精品解析：海南省创新中学协作校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

海南省创新中学协作校联考试题 2024-2025学年度下学期期中高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案. 【详解】依题意，不同的选法为. 故选：B 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】因为，则，故. 故选：C. 3. 在等差数列中，，则公差等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式列出等式，联立两个等式即可求得结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以,解得， 故选：B 4. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，再利用导数求出函数的单调区间，即可得解. 【详解】， 令，则，令，则， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 所以. 故选：C. 5. 现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色．已知这4个区县的连接关系如下：区A与区B、区C相邻；区B与区A、区D相邻；区C与区A、区D相邻；区D与区B、区C相邻．则共有（ ）种不同的着色方法． A. 72 B. 84 C. 96 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】分为和颜色相同和和颜色不同讨论，再结合组合公式计算即可. 【详解】两种情况：①和颜色相同，有种，和需选择与或不同的颜色，各有种，则有种； ②和颜色不同，有种，有种（不同于和需选择与和均不同的颜色，各有种选择， 则有种， 着色总数种． 故选：B. 6. 甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件及相互独立事件的概率公式求出两人有资格挑战第二关的概率，再利用条件概率公式计算得解. 【详解】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为，两人有资格挑战第二关的事件为， 则，，， 所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率. 故选：D 7. 已知函数满足，且，设数列满足，当时，，则数列的前n项和的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用累加法求出，继而得到和，，利用裂项相消法，即可求得. 【详解】因函数满足，且，则， 则 ，显然时，符合. 则，，又， 则数列的前n项和为. 故选：D. 8. 定义在的函数的导函数为，已知且，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极小值 D. 在上有极大值 【答案】C 【解析】 【分析】令并求导，结合已知可得，再应用导数研究的性质判断各项的正误. 【详解】令，则，即且为常数， 又，则，故， 所以，则， 当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以处取极小值. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）. A. 展开式共7项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对于：由二项式的展开式共有8项；所以选项错误. 对于：由二项式，可得展开式的通项为：，. 令，可得，则项的系数为，所以选项错误. 对于：令，可得，所以无常数项，所以选项正确. 对于：二项式系数和为，所以选项正确. 故选：. 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在R上是单调函数 C. 的最小值为1 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据定义域为R 且得到A正确；B选项，求导，结合基本不等式得到，在R上单调递增，B正确；C选项，由B选项知，C错误；D选项，根据函数单调性得到. 【详解】A选项，定义域为R，且， 故为奇函数，A正确； B选项，， 故在R上单调递增，B正确； C选项，由B选项知，在R上单调递增，无最小值，C错误； D选项，由B选项知，在R上单调递增，当时，，D正确. 故选：ABD 11. 设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 为定值 C. 数列为等比数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列递推公式以及首项，可得第二项，可得A的正误；根据题意整理，可得B的正误；根据等比数列的定义，由递推公式整理，可得C的正误；由C写出通项，利用作差法，可得D的正误. 【详解】由，，则，故A正确； 由，则显然非常数，故B错误； 由，又，则， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确； 则，即， 由，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量满足，则____________；____________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据分布列，利用均值与方差计算公式计算即得. 【详解】由可得， 则，. 故答案为：；. 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则常数____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线方程，将切线方程与二次函数解析式联立，由可求得实数的值. 【详解】对函数求导得，所以曲线在原点处的切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 联立可得，由题意得，解得. 故答案为：. 14. 已知等差数列的公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，若，，则数列的前6项之和为____________． 【答案】120 【解析】 【分析】先由题设条件，推出，求得，由数列为等比数列，求出数列的公比，利用公比依次通过求出，，得到，即可求解. 【详解】依题意，为等比数列，故，即， 化简得：，因，则，则， 设等比数列的公比为，则， 于是，故；，故；，故， 则数列的前6项之和为. 故答案为：120. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差为，是等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列以及等比数列定义计算即可求得结果； （2）利用分组求和由等差数列和等比数列前项和公式代入计算可得结果. 【小问1详解】 设的公比为． 因为，所以，故． 又，所以． 【小问2详解】 记和的前项和分别为，，则． 又， ， 所以． 16. 为普及学生对工具的使用，某校开展了关于运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求抢答题被回答正确的概率； （2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为： 0 1 2 期望为.【解析】 【分析】（1）设出合理事件，再利用全概率公式即可得到答案； （2）写出的可能取值有：0，1，2，再分别计算得到其分布列，最后利用期望公式计算即可. 【小问1详解】 设＂甲抢到抢答题＂为事件，＂抢答题被回答正确＂为事件， 由题意可知：， 由全概率公式可得， 所以抢答题被回答正确的概率为． 【小问2详解】 由题意可知：的可能取值有：0，1，2，则有： ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望． 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若方程恰有一个实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）先确定的表达式与定义域，求出导函数，令求出导数的零点，根据导数的正负判断函数的单调性. （2）先排除这种情况，然后分离参数得，令，利用导数判断的单调性，得到其大致图像，数形结合分析与图像的交点个数，从而确定满足方程恰有一个根时a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 方程， 当时，方程左边为，所以； 当时，方程化为，令， ，其中，， 当且时，，在和上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，；时，；时，；；时，， 当时，与在上有一个交点，方程有一个实根， 当时，时方程的唯一实根； 当时，与在和上各有一个交点，方程有两个实根. 综上所述，a的取值范围为. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1） 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为函数. （1）试问是否为函数？说明你的理由. （2）若为函数，求的取值范围. （3）若为函数，证明：. 【答案】（1）是，理由：令，其中， 因为、在上为增函数，故函数在上为增函数， 所以，， 所以，函数是函数. （2）； （3）证明：令， ， 已知函数为函数，即满足：， 所以， 因此，在上严格递增， 又因为，所以：， 即：， 所以. 【解析】 【分析】（1）设，利用函数的单调性结合函数的定义验证即可； （2）令，令，分析可知，对任意的，，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围； （3）令，结合函数的定义证明在上单调递增，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则， ， 设， 因为函数为函数，则对任意的，，即， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，则函数在区间上为增函数， 只需，解得，此时，； 当时，即当时，只需，解得，舍去， 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省创新中学协作校联考试题 2024-2025学年度下学期期中高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则公差等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色．已知这4个区县的连接关系如下：区A与区B、区C相邻；区B与区A、区D相邻；区C与区A、区D相邻；区D与区B、区C相邻．则共有（ ）种不同的着色方法． A. 72 B. 84 C. 96 D. 180 6. 甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，且，设数列满足，当时，，则数列的前n项和的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在的函数的导函数为，已知且，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极小值 D. 在上有极大值 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）. A. 展开式共7项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在R上是单调函数 C. 的最小值为1 D. 当时， 11. 设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 为定值 C. 数列为等比数列 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量满足，则____________；____________． 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则常数____________． 14. 已知等差数列的公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，若，，则数列的前6项之和为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差为，是等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 为普及学生对工具的使用，某校开展了关于运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求抢答题被回答正确的概率； （2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望． 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若方程恰有一个实数根，求实数a的取值范围． 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为函数. （1）试问是否为函数？说明你的理由. （2）若为函数，求的取值范围. （3）若为函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $