19.1 一次函数 19.1.1 变量与函数 教学设计　 2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.1 一次函数 19.1.1 变量与函数 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章“一次函数”的第一节“变量与函数”，主要内容包括：通过实际情境理解变量与常量的概念，掌握函数的定义，能识别实际问题中的自变量与函数，并学会用解析式表示函数关系。通过具体案例，学生将体会变量之间的依存关系，为后续学习一次函数的图像与性质奠定基础。 2. 内容解析 函数是数学中刻画变量间关系的重要模型。本节课从生活实例出发，引导学生从具体问题中抽象出变量与常量的概念，理解函数的核心特征——“唯一对应性”。通过分析表格、关系式、图像等多种表达方式，帮助学生建立函数的整体认知，并渗透数学建模思想。函数概念的建立是后续学习一次函数、反比例函数等的基础，也是解决实际问题的关键工具。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 能结合具体实例区分变量与常量，理解函数的定义，并能识别自变量与函数。 (2) 能根据实际问题列出函数的解析式，并确定自变量的取值范围。 (3) 通过分析不同表达形式（表格、关系式、图像）的函数关系，发展抽象能力和数学建模意识。 2. 目标解析 通过本节课的学习，学生能够从现实问题中抽象出变量与常量的概念，明确函数的核心是变量间的唯一对应关系。学生将学会用数学语言描述函数，并理解解析式在解决实际问题中的作用。通过函数模型的建立，为后续学习函数的图像、性质及应用打下坚实基础。 三、教学问题诊断分析 1. 概念混淆：学生可能难以区分变量与常量，尤其是当问题中存在多个变化量时。 1. 唯一对应性理解不足：部分学生可能无法准确理解“对于自变量的每一个值，函数有唯一确定值对应”这一核心特征。 1. 实际应用困难：在列函数解析式时，学生可能忽略自变量的实际意义，导致取值范围错误。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 汽车以60 km/h匀速行驶，行驶时间（小时）与路程（千米）的关系如下表，请补全表格并思考：的值如何随变化？ 问题2 电影票每张10元，若一场售出张票，票房收入元如何表示？当时，是多少？若售出票数变化，如何变化？ 问题3 用10米长的绳子围矩形，若一边长为米，邻边长米如何表示？当时，是多少？是否随变化？ 设计意图 通过生活实例引导学生感知变量间的依存关系，体会“变化”与“不变”，初步抽象出变量与常量的概念，对应目标（1）。 （二）合作探究1 探究1 分析问题1-3，回答： 1. 每个问题中哪些量是变化的？哪些量是不变的？ 1. 变量之间是否存在特定的对应关系？举例说明。 答： · 问题1：和是变量，速度60 km/h是常量；。 · 问题2：和是变量，票价10元是常量；。 · 问题3：和是变量，总长10米是常量；。 追问：若问题3中绳子总长变为20米，与的关系式如何变化？ （三）巩固练习1 1. 练习1 某市水价4元/吨，某户月用水量吨，水费元。指出变量与常量，写出与的关系式。 答：变量：、，常量：4元/吨；关系式：。 1. 练习2 手机通话费0.2元/分钟，话费卡余额元与通话时间分钟的关系式为。当时，是多少？ 答：元。 （四）合作探究2 探究2 观察问题1-3的变量关系，回答： 1. 每个问题中有几个变量？ 1. 当一个变量取定值时，另一个变量是否唯一确定？ 猜想：存在两个变量，且一个变量唯一确定另一个变量。 验证：通过表格、关系式验证唯一对应性。 探究3 归纳函数定义： 在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，则称是自变量，是的函数。 设计意图 通过实例分析，引导学生归纳函数的核心特征，强化“唯一对应性”，对应目标（2）。 （五）典例分析 例1 汽车油箱有油50L，每千米耗油0.1L，剩余油量（L）与行驶路程（km）的关系为： (1) 求自变量的取值范围； (2) 行驶200 km时，剩余油量是多少？ 解： (1) 实际意义下，且，故。 (2) 时， L。 设计意图 通过综合例题强化函数解析式的应用，并强调自变量的实际限制，对应目标（3）。 （六）巩固练习 1. 练习1 正方形边长变化时，面积如何变化？写出函数解析式。 答：，是自变量，是函数。 1. 练习2 水池初始水量10 L，每小时漏0.05 L，水量与时间的关系式为______。 答：，。 1. 练习3 人口普查年份与人口数的关系如右表，判断是否为的函数。 答：是，每个年份对应唯一人口数。 （七）归纳总结 知识点 描述 变量与常量 数值变化的是变量，始终不变的是常量 函数定义 对自变量每一个值，函数有唯一对应值 解析式 用数学式子表示函数关系，如 （八）感受中考 1. (2023北京) 已知函数，当时，。 解析：代入计算，。 1. (2024上海) 水箱水量（L）与时间（h）的关系为，自变量取值范围是（ ） A. B. C. D. 答：C。实际中水量不能为负，。 1. (2022广东) 某商品单价50元，销量与收入的关系式为______。 答：。 1. (2023浙江) 如图为温度随时间变化的图像，判断温度是否为时间的函数。 答：是，每个时间对应唯一温度值。 （九）小结梳理 知识模块 关联点 变量与常量 基础概念，区分变化与不变 函数定义 唯一对应性是核心 解析式 连接实际与数学模型的工具 （十）布置作业 必做题 1. 课本习题19.1 第1题、第3题。 1. 写出匀速运动中路程与时间的函数解析式，并指出常量与变量。 选做题 研究家中水电费账单，分析其中变量与函数关系，并写出至少两个函数解析式。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$