2024-2025学年中考数学二轮复习专题——特殊平行四边形中作图问题

2024-2025学年中考数学二轮复习专题 特殊平行四边形中作图问题 1．如图，在中，． (1)求作菱形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 2．如图，四边形是矩形． (1)在图1中作对角线的垂直平分线，分别交于点，垂足为点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）中，连接和，求证：四边形是菱形； (3)如图2，点在矩形的边上，且，延长到点，使，连接．若，，则四边形的面积为多少？ 3．如图，矩形中，点是上的一点，． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 4．如图，在四边形中，，，．请用尺规在图中作出菱形（点M在边上，点N在边上）． 5．已知：如图，点O是内部一点． 求作：矩形，使得点D在边上，点E，F在边上（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 6．的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． (1)在图①中，作出的中线； (2)在图②中，作出的重心，记为点． 7．如图，是矩形的对角线． (1)用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，； (2)在（1）条件下，若，求的长． 8．如图，在矩形中，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的中点． (2)在图2中作点，使得． 9．如图，平行四边形中，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，连接，求证：四边形是矩形． 10．如图，这是一个的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，小正方形的顶点叫做格点．点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． (1)在图1中，以为边作菱形（除正方形之外）． (2)在图2中，以为对角线作平行四边形，且其面积为3． 11．在的正方形网格中，点，，都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） (1)如图，的长为______，画出的高． (2)如图，在线段上求作点，使． 12．如图，四边形为矩形，，，点为上的一点（不与点、重合），连接． (1)尺规作图：求作，使，且边与交于点（保留作图痕迹，不写作法），判断四边形的形状，并说明理由； (2)根据以上信息，若四边形为菱形，求的长． 13．如图，四边形是平行四边形，是边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接．求证：四边形是菱形． 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在格点（网格线的交点）上． (1)将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，请作出线段． (2)用无刻度的直尺作出的中点（不写作法，保留作图痕迹）． (3)在上述条件下，连接，请直接写出的长． 15．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点的中心对称图形，并写出点坐标； (2)请用无刻度直尺作出中边上的中线，并保留作图痕迹． 16．如图，在菱形中，对角线，相交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 17．如图，在中，点E为的中点，是其对角线． (1)请仅用无刻度的直尺作图：作出的中点F（保留作图痕迹，不写作法），并证明点F是的中点． (2)在（1）的条件下，连接．给添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是___________． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．的三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于轴对称的； (2)请仅用无刻度的直尺画出边上的中线，保留作图痕迹； (3)若内存在一个格点，使得，请直接写出点的坐标． 19．如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)在图中画出一次函数的图象，并直接写出它与矩形边的交点坐标； (3)将矩形沿射线平移，当点落在反比例函数图象上时，平移的距离为_____． 20．已知：是射线上一点，四边形是正方形． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作中点；在射线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，连接交于点交于点．当时，直接写出线段的长为___________．（如需画草图，请使用图2） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年中考数学二轮复习专题——特殊平行四边形中作图问题》参考答案 1．(1)见解析 (2)菱形的面积为120． 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，尺规作图等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，，则四边形即为所求； （2）连接交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分得到，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形； （2）解：如图，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 2．(1)图见解析 (2)证明见解析 (3)20 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的性质是解题关键． （1）分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，四弧交于两点，过两点作直线可得线段的垂直平分线，由此即可得； （2）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据菱形的判定即可得证； （3）先证出四边形是平行四边形，再求出，然后利用平行四边形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： ． （2）证明：如图，连接和， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴平行四边形的面积为． 3．(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的步骤进行作图即可； （2）根据条件得出，得出对应边相等，再利用勾股定理求出相关的边长，即可求解． 【详解】（1）解：如图,即为所求； （2）解：由(1)知， ∴， 又∵在矩形中,,， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得 ∴， ∴， ∴的长为1. 4．见解析 【分析】分别以点A和点B为圆心，以为半径画弧，交于点M，交于点N，连接，即为所求． 此题考查了尺规作图，菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理． 【详解】如图所示，菱形即为所求． 由作图得，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 5．见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线，矩形的判定．过点O作直线于点F，然后点O作于点O，交于点D，再过点D作于点E，即可求解． 【详解】解：如图，矩形即为所求． 6．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图、矩形的性质、三角形的中线、三角形的重心的定义等知识点，掌握三角形中线、重心的定义成为解题的关键． （1）根据三角形中线的定义以及网格的特点找到的中点D，然后连接即可； （2）根据网格的特点作出上的中线，其交点O即为所求； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，点O为所求作点． 7．(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点形成的直线，即为所求； （2）勾股定理求出的长，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 8．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求． （2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故作直线，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即P为的中点， 则点P即为所求． （2）解：连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N， 则点N即为所求． 9．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 10．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）作出四条边相等的四边形即可； （2）确定另一条对角线即可确定四个顶点解题． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求； （2）解：如图，平行四边形即为所求． 11．(1)，画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（）利用勾股定理可求出的长，取格点，连接交于点，由矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即为的高； （）取格点，连接交于，可得，再根据平行线等分线段定理可得，即点即为所求； 本题考查了勾股定理，矩形和等腰三角形的性质，平行线等分线段定理，掌握以上知识点是解题的关键 【详解】（1）解：由图可得，， 如图所示，线段即为所求， 故答案为：； （2）解：如图所示，点即为所求． 12．(1)作图见解析，四边形为平行四边形，理由见解析 (2)的长为． 【分析】（1）先根据题意作，根据矩形的性质可得，根据作图可得，即可得证； （2）根据菱形的性质得出，在中，由勾股定理得：，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示； 四边形为平行四边形，理由如下： 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为平行四边形． （2）四边形为矩形， ， 四边形为菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：的长为． 【点睛】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．(1)画图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的画图步骤作图即可； （2）如图，连接，证明，可得，结合，可得，，证明四边形是平行四边形，进一步可得结论. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形. 【点睛】本题考查的是作角平分线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等角对等边，熟记判定定理是解本题的关键. 14．(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据平行四边形的对角线相互平分作图即可； （3）运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据旋转的性质，作图如下， （2）解：如图所示，取格点，得到四边形是平行四边形， ∴对角线的交点即为中点； （3）解：∵，，， ∴． 15．(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查平面直角坐标线中图形的变换，图形与坐标，矩形的性质等知识，掌握平面直角坐标系的特点，矩形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质作图，图形与坐标的关系写出点坐标即可； （2）运用格点，矩形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，其中点的坐标为： （2）解：如图所示，根据格点，取矩形，连接对角线交于点， ∴中线即为所求． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线的基本作图解答即可． （2）根据菱形的性质，直角三角形的性质，余角的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据垂线的基本作图，作图如下： 则直线即为所求． （2）证明：四边形是菱形， ， ， ． ∵在菱形中，， ， ∵在中， 在中， ． 【点睛】本题考查了垂线的基本作图，菱形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）连接与相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求．证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，有，从而得结论成立． 【详解】（1）解：如图，连接与相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 证明：因为四边形是平行四边形， 所以，，． 所以， 所以， 则， 而，点为的中点， 所以， 所以， 即点是的中点． （2）解：； 当时， 因为，分别是，的中点， 所以，，， 又四边形是平行四边形，，， 所以， 所以四边形是平行四边形； 因为，即， 所以四边形是矩形． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的性质，矩形的性质，勾股定理及格点的特点是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据矩形的性质作图即可； （3）根据格点与勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图所示，取矩形，连接对角线交于点，连接， ∵矩形的对角线相互平分，即点是中点 ∴即为所作． （3）解：根据格点特点，作交轴于点， ∴点的坐标为． 19．(1)； (2)与矩形边的交点坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式、一次函数的图象与性质、平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 由网格图可知，反比例函数的图象过点，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； 在网格图中画出一次函数的图象，根据图象写出一次函数图象与矩形的交点坐标即可； 求出一次函数与反比例函数的交点坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出平移的距离． 【详解】（1）解：由网格图可知，反比例函数的图象过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：画一次函数图象如下图所示， 由图象可知，一次函数图象与矩形的交点坐标分别为，； （3）解：解方程， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 当时，， 一次函数与反比例函数图象的交点坐标是， 矩形平移的距离是． 故答案为：． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图，相似三角形的判定与性质，正方形的性质； （1）尺规作线段的垂直平分线，得到中点；以为圆心为半径画弧与射线交点即为，使得； （2）先画出图形，根据求出，再根据得到，即可求出线段的长． 【详解】（1）解：如图，中点；在射线上作一点，使得； （2）解：如图，连接交于点交于点． ∵正方形，， ∴，， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$