精品解析：河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

武安一中2024-2025学年第二学期5月月考 高一数学 一、单选题 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 3. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的高为（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A B. C. D. 5. 若球是圆锥的内切球，且圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 一组单调递增数据，，…，的平均数、极差、中位数、方差依次为，，m，，构造一组新的数据，，…，，其中，新数据的平均数、极差、中位数、方差依次为，，n，，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 7. 经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（ ） A B. C. D. 8. 在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. （多选）若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（ ） A. “从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B. “甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C. “丁、戊至多有一人被录用”的概率为 D. “甲或乙被录用”的概率为 11. 设点是所在平面内任意一点，的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点是的重心，则 B. 若，则点是垂心 C. 若点是的垂心，则 D. 若为的外心，为的垂心，则 三、填空题 12. 方程有一个根为，求实数_______ 13. 某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为______. 14. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家.祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设圆锥顶点到平面的距离为l，则截得的截面面积都为______（用R，l表示），由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等，从而得到半球的体积公式. 四、解答题 15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，． （1）若，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 16. 记斜三角形内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求. 17. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求与平面所成的角； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知一组样本量为10的样本数据如下： 37 39 45 48 49 51 52 55 61 63 （1）求这组数据的平均数和标准差； （2）求这组数据的20%和75%分位数； （3）已知另一组样本数据的样本量为5，平均数为47，方差为16，求这两组样本组成的总体的平均数和方差. 19. 有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． （1）若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； （2）若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武安一中2024-2025学年第二学期5月月考 高一数学 一、单选题 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复平面内点的坐标将复数表示出来，然后求出共轭复数的表达式，最后求出答案. 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标是， 所以. 所以共轭复数为：. 所以. 故选：C 2. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量垂直及数量积的运算律得，再由向量的夹角公式求与的夹角. 【详解】由题设，则， 所以，， 所以. 故选：B 3. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的高为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】 如图，为上下底面的中心， 由题意可知， 所以， 所以， 故选：B 4. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据可求出的值，作出的图形，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示： 则，故，可得， 还原原的图形如下图所示，则，， 故. 故选：A. 5. 若球是圆锥的内切球，且圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可设球的半径为，则，解出，再结合球的体积公式求解即可. 【详解】解:由球是圆锥内切球，且圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形， 则圆锥的高为, 设球的半径为， 则， 得， 故球的体积, 故选:B. 【点睛】本题考查了空间几何体的内切球问题，重点考查球的体积公式，属基础题. 6. 一组单调递增数据，，…，的平均数、极差、中位数、方差依次为，，m，，构造一组新的数据，，…，，其中，新数据的平均数、极差、中位数、方差依次为，，n，，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用极差和中位数的定义即可判断BC，由平均数和方差的性质即可判断AD. 【详解】对于A：因为，所以，因为，所以，故A错误； 对于B：因为数据，，…，单调递增，所以数据，，…，也单调递增， 所以极差，，故B正确； 对于C：由A知，因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，即， 因为，所以，故D正确. 故选：A. 7. 经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】对于每个同学而言，当上班长的概率都相等，故你当上班长的概率为. 故选：C. 8. 在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求的取值范围. 【详解】因为，故， 由正弦定理可得，而为三角形内角，故， 故，而为三角形内角，故为锐角， 故，故，故即， 故（为外接圆半径），故， 因为，，所以，则. 故 ， 其中，且， 由锐角三角形可得，故， 故， 因为，且，故，则，， 所以时，，取得最大值. 当时，， 当时，， 故， 故选：C. 二、多选题 9. 已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可. 【详解】A，若，，此时有可能在平面内，并不一定，故A错误； B，若，，则，又，所以，故B正确； C，若，，则或，又，则两平面相交或平行，故C错误； D，因为，，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 那么它也垂直于另一个平面，可得. 又因为，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以，故D正确. 故选：BD 10. （多选）若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（ ） A. “从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B. “甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C. “丁、戊至多有一人被录用”的概率为 D. “甲或乙被录用”的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式，以及对立事件的概率求解即可. 【详解】由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙）， （甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊）， （乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，故A正确； 其中“甲，乙，丙至少有两人被录用”的所有不同的可能结果有（甲，乙，丙）， （甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），共7种， 故“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为．故B正确； 其中“丁，戊至多有一人被录用”的对立事件“丁，戊两人都被录用”的所有不同的可能结果有 （甲，丁，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共3种， 故“丁，戊至多有一人被录用”的概率为．故C错误； 其中“甲或乙被录用”的对立事件“甲与乙都未被录用”的所有不同的可能结果只有 （丙，丁，戊）这1种，故“甲或乙被录用”的概率为1－．选项D正确． 故选：ABD. 11. 设点是所在平面内任意一点，的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点是的重心，则 B. 若，则点是的垂心 C. 若点是的垂心，则 D. 若为的外心，为的垂心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A；根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断B；根据垂心的性质及向量的线性运算判断C；根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D. 【详解】对于A，若点是的重心，则，即，A正确； 对于B，由， 得，得， 所以为的外心，B错误； 对于C，若点是的垂心，则， 所以，C正确； 对于D，如图，为圆的直径，则． 又因为为的垂心，所以，所以． 同理，所以四边形为平行四边形， 所以，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 方程有一个根为，求实数_______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理求解. 【详解】依题意，方程的两个根为，， 所以. 故答案为：5 13. 某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为______. 【答案】82 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出时间在4~10小时内的频率，再求人数. 【详解】依题意，100名学生中参加实践活动的时间在4~10小时内的人数为： ， 即这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为82. 故答案为：82. 14. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家.祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设圆锥顶点到平面的距离为l，则截得的截面面积都为______（用R，l表示），由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等，从而得到半球的体积公式. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出半球中截面面积为，柱中截面为圆柱底面面积减去一个小圆的面积，求出圆锥小截面半径即可. 【详解】在半球中，截面为圆，半径为， 所以截面面积为， 在圆柱中截面为圆柱底面面积减去一个小圆的面积， 在轴截面中，，所以，则小圆的面积为， 则截面面积为， 所以截得的截面面积都为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，． （1）若，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知：，，进而可求和其模长； （2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解. 【小问1详解】 由题可知：，，则， 所以． 【小问2详解】 由题意可知：， 因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得， 故实数m的取值范围为． 16. 记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理可得，在直角三角形中可得，再由两角互补其余弦值互为相反数，即可得到，再结合勾股定理，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理的边角互化可得， 且， 即， 即， 即， 其中为斜三角形，所以，即， 则，即，所以. 【小问2详解】 因为， 在中，由余弦定理可得， 又，，所以， 且，所以， 即，解得，所以， 则. 17. 如图，已知等腰梯形中，，，是中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求与平面所成的角； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角的概念确定所求角，解三角形求结论； （2）提出猜测，再结合线面平行判定定理证明猜测，由此确定结论. 【小问1详解】 如图，在梯形中，连接，因为是的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. 【小问2详解】 猜测当点为的中点时， 平面， 证明如下： 取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 所以且，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 所以当点为的中点时，平面，此时. 18. 已知一组样本量为10的样本数据如下： 37 39 45 48 49 51 52 55 61 63 （1）求这组数据的平均数和标准差； （2）求这组数据的20%和75%分位数； （3）已知另一组样本数据的样本量为5，平均数为47，方差为16，求这两组样本组成的总体的平均数和方差. 【答案】（1）50，8； （2）42，55 （3）49，50 【解析】 【分析】（1）由平均数和标准差计算公式即可求解； （2）由百分位数的计算公式即可求解； （3）由即可求解； 【小问1详解】 平均数， 方差， 所以标准差为8 【小问2详解】 ，所以20%分位数为， ，所以分位数是第8个数，为55， 【小问3详解】 第一组：， 第二组：， 所以， . 19. 有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． （1）若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； （2）若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用列举法列出从乙盒中任取两张卡片所有的取法，列举出取函数的定义域不同的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率． （2）列举出从甲、乙两盒中各取一张卡片所有的取法．再由是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，得出恰为“奇遇”的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率. 【小问1详解】 乙盒中的4个函数 ，，，分别记为， 从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种， 又函数，的定义域均为，函数的定义域为， 函数的定义域为， 所取函数的定义域不同的取法有，共5种， 所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为． 【小问2详解】 把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减， 则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4）， （偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3）， （增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4）， 共16种取法． 又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数， 恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种， 所以“奇遇”的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$