精品解析：广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2023级“贵百河”5月高二年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量的分布列如下表，则的值为（ ） 1 2 3 A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据分布列性质得，再利用期望公式即可得到答案. 【详解】由分布列可得，解得． 故． 故选：C． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算及共轭复数的意义求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 3. 满足双曲线的是（ ） A. 焦距是2 B. 离心率是 C. 渐近线是 D. 实轴是4 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定焦距、离心率、渐近线、实轴，即可得. 【详解】由双曲线，则、、， 所以焦距为，离心率为，渐近线斜率为，实轴长为4. 故选：D 4. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程得，再由向量线性关系的坐标运算及数量积的坐标表示求结果. 【详解】由题设，则，故， 所以，， 所以. 故选：A 5. 为推动旅游发展，某旅行社设计了5条不同的旅游路线，分别记为、、、、．某团队要从中任选3条路线，在假期分三批组织队员出游，且路线和路线不能同时被选中，不同的选择及安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】由分组分配原理求出总的情况减去同时选到、路线的情况即可. 【详解】由题知任选3条路线，分三批组织队员出游共有种方法， 其中同时选到、路线的方法有种， 所以符合题意不同得选择及安排方法有种， 故选：C. 6. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】根据行列式的定义得，讨论、，结合已知求基本量，进而应用等比数列前n项和公式求. 【详解】由题设，有， 当，则，故， 当，则，与题设矛盾， 综上，. 故选：C 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式化简，即可结合齐次式化简求解. 【详解】 ， 故选：D 8. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合有的图象与直线有1个交点，从而得解. 【详解】作出函数的图象如图所示， 函数，且有5个零点， 等价于有5个解，即或共有5个解， 等价于的图象与直线，共有5个交点， 由图得的图象与直线在4个交点， 所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与的夹角的正弦值为1 B. 平面 C. 点与平面的距离为 D. 直线与平面所成的角为 【答案】AB 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，应用向量法判断异面直线、点面距离和线面夹角判定A、C、D；应用线面平行的判定判断B. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， A：由，，则， 即，故异面直线与的夹角的正弦值为1，对； B：由，，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则平面，对； C：由，，， 若平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以点与平面的距离为，错； D：易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面的夹角为，则， 所以直线与平面所成的角不为，错. 故选：AB 10. 已知函数的部分图象过点，且相邻的对称轴与对称中心的水平距离为，图象最高点纵坐标为2．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知函数的性质求相关参数值得，再应用正弦型函数的性质及图象平移过程求解析式，进而依次判断各项的正误. 【详解】由题设知，且，又且，得， 所以，显然最小正周期，A对； ，即图象不关于对称，B错； 当，则，结合正弦函数的性质在区间上不单调，C错； 为偶函数，D对. 故选：AD 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递减数列 C. D. 数列的前项和 【答案】AD 【解析】 【分析】根据可求的表达式，判断A的真假；利用导数求二次函数在处切线的斜率，进一步写出在处的切线方程，求出直线与轴的交点横坐标，得，进一步判断数列的结构特征，得到数列是等比数列，可判断BC的真假；利用公式法可求数列的前项和，判断D的真假. 【详解】对于A选项，由得，所以，故A正确. 二次函数有两个不等式实根，， 不妨设， 因为， 所以， 在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则， 因为 所以，即： 所以为公比是2，首项为1的等比数列. 所以故BC错. 对于D选项，，得故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求参数值即可. 【详解】由抛物线的定义知，即. 故答案为：3 13. 记为等差数列的前项和，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质有，结合已知得、，再由及等差数列前n项和公式求解. 【详解】由题设，又，得， 所以，则. 故答案为： 14. 在一次数学竞赛中，甲乙丙丁戊5位同学得了前5名，老师让他们猜名次，甲说：乙第三，丙第五；乙说：丁第二，戊第四；丙说：戊第四，甲第一；丁说：丙第一，乙第二；戊说：丁第二，甲第三；老师说：你们每个人只猜对了一半，那么这五人从第一到第五名依次为________． 【答案】丁、乙、甲、戊、丙. 【解析】 【分析】从重复排名入手，设戊名次正确，结合题意依次推导可得. 【详解】由题意可得丁、戊的名次是重复的，所以丁、戊的名次中有一个是正确的， 假设戊名次正确，则推出乙说“丁第二”错误，推出戊说“甲第三”正确，推出甲说“丙第五”正确，推出丁说“乙第二”正确，则丁第一， 所以这五人从第一到第五名依次为：丁、乙、甲、戊、丙.同理易知丁第二不可能 故答案为：丁、乙、甲、戊、丙. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，所对边的长分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，为的中点，求的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角形内角的性质及正弦边角关系得，进而有，即可求角的大小，最后求正切值； （2）由，应用向量数量积的运算律求模长即可. 【小问1详解】 由题设，，则，且， 应用正弦边角关系得， 所以，又，则，故； 【小问2详解】 由题意，，则. 16. 已知函数； （1）若，求函数的单调区间； （2）当时，求函数在上的最大值． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为. （2） 当时，， 当时，. 【解析】 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【小问1详解】 函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. 【小问2详解】 ， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 17. 已知椭圆：的右焦点为，点和点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于另一点，求的最大面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，代入求椭圆参数，即可得方程； （2）由已知得且，设，应用点线距离公式及三角形面积公式得，即可得最值. 【小问1详解】 由题设，可得，可得椭圆方程为； 【小问2详解】 由题设，直线，且， 由在椭圆上，令，则到直线的距离， 所以，其中， 所以时，面积最大值为. 18. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作 经济损失 设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立． （1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； （2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； （3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况 操作方案 编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号． 【答案】（1）； （2） 10 ； （3） 使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下： 记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元， 采用方案①：的取值为：， , 故采用方案①，总经济损失的期望； 采用方案②：的取值为：， , 故采用方案②，总经济损失的期望； 采用方案③：的取值为：， ， 故采用方案③：总经济损失的期望. 综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小. 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接写出即可；（2）求得的取值，进而计算出其对应概率，即可写出分布列，求得数学期望；（3）计算不同方案下总经济损失的数学期望，比较大小，即可判断. 【小问1详解】 设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则. 【小问2详解】 依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为； 易知，， ，，， 故的分布列如下所示： 10 故. 【小问3详解】 略 19. 国家耗资727亿建设的广西平陆运河让南宁成为了“临海城市”，将带动广西经济腾飞．平陆运河作为西南地区陆海新通道的关键工程，在某标段施工中涉及可用于支撑航道照明及水文监测的航道监测塔架的空间结构非常复杂，可抽象为空间四边形，如图所示．在空间四边形中，，，且，，，设为的中点，则 （1）若，证明； （2）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥外接球的体积； （3）记平面与平面的夹角为，求的最小值． 【答案】（1） 已知，，. 在中，根据勾股定理，故. 已知，可得. 所以，根据勾股定理的逆定理，所以，即. 已知，，且，平面. 所以平面，又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先在等腰直角中，用勾股定理求长度；再在中，用勾股定理逆定理判断其为直角三角形，得；最后根据线面垂直判定，由垂直平面内两条相交直线，证. （2）先明确平面时三棱锥体积最大，此时平面；再找斜边中点为外接球心；最后根据勾股定理求半径，进而求外接球体积. （3）先建空间直角坐标系，根据条件求点坐标；再分别求平面与平面法向量；然后根据向量夹角公式得夹角余弦值表达式；最后用导数求表达式最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 先确定体积最大条件：三棱锥体积，固定，当平面时，，体积最大. 已知，在平面内， 所以平面，则. 再找外接球心：在里，是中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半， 所以. 又因为，所以到、、、距离相等，是外接球心. 设，，由勾股定理， 半径. 按公式算体积. 【小问3详解】 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 则，，为BD中点，则. 因为，设，由，根据两点间距离公式可得，即. 已知，，设平面ABD法向量. 由法向量性质且，得， 由得，令，代入得，解得， 所以. 已知，，设平面AMD法向量. 由且，得， 令，由得，代入得，解得，所以. 根据向量夹角公式，，，，又， 则. 设，对求导得. 当，，递减；当，，递增. 所以时，取最小值，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级“贵百河”5月高二年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量的分布列如下表，则的值为（ ） 1 2 3 A. B. 1 C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 满足双曲线的是（ ） A. 焦距是2 B. 离心率是 C. 渐近线是 D. 实轴是4 4. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 10 5. 为推动旅游发展，某旅行社设计了5条不同的旅游路线，分别记为、、、、．某团队要从中任选3条路线，在假期分三批组织队员出游，且路线和路线不能同时被选中，不同的选择及安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 72种 6. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 63 D. 64 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与的夹角的正弦值为1 B. 平面 C. 点与平面的距离为 D. 直线与平面所成的角为 10. 已知函数的部分图象过点，且相邻的对称轴与对称中心的水平距离为，图象最高点纵坐标为2．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递减数列 C. D. 数列的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则________． 13. 记为等差数列的前项和，若，则________． 14. 在一次数学竞赛中，甲乙丙丁戊5位同学得了前5名，老师让他们猜名次，甲说：乙第三，丙第五；乙说：丁第二，戊第四；丙说：戊第四，甲第一；丁说：丙第一，乙第二；戊说：丁第二，甲第三；老师说：你们每个人只猜对了一半，那么这五人从第一到第五名依次为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，所对边的长分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，为的中点，求的长． 16. 已知函数； （1）若，求函数的单调区间； （2）当时，求函数在上的最大值． 17. 已知椭圆：的右焦点为，点和点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于另一点，求的最大面积． 18. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作 经济损失 设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立． （1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； （2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； （3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况 操作方案 编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号． 19. 国家耗资727亿建设的广西平陆运河让南宁成为了“临海城市”，将带动广西经济腾飞．平陆运河作为西南地区陆海新通道的关键工程，在某标段施工中涉及可用于支撑航道照明及水文监测的航道监测塔架的空间结构非常复杂，可抽象为空间四边形，如图所示．在空间四边形中，，，且，，，设为的中点，则 （1）若，证明； （2）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥外接球的体积； （3）记平面与平面的夹角为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $