第一次月考压轴题汇总（有理数与有理数的运算）2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数与运算模块，以数轴和绝对值为核心，构建"概念-方法-应用"三阶训练体系，强化分类讨论与数形结合思想 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数轴综合|6例+4变式|多段分类化简法、动点坐标表示、距离公式应用|从数轴直观到代数表达，构建数与形的转化桥梁| |绝对值应用|4例+4变式|零点分段法、几何意义法求最值|从绝对值定义延伸至最值问题，形成"代数运算-几何直观"双重解法| |创新题型|8例+8变式|规律探究三步法（观察-归纳-验证）、新定义迁移策略|通过符号意识培养，提升数学抽象与模型构建能力| |运算强化|3例+3变式|符号规则口诀、分配律专项训练|夯实有理数运算基础，突破符号易错点与运算优先级难点|

第一次月考压轴题汇总 （有理数与有理数的运算） 压轴题型 考查位置 核心难点 数轴 + 绝对值化简（多段分类） 填空 / 解答压轴 根据数轴上点的位置判断正负，去绝对值符号 数轴动点问题 解答压轴（月考最高频） 用含 t 代数式表示点，距离公式，分类讨论 绝对值最值 / 零点分段法 填空压轴 x-a+x-b 几何意义，求最值 有理数规律探究（数字 / 算式） 选择 / 填空压轴 找通项，裂项、循环规律 新定义运算（选择/解答压轴） 选择 / 解答压轴 读懂定义，代入计算、分类讨论 有理数混合运算 解答题 符号、乘方区分：(-2)² 和 -2²；乘除同级从左往右；分配律漏乘。 【题型一】数轴与绝对值化简（必考压轴） 【例1】．（25-26七年级上·山东济宁·期末）在数轴上对应点的位置如图所示，则___________． 【例2】．（23-24七年级上·江苏南京·期末）数在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简的结果是______． 【例3】．（25-26七年级上·山东聊城·期末）有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简：__________________．    【例4】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）根据数轴，解决下列问题． (1)判断正负，用“>”或“<”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【变式1】．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为________． 【变式2】．（2025七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上表示三个数的点的位置如图所示，化简式子：结果为__________． 【变式3】．（24-25七年级上·北京·阶段检测）已知、、为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)根据数轴化简： ； ； ； (2)若，，，求的值． 【变式4】．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为． 利用上述结论，回答以下问题 （1）若点A在数轴上表示－3，点B在数轴上表示1，那么AB=______； （2）若数轴上两点C、D表示的数为x、－1 ①C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为______； ②若该两点之间的距离是3，那么x值为______； （3）若数轴上表示a的点位于－5和2之间，化简． 【题型二】数轴动点问题（月考解答压轴之王） 【例5】．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【例6】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【例7】．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M，N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点A，B，C表示的数分别是． (1)点到原点的距离是__________，A，C两点之间的距离是__________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，t秒后，求点表示的数是多少？（用含t的式子表示） (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 【变式1】．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【变式2】．（25-26七年级上·河南新乡·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)若数轴上点A表示的数为1，将点A先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度到点B，则终点B表示的数是______，A，B两点之间的距离是______． (2)一般地，若点A表示的数为a，将点A先向左移动m（）个单位长度，再向右移动n（）个单位长度到达终点B，则终点B表示的数是______，A，B两点之间的距离是______．（用含m，n的代数式表示） (3)如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上沿数轴做移动游戏，根据“剪刀、石头、布”的结果进行移动，规则如下： 结果 操作 甲 乙 平局 操作一 向东移动1个单位长度 向西移动1个单位长度 甲胜 操作二 向东移动4个单位长度 向东移动2个单位长度 乙胜 操作三 向西移动2个单位长度 向西移动4个单位长度 若甲负x场，胜y场，平局z场，则试用含x，y，z的代数式分别表示甲、乙最终停留的位置对应的数． 【变式3】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图将一个滑块放在数轴上，数轴的1个单位长度为，滑块的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将滑块沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得到滑块长为_____ ． (2)在（1）的条件下，图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助子涵解决下面的问题： 一天，子涵跟数学老师聊天，老师聊起说：“我若是你现在这么大，你还要28年才出生；你若是我现在这么大，我都86岁，已经退休了，哈哈！”，请求出老师现在多少岁了？ 【变式4】．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，点、、在数轴上对应的数分别为，，，点、、是数轴上的任意三个点． 【初步探究】 （1）若点到点、的距离相等，则点表示的数为___________； （2）若点到点、的距离相等，点在点左侧，且点到点的距离为，用含的代数式表示点到点的距离；（化为最简形式） 【拓展提升】 （3）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，三点同时出发，经过秒时． ①用含的代数式表示代数式点、之间的距离；（化为最简形式） ②若点之间的距离记为，点、之间的距离记为，求的值． 【题型三】绝对值几何意义与最值（填空压轴高频） 【例8】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）的最小值为______ 【例9】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【例10】．（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 【变式1】．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【变式2】．（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【变式3】．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点在数轴上分别对应的数为，，则两点间的距离表示为，根据以上知识解题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是______，最小值为______． ②求的最小值为______． 【变式4】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)与两点之间的距离是________，和两点之间的距离是________． (2)若x表示一个有理数，请你化简，并结合数轴求的最小值．（写解答过程） (3)的最大值是________． (4)的最小值是________． (5)的最小值是________． (6)的最小值是________． 【题型四】有理数规律探究（选择 / 填空压轴） 【例11】．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列等式：，，，，，…根据其中规律可得的结果的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【例12】．点，，，……，（为正整数）都在数轴上，点在原点点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点点的右边，且；……，依照上述规律，点，所表示的数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例13】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【例14】．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是________． 【变式1】．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】．（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【变式3】．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【变式4】．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【题型五】新定义运算（选择、解答压轴） 【例15】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【例16】．（24-25七年级上·广东中山·期中）对于有理数a，b，定义新运算：，则的值为（   ） A．12 B． C． D．48 【例17】．（24-25七年级上·全国·期中）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，则的值（    ） A．2023 B．2022 C． D． 【例18】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【变式1】．（2024七年级上·福建三明·期中）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．则（    ）． A． B．6 C．24 D．30 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：， 运算（二）：，， 利用以上规律计算：（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【变式4】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【变式5】．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【题型六】有理数混合运算 （解答压轴小问） 【例19】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）计算：． 【例20】．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【例21】．（25-26七年级上·四川广元·期末）计算： (1) (2) 【变式1】．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式2】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【变式3】．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动到2025次后所在点表示的数为（    ） A． B．1012 C． D．1014 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 4．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 6．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 7．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 二、填空题 9．（25-26七年级上·全国·期中）在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 11．（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点B到点位置．若点A表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点A在数轴上对应的数为___________． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：． （1）计算：______； （2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是______． 13．（25-26七年级上·四川乐山·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 14．（2022七年级上·福建宁德·竞赛）______． 15．（2026·江苏扬州·二模）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 16．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 三、解答题 17．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 18．已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 19．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 20．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 21．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 22．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 23．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）综合与实践： 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深.其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算． （提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为） (1)【观察发现】 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为______，______，______； (2)【解决问题】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），然后相加． 例如：.（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和为______（提示：类似于十进制的计算方法，逢二进一进行计算） ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程） (3)【类比迁移】 请用十进制求出的结果． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考压轴题汇总 （有理数与有理数的运算） 压轴题型 考查位置 核心难点 数轴 + 绝对值化简（多段分类） 填空 / 解答压轴 根据数轴上点的位置判断正负，去绝对值符号 数轴动点问题 解答压轴（月考最高频） 用含 t 代数式表示点，距离公式，分类讨论 绝对值最值 / 零点分段法 填空压轴 x-a+x-b 几何意义，求最值 有理数规律探究（数字 / 算式） 选择 / 填空压轴 找通项，裂项、循环规律 新定义运算（选择/解答压轴） 选择 / 解答压轴 读懂定义，代入计算、分类讨论 有理数混合运算 解答题 符号、乘方区分：(-2)² 和 -2²；乘除同级从左往右；分配律漏乘。 【题型一】数轴与绝对值化简（必考压轴） 【例1】．（25-26七年级上·山东济宁·期末）在数轴上对应点的位置如图所示，则___________． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据点在数轴上的位置判断式子的符号；由题意得，由此可确定的符号，从而可化简绝对值． 【详解】解：由在数轴上对应点的位置得：， 则， 所以 ． 故答案为：． 【例2】．（23-24七年级上·江苏南京·期末）数在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简的结果是______． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查化简绝对值．先根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴； 故答案为：． 【例3】．（25-26七年级上·山东聊城·期末）有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简：__________________．    【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减的应用 【分析】本题考查了数轴，绝对值，整式的加减，熟记绝对值的性质及去括号、合并同类项法则是解决本题的关键． 根据数轴可得，，，，根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据整式的加减，可得答案． 【详解】解：由题意得：，，，， ， 故答案为：． 【例4】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）根据数轴，解决下列问题． (1)判断正负，用“>”或“<”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)>，<，< (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了化简绝对值，整式加减运算，运用数轴判断式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由数轴得，则，即可作答． （2）根据进行逐个化简，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，由数轴得， 则， 故答案为：>，<，<； （2）解：∵， ∴ ． 【变式1】．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】从数轴上得到：，再根据绝对值运算结果的正负去掉绝对值符号，计算出结果．本题考查了绝对值和数轴的应用，关键根据数轴上的点来判断绝对值运算的结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】．（2025七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上表示三个数的点的位置如图所示，化简式子：结果为__________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】由数轴可知：b＞a＞0，c＜0，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题． 【详解】解：∵b＞a＞0，c＜0， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了数轴和绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．数轴原点左边的为负数，原点右边的为正数，在数轴上右边的数比左边的数大． 【变式3】．（24-25七年级上·北京·阶段检测）已知、、为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)根据数轴化简： ； ； ； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)；b； (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、用数轴上的点表示有理数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值，代数式求值等知识． （1）根据数轴可知：，进而化简绝对值即可． （2）根据，，结合数轴上三个点的位置，得出a，b，c的值，再代入代数式，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据数轴可知：， ∴ ，，. （2）解：根据数轴可知：， ∵，，， ∴，，， ∴ 【变式4】．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为． 利用上述结论，回答以下问题 （1）若点A在数轴上表示－3，点B在数轴上表示1，那么AB=______； （2）若数轴上两点C、D表示的数为x、－1 ①C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为______； ②若该两点之间的距离是3，那么x值为______； （3）若数轴上表示a的点位于－5和2之间，化简． 【答案】（1）4；（2）①；②2或-4；（3） 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离、绝对值方程 【分析】（1）直接根据数轴上的两点距离公式可进行求解； （2）①利用数轴上的两点距离可直接进行求解；②由①可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为4； （2）①由题意得：C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为； ②由①及题意得：， ∴或， ∴或； 故答案为；2或-4； （3）∵数轴上表示a的点位于－5和2之间，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离及绝对值方程，熟练掌握数轴上的两点距离及绝对值方程是解题的关键． 【题型二】数轴动点问题（月考解答压轴之王） 【例5】．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 【例6】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 【例7】．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M，N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点A，B，C表示的数分别是． (1)点到原点的距离是__________，A，C两点之间的距离是__________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，t秒后，求点表示的数是多少？（用含t的式子表示） (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 【答案】(1)； (2)向右运动，秒后点表示的数为；向左运动，秒后点表示的数为 (3)在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、列代数式 【分析】本题考查数轴上的动点问题，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点表示的数，再根据点的运动方向及速度即可求解； （3）先求出点表示的数，再计算出每次运动后点表示的数，进而计算出点与点的距离，即可求解． 【详解】（1）点到原点的距离是，、两点之间的距离是， 故答案为：，； （2）解：∵点和点之间的距离是， ∴点表示的数是， ∵动点P从点B出发，速度为2单位每秒， ∴分两种情况：若向右运动，秒后表示的数为， 若向左运动，秒后表示的数为； （3）解：∵点在点的左侧，和点的距离是个单位长度， ∴点表示的数是． ∴第1次运动后点表示的数， 则此时点与点的距离：； 第2次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：； 第3次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：； 第4次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：． ∵， ∴在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是． 【变式1】．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）略 【变式2】．（25-26七年级上·河南新乡·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)若数轴上点A表示的数为1，将点A先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度到点B，则终点B表示的数是______，A，B两点之间的距离是______． (2)一般地，若点A表示的数为a，将点A先向左移动m（）个单位长度，再向右移动n（）个单位长度到达终点B，则终点B表示的数是______，A，B两点之间的距离是______．（用含m，n的代数式表示） (3)如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上沿数轴做移动游戏，根据“剪刀、石头、布”的结果进行移动，规则如下： 结果 操作 甲 乙 平局 操作一 向东移动1个单位长度 向西移动1个单位长度 甲胜 操作二 向东移动4个单位长度 向东移动2个单位长度 乙胜 操作三 向西移动2个单位长度 向西移动4个单位长度 若甲负x场，胜y场，平局z场，则试用含x，y，z的代数式分别表示甲、乙最终停留的位置对应的数． 【答案】(1)2，1 (2)； (3)； 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、列代数式 【分析】本题考查数轴上点的移动，列代数式，熟练掌握点的移动规则，两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据点的移动规则左移减，右移加，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式，进行求解即可； （2）根据点的移动规则，求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （3）根据游戏规则结合点的移动规则，列出代数式即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为， A，B两点之间的距离是； （2）解：点表示的数为：， A，B两点之间的距离是； （3）解：由题意，甲负x场，胜y场，平局z场，则甲向西平移个单位长度，再向东平移个单位长度，再向东平移个单位长度；乙向西移动个单位长度，再向东移动个单位长度，再向西平移个单位长度， 故甲最终停留时对应的数为：； 乙最终停留时对应的数为：． 【变式3】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图将一个滑块放在数轴上，数轴的1个单位长度为，滑块的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将滑块沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得到滑块长为_____ ． (2)在（1）的条件下，图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助子涵解决下面的问题： 一天，子涵跟数学老师聊天，老师聊起说：“我若是你现在这么大，你还要28年才出生；你若是我现在这么大，我都86岁，已经退休了，哈哈！”，请求出老师现在多少岁了？ 【答案】(1)5； (2)8，13； (3)数学老师现在48岁． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴的实际应用，熟练掌握数轴与有理数的关系以及灵活运用数轴解决问题是解题的关键．利用数轴的线性特征，将抽象的数量关系（如滑块长度、年龄差）转化为直观的数轴上的距离问题，通过分析移动前后的位置变化找到等量关系，从而实现求解． （1）观察数轴移动情况：滑块向右移动时左端到，右端对应；向左移动时右端到，左端对应，此时的距离恰好是个滑块的长度，以此进行求解即可； （2）已知滑块长，向左移动时左端对应，说明点在右侧一个滑块长度处，点在点右侧一个滑块长度处； （3）年龄差相当于“滑块长度”，此时的距离是个年龄差（类似滑块移动的逻辑），所以年龄差为． 【详解】（1）解：由数轴观察知，三个滑块长是（）， 则滑块长为：（）． 故答案为：5； （2）∵滑块长为5，将滑块沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3， ∴A点所表示的数是； ∵将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为18， ∴B点表示的数是； 故答案为：8，13； （3）借助数轴，把子涵和数学老师的年龄差看做滑块， 类似数学老师若是子涵现在这么大看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为， 子涵若是数学老师现在这么大看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为86， ∴可知数学老师比子涵大（岁）， 可知数学老师的年龄为（岁）． 故数学老师现在48岁． 【变式4】．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，点、、在数轴上对应的数分别为，，，点、、是数轴上的任意三个点． 【初步探究】 （1）若点到点、的距离相等，则点表示的数为___________； （2）若点到点、的距离相等，点在点左侧，且点到点的距离为，用含的代数式表示点到点的距离；（化为最简形式） 【拓展提升】 （3）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，三点同时出发，经过秒时． ①用含的代数式表示代数式点、之间的距离；（化为最简形式） ②若点之间的距离记为，点、之间的距离记为，求的值． 【答案】（1），（2），（3）①，② 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】（1）利用中点性质，求的中点，得到表示的数； （2）先求的中点对应的数；再根据到的距离和位置，得出表示的数；最后计算到的距离； （3）①写出秒后、对应的数，作差即得距离；②写出秒后对应的数，分别算、的距离和、的距离，代入代数式计算即可． 【详解】解：（1）∵点到点、的距离相等， ∴点为中点，故点表示的数为， 故答案为：； （2）∵点到点、的距离相等， ∴点为中点，故点表示的数为， ∵点在点左侧，且点到点的距离为， ∴点表示的数为， ∴点到点的距离为； （3）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为， ∴点、之间的距离为； ②由题意得：点表示的数为， ∴点之间的距离， 点、之间的距离， 代入得： ． 【点睛】本题考查了数轴上的中点计算，数轴上两点间的距离表示，动点问题的代数式表示，代数式的化简求值等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【题型三】绝对值几何意义与最值（填空压轴高频） 【例8】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）的最小值为______ 【答案】15 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值的其他应用 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【详解】解：可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值， 故答案为：． 【例9】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【详解】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 【例10】．（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 【答案】8 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义考虑求解更简便． 利用绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点和点7的距离之和，当x在与7之间时，距离之和最小，为两点之间的距离． 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 【变式1】．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 【变式2】．（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可． 【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式3】．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点在数轴上分别对应的数为，，则两点间的距离表示为，根据以上知识解题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是______，最小值为______． ②求的最小值为______． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算，①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和，设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则，分点C在点A左侧，点C在点A和点B之间时（包括A和B），点C在点B右侧，三种情况结合数轴可得当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长；则当时，取最小值，据此求解即可；②同①可知当时，有最小值，当时，有最小值，当时，有最小值，……，当时，有最小值，则当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和， 设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则， 当点C在点A左侧时， ； 当点C在点A和点B之间时（包括A和B），则； 当点C在点B右侧时，则； 综上所述，当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长； ∴当时，取最小值，最小值为， 故答案为：；； ②同①可知当时，有最小值， 当时，有最小值， 当时，有最小值， ……， 当时，有最小值， 综上所述，当时，，，，…，能同时取得最小值，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【变式4】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)与两点之间的距离是________，和两点之间的距离是________． (2)若x表示一个有理数，请你化简，并结合数轴求的最小值．（写解答过程） (3)的最大值是________． (4)的最小值是________． (5)的最小值是________． (6)的最小值是________． 【答案】(1)    (2) 当时，． 当时，． 当时，． 因为， 所以数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离． 所以当时，有最小值为． (3) (4) (5) (6) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴、绝对值： （1）根据题干描述，即可求得答案； （2）化简，分，，三种情况讨论；数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离，据此即可求得答案； （3）数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离，据此即可求得答案； （4）当时，有最小值； （5）当时，有最小值； （6）当时，有最小值． 【详解】（1）解：与两点之间的距离，和两点之间的距离． 故答案为：   （2）略 （3）因为， 所以数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离． 当时，有最大值，最大值． 故答案为： （4）根据题意可知，当时，有最小值，最小值． 故答案为： （5）根据题意可知，当时，有最小值，最小值． 故答案为： （6）根据题意可知，当时，有最小值， 最小值 ． 故答案为： 【题型四】有理数规律探究（选择 / 填空压轴） 【例11】．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列等式：，，，，，…根据其中规律可得的结果的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查尾数特征，抓住的尾数特征是求解本题的关键． 根据的尾数特征判断． 【详解】解：根据，，，，可得， 个位数字分别为，，，，， 故的个位数按，，，循环出现． ， 的个位数是1． 故选：D． 【例12】．点，，，……，（为正整数）都在数轴上，点在原点点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点点的右边，且；……，依照上述规律，点，所表示的数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数字类规律探索 【分析】依据表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，……，即可得出规律：当n为奇数时，表示的数为；当为偶数时，表示的数为，进而得到答案． 【详解】解：由题意可得：表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，……， 当n为奇数时，表示的数为， 当为偶数时，表示的数为， ∴点表示的数分别为，所表示的数分别为． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴，规律型：数字的变化类，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出公式． 【例13】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数轴上的中点规律与有理数的乘方运算，熟练掌握“每次跳动后点到原点的距离为”的规律是解题的关键． 先根据每次跳动的中点规律，确定第次跳动后点到的距离，再分别求出2026次跳动后点的位置和的中点的位置，进而计算它们的中点距离． 【详解】解：∵，第1次跳到中点，∴； ∵第2次跳到中点，∴； ∵第3次跳到中点，∴； …… ∴第次跳动后，． ∵2026次跳动后，点到的距离为； ∵，，； ∴点到的中点的距离为； ∴经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离为． 故选：D． 【例14】．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是________． 【答案】4 【知识点】归纳与类比、有理数的乘方运算 【分析】根据题意，得出的个位数字的变化规律即可解决问题. 【详解】解：由题意可得： 所以的个位数字按循环. 又因为 所以的个位数字是4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了数字变化规律及尾数特征，解题的关键是根据题意得到个位数字按照循环. 【变式1】．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【详解】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2026对应的顶点与数4对应的顶点相同，即为点． 【变式2】．（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 【变式3】．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【答案】157 【知识点】数字类规律探索、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数字类规律型探究，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．观察根据排列的规律得到第一行为数轴上左边的第一个数1，第二行为1右边的第6个数13，第三行为13右边的第15个数43，第四行为43右边第24个数91，…，由此规律可得出第五行的数． 【详解】解：根据排列的规律得到： 第一行为数轴上左边的第一个数1， 第二行为1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行为13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行为43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行为91向右数第个数，为第个奇数，即． 故答案为：157． 【变式4】．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【知识点】乘方的应用 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 【题型五】新定义运算（选择、解答压轴） 【例15】．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解：由，得. 【例16】．（24-25七年级上·广东中山·期中）对于有理数a，b，定义新运算：，则的值为（   ） A．12 B． C． D．48 【答案】B 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，直接根据新定义计算，即可求解，熟练掌握根据新定义进行计算是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 【例17】．（24-25七年级上·全国·期中）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，则的值（    ） A．2023 B．2022 C． D． 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义运算以及含乘方的有理数的混合运算，先根据新定义得出，再运算乘方，然后乘法，最后加减，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 故选：B． 【例18】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 【变式1】．（2024七年级上·福建三明·期中）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．则（    ）． A． B．6 C．24 D．30 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】根据新定义先计算，再计算即可求解． 【详解】解：∵． ∴ ∴ =24． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：， 运算（二）：，， 利用以上规律计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查新定义运算，数字类规律探索，理解题中的新定义运算法则是解决问题的关键． 根据题中所给的两个运算，总结出规律：，其中为整数；，其中为非零的整数，代值求解即可得到答案． 【详解】解：运算（一）：， ，其中为整数； 运算（二）：，， ，其中为非零的整数； ∴， 故选：C． 【变式3】．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【知识点】绝对值非负性、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 【变式4】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【答案】(1) (2) (3) 满足交换律 ， ， ， 故满足交换律． 【知识点】有理数加法运算律、含乘方的有理数混合运算、列代数式 【分析】（1）观察题目给出的算式，归纳出的通用运算公式； （2）先计算括号内的，再将结果代入外层算式计算最终结果； （3）根据交换律的定义，分别计算与，验证二者是否相等． 【详解】（1）解：根据题意可知，． （2）解：， ． （3）略 【变式5】．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：. 【题型六】有理数混合运算 （解答压轴小问） 【例19】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解： ． 【例20】．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例21】．（25-26七年级上·四川广元·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先括号里的有理数的加减运算，再根据有理数的乘法和加减运算法则求解即可； （2）先乘方和绝对值运算，再乘除运算，最后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数加法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【详解】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)16 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动到2025次后所在点表示的数为（    ） A． B．1012 C． D．1014 【答案】D 【分析】本题主要考查规律型问题，点M从数轴上1开始移动，奇数次向右移动，偶数次向左移动，移动长度等于移动次数，移动2025次（奇数次）后，净位移为向右1013个单位，因此最终位置为起点加净位移可解答． 【详解】解：∵移动次数为奇数， ∴净位移数（向右）； ∵起点为1， ∴最终位置， 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 3．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 4．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 5．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质逐一判断各选项正误． 【详解】解：若，则或，例如，时，但，故A错误； ，当异号或至少有一个为零，即时，结论正确；又a、b均为非零有理数，因此，故B正确； 由，根据绝对值的性质可得，即，故C正确； 由a、b在原点两侧可得a、b异号且均不为0，故当时，此时，从而，和为0；当时，此时，从而，和为0，故D正确． 6．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 7．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，理解题意找到点的变化规律是解题关键． 先分析翻转一周的过程中，每个点对应的数，再分析翻转第二周后，每个点对应的数．两者一对比，总结出规律，然后推广到题干要求的数字． 【详解】解：正方形在数轴上翻转一周的过程中，点B所对应的数为，点C所对应的数为，点D所对应的数为，点A所对应的数为．再翻转一次，点B所对应的数为，故每四次一循环． ∵， ∴与所对应的点相同，即数所对应的点是点A， 故选：A． 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 二、填空题 9．（25-26七年级上·全国·期中）在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离和相反数的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 先由点与点的距离为，求出点表示的数，再根据点与点互为相反数，求出点表示的数． 【详解】解：点表示的数是，点与点之间的距离为， ，解得或， 点和点表示的数互为相反数， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 11．（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点B到点位置．若点A表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点A在数轴上对应的数为___________． 【答案】4049 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻滚为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，每3次翻滚为一个循环组依次循环， ， 翻转2024次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是， 故答案为：4049． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：． （1）计算：______； （2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是______． 【答案】 【分析】（）直接利用规定的运算方法计算即可； （）要使结果最大，必须使这两个数的和最大，且两个数的差最小，由此可知和符合题意，由此按照规定的运算计算得出答案即可； 此题考查了新定义，以及有理数的混合运算，理解题意，掌握规定的运算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）根据题意和两个有理数符合题意， 则， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·四川乐山·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 【答案】 5 或3 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题干公式即可解答； （2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 14．（2022七年级上·福建宁德·竞赛）______． 【答案】 【分析】令，，则，将所求式子进行变形，计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则， ∴ ． 15．（2026·江苏扬州·二模）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【分析】根据已知及要求，1~10的十个数字应大小间隔相排，如10，1，9，2，8，3，7，4，6，5且相邻两个格子(具有公共边)两个数之差的绝对值之和最大． 【详解】解：如图所示： 最大值． 故此最大值为50． 16．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【答案】 22 或或2或4 【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可； （2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可． 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 【点睛】题目给出线段长度和经过的点，必须先算出两条线段准确端点，理解新定义概念及算法：：两线段上点的最小距离（通常是右线段左端点左线段右端点），：两线段上点的最大距离（通常是右线段右端点左线段左端点），第二问中线段b位置不确定，必须分左右两种情况讨论，算出线段b的准确端点，对每种情况，用两点距离为6，找出符合条件的整数x、y，注意不漏解、不重解． 三、解答题 17．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】(1)原点 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值的定义可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的数轴； （3）根据（2）中的数轴可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值； （2）解：如图，点A、B、C、D即为所求； （3）解：由数轴可得，． 19．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【答案】(1)在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C (2)它应该往左爬2个单位长度 (3)当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位 【分析】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案． 【详解】（1）解：因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）解：因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 20．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 【答案】(1)11 (2)7 (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）根据，由构造出4，由6构造出5，写出定义的新运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：要使得数字和6在你定义的新运算下运算的结果为20， 我定义的新运算为：， ∴，符合题意． 21．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 正；负；平方；平方 (2) (3) 存在，， 【分析】 （1）根据题干信息进行总结； （2）按照题干的运算法则，先计算的结果，结果为4，再根据同样的运算法则计算即可； （3）两个数的平方和为0，则这两个数都为0，即可计算出m，n的值． 【详解】（1） 解：略 （2） ； （3） 存在有理数m，n，使得； ； ， ，； 解得：，． 22．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 23．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）综合与实践： 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深.其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算． （提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为） (1)【观察发现】 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为______，______，______； (2)【解决问题】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），然后相加． 例如：.（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和为______（提示：类似于十进制的计算方法，逢二进一进行计算） ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程） (3)【类比迁移】 请用十进制求出的结果． 【答案】(1)；，； (2)；12； (3)204； 【分析】本题主要通过二进制、五进制、八进制与十进制的转换考查乘方的运算，关键是不同进制数的位权展开法，以及二进制数的加法运算． （1）根据阳爻对应1、阴爻对应0的规则，结合二进制数的高位到低位顺序，分析卦象的爻组合得到二进制数； （2）①直接对两个二进制数进行加法运算； ②利用位权展开法，将二进制数的每一位乘以2的对应次方后相加，转换为十进制数． （3）分别将五进制和八进制数通过位权展开法转换为十进制数，再进行加法运算得到最终结果． 【详解】（1）解：左起第二个卦象为上阳爻、中阳爻、下阳爻，对应二进制数的三位为，即， 左起第三个卦象为上阳爻、中阴爻、下阴爻，对应二进制数的三位为，即， 左起第四个卦象为上阳爻、中阴爻、下阳爻，对应二进制数的三位为，即， 故答案为：；，； （2）解：①， 故答案为：； ②； （3）解：先将三进制数转十进制： ， 再将四进制数转十进制： ， 最后相加：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $