精品解析：广西壮族自治区柳州市部分学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2025年5月高二阶段检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二、三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（ ） A. 2种 B. 10种 C. 12种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理计算可得. 【详解】根据分类加法计数原理可知小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有种. 故选：C 2. 已知某商店月份月利润（单位：万元）关于其对应的月份代码（月份的月份代码依次为）的经验回归方程为，且，则（ ） A. 3.6 B. 1.5 C. 1.4 D. 1.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据经验回归直线经过样本点中心可得结果. 【详解】由题意得， 因为，所以该经验回归直线经过样本点中心. 由，得. 故选：B. 3. 直线：与圆：交于，两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式结合几何法表示出弦长可解. 【详解】圆的圆心为原点，半径，圆心到直线的距离， 所以，解得. 故选：C. 4. 某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析题给条件用捆绑法即可，再根据分步乘法计算可得排列种数. 【详解】4位任课老师站在一起的排法种数为， 将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有， 再根据分步乘法得排列种数为. 故选：A. 5. 给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（ ） A. 556 B. 557 C. 292 D. 291 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到数列的递推关系式，利用累加法结合分组求和可求出. 【详解】根据题意，， 则， 即，又因为，故. 故选：C. 6. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，，则到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用抛物线的定义，得到，再利用点在抛物线，即可求解. 【详解】设，，解得， 所以，得到，故到轴的距离为. 故答案为：C. 7. 刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正四棱锥的结构特征得到为侧面与底面所成的角，进而利用勾股定理推得正四棱锥的每个侧面均为正三角形，从而利用“曲率”的定义即可得解. 【详解】如图，连接，，设，连接，则平面， 取的中点，连接，，    则由正四棱锥的结构特征可知， 所以为侧面与底面所成的角， 设，则， 在中，， 所以，又，所以， 所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形， 所以顶点的每个面角均为， 故正四棱锥在顶点处的曲率为. 故选：D. 8. 若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式系数的和可得，再由二项式的展开式代入计算，即可得到结果. 【详解】的展开式各项系数的绝对值之和等于的展开式各项系数之和， 则，得，则， 因为的展开式中没有的项， 所以的展开式中的系数为的展开式中的系数， 即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. B. 公比为2 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的前项和公式及通项公式的基本量运算即可判断. 【详解】设等比数列的公比为，则，, 由题意得， 因为，由，得， 即，解得或（舍去） 所以， 故，. 故选：ABD. 10. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（ ） 参考公式与数据：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B. 可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 C. 学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 D. 学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】求得卡方值，可判断AB，再由全概率计算公式，可判断CD. 【详解】表格如下： 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立. 根据表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关. 设事件“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”， 事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，短跑成绩不合格”， “学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”， 则，，， 所以， 所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后，学生甲短跑成绩合格的概率为. 故选：BC 11. 已知曲线，点，则（ ） A. 当P为C上的动点时，的取值范围是 B. 当P为C上的动点时，的取值范围是 C. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据点的位置，判断AB，直线与曲线表示的椭圆联立，以及求出与轴的交点，根据韦达定理，判断CD. 【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成， 易知,为椭圆的两个焦点， 若点在椭圆上时，， 若点是原点时，， 曲线上的其他点，则， 所以的取值范围是，A正确； 当点P在直线上时，, 当点P在椭圆上时，， 由，得，B正确. 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，即，且，， 由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为， 则+=，解得，D正确. 当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列， 则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有___________个． 附：若，则． 【答案】1587 【解析】 【分析】根据正态分布的概率性质计算求解. 【详解】由可知， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故答案为：1587. 13. 设随机变量，且，则________；若随机变量满足，则的方差为________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式可得出关于的等式，结合可求出的值，再利用二项分布的方差公式以及方差的性质可求得的值. 【详解】因为随机变量，且，即， 由题意可知，化简可得，解得，则. 因为，所以，则. 故答案为：；. 14. 《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由棱柱的体积公式结合基本不等式的推论即可求解. 【详解】 由题意，则，令， 由，得， 堑堵体积， 当且仅当，即时取等号， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正三棱柱中，，为的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为正三角形，所以, 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 所以，， ， 则点到直线的距离. 【小问2详解】 因为，． 所以． 所以异面直线与BD所成角的余弦值为． 16. 已知数列的前n项和满足为常数，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求，再代入公式，即可求解； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由条件可知，，得， 即，当时，，得， 当时，， 所以， 得， 当时，成立， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， ， ， ， 所以. 17. 正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会. （1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求； （2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由古典概型求得概率； （2）由古典概型分别得到的概率，从而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”， 记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”， 则由（1）得，， ， 则的分布列为： 0 100 200 P 则. 18. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是的右顶点，且，. （1）求的方程； （2）是上一点，且，求的面积； （3）已知，是上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程组，求解出基本量，进而得到双曲线方程即可. （2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式求解面积即可. （3）结合题意先排除特殊情况，进而设出的方程，再联立并使用韦达定理得到，，最后结合求出定点即可. 【小问1详解】 由题意得，， 解得，，得到，故的方程为. 【小问2详解】 设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理得 ， 解得， 则的面积为. 【小问3详解】 易知，如图，设，， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 所以，， 因为， 所以， 化简得， 即， 又，化简得，所以直线过定点. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）； （2）①； ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 【小问1详解】 由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 ①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月高二阶段检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二、三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（ ） A. 2种 B. 10种 C. 12种 D. 20种 2. 已知某商店月份月利润（单位：万元）关于其对应的月份代码（月份的月份代码依次为）的经验回归方程为，且，则（ ） A. 3.6 B. 1.5 C. 1.4 D. 1.8 3. 直线：与圆：交于，两点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（ ） A. B. C. D. 5. 给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（ ） A. 556 B. 557 C. 292 D. 291 6. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，，则到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（ ） A. B. C. D. 8. 若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 70 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. B. 公比为2 C. D. 10. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（ ） 参考公式与数据：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B. 可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 C. 学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 D. 学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 11. 已知曲线，点，则（ ） A. 当P为C上的动点时，的取值范围是 B. 当P为C上的动点时，的取值范围是 C. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有___________个． 附：若，则． 13. 设随机变量，且，则________；若随机变量满足，则的方差为________. 14. 《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正三棱柱中，，为的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 16. 已知数列的前n项和满足为常数，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会. （1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求； （2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望. 18. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是的右顶点，且，. （1）求的方程； （2）是上一点，且，求的面积； （3）已知，是上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $