精品解析：山东省青岛市青岛五十八中高新学校2024-2025学年高三下学期一模数学试题

青岛五十八中高新校区2025年高考数学一模 数学试题 命题：高三数学 李梓毅 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题 1. 设集合,则集合中元素的个数是 A B. C. D. 2. 已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序编排方案共有 A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种 4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到kg） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（ ） A. B. C. D. 8. 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是( ) A. 若与共线，则 B. C. 对任意的，有 D. 二、多选题 9. 下列计算结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 是偶函数 B. 一个周期是 C. 的最大值是2 D. 的最小值是0 11. 平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ） A. 点的轨迹的方程是 B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C. 直线与点的轨迹相离 D. 已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 三、填空题 12. 在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为____________________. 13. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________ 14. 已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于的两点.设，且，则的周长的最大值为__________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）讨论极值点的个数. 16. 如图所示，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明:AE⊥PD; (2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为, 求二面角E—AF—C的余弦值. 17. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 （1）求的值； （2）求随机变量的数学期望； （3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分概率的大小. 18. 已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点. （1）证明和均为定值; （2）设线段的中点为，求的最大值； （3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由. 19. 已知数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得； ②对于中任意连续三项，，，均有． （1）分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由： （i）有穷数列：； （ⅱ）无穷数列：． （2）若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m最大值； （3）若数列满足性质①和性质②，且，，，求通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛五十八中高新校区2025年高考数学一模 数学试题 命题：高三数学 李梓毅 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题 1. 设集合,则集合中元素的个数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C． 2. 已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数的定义直接求得结果. 【详解】样本数据1，3，5，7，9，11，13，15的中位数是. 故选：C 3. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：若甲排在第一位，则乙有4种排法；若甲排在第二位，则乙有3种排法；因此编排方案共有,选B． 考点：排列 4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换的特征求出平移后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可得解. 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位， 得， 因为函数为偶函数， 所以，则， 故选项中的一个可能取值为. 故选：B. 5. 2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到kg） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据题意，， 令，则， 所以，则， 即 所以. 故选：B 6. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为：，即：. 又因为光线与圆相切，所以，, 整理：，解得：，或,故选D． 考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系. 7. 某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式及条件概率计算求解. 【详解】设患病为事件，设检测结果为阳性为事件， 某疾病在人群中的患病率为，检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为， 则，，， 则，， 所以， 如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为. 故选：B. 8. 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是( ) A. 若与共线，则 B. C. 对任意的，有 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算“”的定义，结合向量数量积以及共线的坐标运算即可逐一选项检验. 【详解】对于A，若与共线，则，即，故A正确； 对于B，因，，所以，故B错； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，因， ，所以，故D正确， 故选：B． 二、多选题 9. 下列计算结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，则，利用复数乘法以及复数的模长公式逐项判断即可. 【详解】设，则，， ，， 所以，同理可得， 因此，， 故选：ACD. 10. 已知，则（ ） A. 是偶函数 B. 一个周期是 C. 的最大值是2 D. 的最小值是0 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，先得到函数的定义域，再得到，故A正确；B选项，计算得到，B正确；C选项，化简得到，由于函数定义域，故取不到，C错误；D选项，在C基础上，得到的最小值，D正确. 【详解】A选项，的定义域为， 又， 故为偶函数，A正确； B选项，， 故的一个周期为，B正确； C选项，， 由于函数定义域为，故取不到， 故取不到2，C错误； D选项，由C可知，当时，取得最小值0，D正确. 故选：ABD 11. 平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ） A. 点的轨迹的方程是 B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C. 直线与点的轨迹相离 D. 已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：设点，结合题意分析求解即可；对于B：分析可知点在圆内，结合圆的性质分析求解；对于C：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D：分析可知当时，取到最小值，四边形面积取最小值，运算求解即可. 【详解】对于选项A：设点， 因为，整理可得，故A正确； 对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是， 且，可知点在圆内， 过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点， 根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误； 对于选项C：圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 对于选项D：因为四边形面积， 由数形分析可知：当时，取到最小值， 所以四边形面积取最小值，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：对于BD：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值. 三、填空题 12. 在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为____________________. 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．由得，所以 由正弦定理得，所以A= 或（舍去）、 13. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________ 【答案】 【解析】 【详解】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为， 所以， 考点：几何体的体积. 14. 已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于的两点.设，且，则的周长的最大值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值. 【详解】 由条件 ， ， 即 ， ， 设 ，由题意： ，则 ， ，即 ，即椭圆C的标准方程为 ， ； 设左焦点为F，右焦点为 ，如下图： 则 的周长 , ，当 三点共线时等号成立， ， l的得最大值为8； 故答案为：8. 四、解答题 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）讨论极值点的个数. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数. 【小问1详解】 当时，定义域为， 又， 所以， 由，解得，此时单调递增； 由，解得，此时单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增， 即极值点的个数为个； 当时，易知， 故解关于的方程得，，， 所以， 又，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 16. 如图所示，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明:AE⊥PD; (2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为, 求二面角E—AF—C的余弦值. 【答案】（1）证明略（2）所求二面角的余弦值为 【解析】 【详解】(1) 由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°, 可得△ABC为正三角形. 因为E为BC中点,所以AE⊥BC. 又BC∥AD,因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE. 而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A, 所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD, 所以AE⊥PD. (2) 如图所示，设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH、EH, 由(1)知,AE⊥平面PAD, 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中,AE=, 所以,当AH最短时,∠EHA最大, 即当AH⊥PD时,∠EHA最大. 此时,tan∠EHA===, 因此AH=.又AD=2, 所以∠ADH=45°,所以PA=2. 方法一 因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC, 所以,平面PAC⊥平面ABCD. 过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC, 过O作OS⊥AF于S,连接ES, 则∠ESO为二面角E—AF—C的平面角. 在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=, AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点, 在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=, 又SE===, 在Rt△ESO中,cos∠ESO===, 即所求二面角的余弦值为. 方法二 由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 又E、F分别为BC、PC的中点，所以 A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(，，1）， 所以=(，0，0）， =(，，1）. 设平面AEF的一法向量为 m=（x1，y1，z1）， 因此 取z1=-1，则m=（0，2，-1）， 因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， 所以BD⊥平面AFC， 故为平面AFC的一法向量. 又=（-，3，0）， 所以cos〈m,〉===. 因此,二面角E—AF—C为锐角, 所以所求二面角的余弦值为 17. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 （1）求的值； （2）求随机变量的数学期望； （3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）对立事件和相互独立事件性质，由求出结论；（2）依题意，随机变量的取值为0,1,2,3,4,5，利用独立事件的概率求，在根据求解；（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”， 则，，比较与的大小，可得出结论. （1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知，解得.（2分） （2）根据题意. ， . 因此.（8分） （3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”， 用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”， 则. . 故P(D)>P(C). 即该同学选择都在B处投篮得分超过3分概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率.（12分） 考点：对立事件和相互独立事件性质，随机变量的均值. 18. 已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点. （1）证明和均为定值; （2）设线段的中点为，求的最大值； （3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2） （3）椭圆C上不存在三点，使得  【解析】 【分析】（1）根据已知设出直线的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线的距离，根据三角形面积公式，即可求得和均为定值； （2）由（I）可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值； （3）假设存在，满足，由（1）得，，，， ，，从而得到的坐标，可以求出方程，从而得出结论. 【小问1详解】 （ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以 ∵在椭圆上 ∴ ① 又∵， ∴ ② 由①②得，．此时； （ⅱ）当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得 故即 又， ∴ ∵点到直线的距离为 ∴ 又 整理得 此时 综上所述结论成立． 【小问2详解】 （ⅰ）当直线的斜率不存在时，由（1）知 ， 因此． （ⅱ）当直线的斜率存在时，由（1）知 所以 ．当且仅当， 即时，等号成立． 综合（1）（2）得的最大值为. 【小问3详解】 椭圆C上不存在三点，使得  证明：假设存在，满足 由（1）得，，，， ， 解得：，. 因此从集合中选取，从集合中选取； 因此只能从点集这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与矛盾. 所以椭圆C上不存在三点，使得  【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．（3）考查学生观察、推理以及创造性地分析问题解决问题的能力. 19. 已知数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得； ②对于中任意连续三项，，，均有． （1）分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由： （i）有穷数列：； （ⅱ）无穷数列：． （2）若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值； （3）若数列满足性质①和性质②，且，，，求的通项公式． 【答案】（1）（i）不满足，理由见详解；（ⅱ）满足，理由见详解 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）（i）令，代入求解即可判断；（ⅱ）对于任意，直接相乘得到即可判断； （2）对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，令时，得到；再令时，得到，从而得到数列至多有0，－1，1共3项，再构造数列：0，－1，1，证明其满足性质①和性质②，进而即可求得项数m的最大值； （3）首先证明：当，时，数列满足，且， (*)，再考虑，，三项，结合性质(*)得到，从而，最后经验证，数列：满足条件，再通过反证法证明这是唯一满足条件的数列即可． 【小问1详解】 （i）不满足．令，则不是数列中的项，故有穷数列不满足性质①； （ⅱ）满足．对于任意，有， 由于，令即可，故无穷数列满足性质①． 【小问2详解】 对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为， 故令时，存在一项， 又是数列非零项中绝对值最大，所以，即； 再令时，存在一项， 又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即， 又，所以数列所有非零项的绝对值均为1， 又数列的各项均不相等，所以其至多有0，－1，1共3项，所以， 构造数列：0，－1，1， 其任意两项乘积均为0，－1，1之一，满足性质①； 其连续三项满足，满足性质②. 又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时， 综上，的最大值为3． 【小问3详解】 首先证明：当，时，数列满足，且， (*) 因为对于任意数列的连续三项，，，总有， 即或，不论是哪种情形， 均有 当时，，即； 当时，，亦有， 又，故性质(*)得证． 考虑，，三项，有或， 若，则，此时令，有， 由性质(*)知不存k 使得，且， 故只有，此时， 因为， 所以令时，， 由性质(*)知，只有或， 当 时，，，此时令，， 但，即， 由性质(*)知不存在k使得， 所以，即，从而， 经验证，数列：满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列， 假设是第一个不满足上述通项公式的项，， 当，时，只能为， 令，则 ，但， 由性质(*)，不存在k使得， 当，时，只能为， 则， 令，则，但， 由性质(*)，不存在k 使得， 故不存在不满足上述通项公式的项， 综上，数列的通项公式为． 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $