E，且 PA AB ，点 Q是 P关于 x轴的对称点，直线 QA与椭圆 C的另一个交点为 .F ( )i 证明：直线 AQ，AP的斜率之比为定值; ( )ii 求直线 EF的斜率的最小值. 【答案】解：由题意得 2 2 2 2 2 2 2 b c a a b c        ，解得 2 1 a b     ，椭圆 C的方程： 2 2 1 2 x y  ； (2)( )i 设 P点的坐标为 0 0( , )x y ，点Q是 0 0( , )P x y 关于 x轴的对称点，PA AB ， 0 0( , )Q x y  ， 0 1(0, ) 2 A y ， 直线 QA的斜率为 0 0 0 0 0 1 32 2QA y y yk x x      ，PA的斜率为 0 0 0 0 0 1 2 2PA y y yk x x    ， 3 QA PA k k    ， 直线 AQ，AP的斜率之比为定值． ( )ii 设直线 PA的方程为 .y kx m  联立方程组 2 22 2 y kx m x y      ，化简得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m     ， 设 E点的坐标是 1 1( , )x y ， 2 0 1 2 2 2 1 2 mx x k    ，即 x1   2 2 0 2 2 1 2 m k x    ，y1     2 2 0 2 1 1 2 k m m k x     ， E 点的坐标是       22 2 2 0 0 2 12 2( , ) 1 2 1 2 k mm m k x k x     ， 由 ( )i 可知，直线 QA的方程是 3y kx m   ， F 点的坐标是       22 2 2 0 0 6 12 2( , ) 1 18 1 18 k mm m k x k x      ， 直线 EF的斜率             2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 6 1 2 1 1 18 1 2 6 1. 2 2 2 2 4 1 18 1 2 EF k m k m m m k x k x kk m m k k x k x                 0k  ， 26 1 1 1 1 1 66 2 6 . 4 4 4 2EF kk k k k k k             … 当且仅当 16k k  ，即 6 6 k  时， EFk 有最小值 6 . 2 直线 EF的斜率的最小值是 6 . 2 第 6页，共 8页 20. ( 15分 )已知函数 2( ) ( 1) lnf x a x x   ， a R ，   1e xg x  . （Ⅰ）证明：   1g x x  在区间 (1, ) 恒成立； （Ⅱ）若 ( )f x 的最小值为 0，求 a的值； （Ⅲ）若 11( ) sin( 1) e xf x a x x     在区间 (1, ) 内恒成立，求 a的取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）  g x 在 (1, ) 恒正，故等价于证明 1ex x  在区间 (1, ) 恒成立. 取   1exh x x  ，   1e 1 0xh x     ，故  h x 在区间 (1, ) 单调递增，所以    0 0h x h  . 故原不等式恒成立. （Ⅱ） 22 1( ) , 0axf x x x     ，当 0a„ 时，函数 ( )f x 的单调递减区间是 (0, ) ， ( )f x 不存在最小值； 当 0a  时，函数 ( )f x 的单调递减区间是 1(0, ) 2a ，单调递增区间是 1( , ). 2a  则 ( )f x 的最小值为 1 1 1( ) ln 2 2 2 2 f a a a    ，令 1 1( ) ln 2 , 0 2 2 h a a a a    ，则 1 1 2( ) 1 2 2 ah a a a       ， ( )h a 的单调递增区间是 1(0, ) 2 ，单调递减区间是 1( , ) 2  ， 1( ) ( ) 0. 2 h a h „ 即当 1 2 a  时， ( )f x 的最小值为 0， 1 . 2 a  （Ⅲ）记 11( ) ( ) sin ( 1) xg x f x a x e x      ，则当 0a„ 时，由（Ⅱ）知， ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，所以 ( ) (1) 0.f x f  11sin( 1) e 0xa x x      对 (1, ) 恒成立，又当 1x  时，由（Ⅰ）知， 1 1 1 1e e x x x    ， 取 1x   时， 11 1sin( 1) e sin( 1 1) e 0 1 xa x a x              ，则与已知不等式矛盾. 当 0 1a  时， 1 12 2 1 1 1( ) ( ) sin ( 1) e 2 cos ( 1) ex xg x f x a x ax a x x x x                ， (1) 1 0g a     ，由（Ⅰ）知 2 2 2 1 1 1 (2 1)( 1)( ) 2 x axg x ax a x x x x        … ， 当 2 1 0ax   时， 1x a  ，取 11x a   ，则 1(1 ) 0g a    ， 从而由函数零点存在定理知，存在 0 1(1,1 )x a   ，使 0( ) 0g x  ， 当 0(1, )x x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 0(1, )x 单调递减， ( ) (1) 0g x g  ，与已知不等式矛盾. 当 1a… 时， 2 2 2 2 2 1 1 1 (2 1)( 1) (2 1)( 1)( ) 2 0x ax x xg x ax a x x x x x           … … ， ( )g x 在 (1, ) 单调递增，从而， ( ) (1) 0g x g  ，满足题意. 综上可知 1.a… 第 7页，共 8页 21. ( 15分 )设 na 和 nb 均为各项互不相等的 N项数列，其中  , 1,2, ,i ia b N  ， 1,2, , .i N  记数列 C： 1c ， 2c ，…， Nc ，其中 k k kc a b  ， 1,2, , .k N  (1)写出所有满足条件的数列 na 和 nb ，使得数列 : 1, 1,0,2C   ； (2)若 2024N  ，C是公差不为 0的等差数列，求证： i ia b 为定值； (3)若 C为各项互不相等的数列，记 C中最大的数为 P，最小的数为 Q，求 P Q 的最小值． 【答案】解： (1)显然 4N  ，因为  1 min 1a  ， 根据 ， k k kc a b  ，则  1 min 1a  ，  1 max 3a  ，    4 4min max1, 2b b  ， 从而满足条件的答案有 4组，分别为：    :1,2,4,3, : 2,3,4,1n na b ；   : 2,1,4,3, : 3,2,4,1n na b ；    : 2,3,1,4, : 3,4,1,2n na b ；   : 3,2,1,4, : 4,3,1,2.n na b (2)记等差数列 C的公差为 ( 0)d d  ， 由 , {1,2, ,2024}, , 1,2, ,2024i i k k ka b c a b k     ， 得 12023 2023c „ „ ，则 2024 14046 4046.c c „ „ 由 2024 1 2023c c d  ，得 { 2, 1,1,2}.d    因为  , 1,2, ,2024i ia b   ，且 na 和 nb 均为各项互不相等的 2024项数列， 所以 2024 2024 2024 1 1 1 0i i i i i i c a b         ， 所以  2024 1 2024 1 2024 0 2ii c c c     ，即 1 2024 1012 1013 0.c c c c    所以公差 1013 1012 2.d c c    不妨设公差 2d  ，则 : 2023, 2021, ,2021,2023C    ， 而 2023 只能由 1和 2024得到，去除两端的数后 2021 只能由 2和 2023得到 以此类推，于是 i ia b 总为定值 2025. 第 8页，共 8页 (3)由题意，数列 C中有 N个不同的整数，则 1P Q N … ，当且仅当数列 C为 N个连续整数时取等号， 当 N为偶数时，若存在数列 C，使得 1P Q N   ，则 1 1 ( 1) . 2 N i i i N c c Nc      由 N为偶数，知 1 1ic c N   为奇数，则 1 N i i c   不可能为 0. 这与 1 1 1 0 N N N i i i i i i c a b         矛盾， 所以当 N为偶数时， .P Q N … 当 N为偶数时，如果数列  :1,2,3, , 1, , 1, 2, , 1, 2 2 2 2n N N N Na N N     ； 数列  : 2,4,6, , 2, ,1,3, , 3, 1nb N N N N    ； 那么数列 : 1, 2, 3, , 1, , , 1, , 2,1 2 2 2 2 N N N NC         ，此时满足 .P Q N  当 N为奇数时，如果数列  1 1 1 1:1,2,3, , 1, , 1, 2, , 2, 1, 2 2 2 2n N N N Na N N N         ； 数列  : 2,4,6, , 3, 1,1,3, , 4, 2,nb N N N N N     ； 那么数列 1 1 1 1: 1, 2, , 1, , , 1, , 2,1,0 2 2 2 2 N N N NC           ，此时 1.P Q N   综上，当 N为偶数时， P Q 最小值为 N；当 N为奇数时， P Q 最小值为 1.N 