精品解析：江苏省常熟中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024~2025学年第二学期高二年级五月份阶段性学业水平调研 数学试题 总分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知随机变量，设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由均值、方差的性质即可求解. 【详解】对于随机变量而言：它的，注意到， 所以对于随机变量而言：它的， 所以. 故选：A. 2. 若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式，由必要条件的定义即可判断的范围. 【详解】或， “或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，结合函数单调性以及交集的定义即可得解. 【详解】由题意， 注意到函数的定义域是，且是增函数， 又因为， 所以. 故选：C. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的求导法则得出，利用可求出值，再求函数值即可. 【详解】由求导，得， 则，得，则， 所以. 故选：D. 5. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A. B. C. 0 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理将看作展开，然后找到含，，的项即可求解. 【详解】 根据二项式定理，则.  当时，的展开式中不含，，的项.  当时，， 这部分含，，的项系数分别为，，.  将含，，的项系数相加，即.  则的展开式中所有二次项的系数和为. 故选：A. 6. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正三棱柱的体积，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最大值即可. 【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即． 正三棱柱的体积． 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，V取得最大值，最大值为． 故选：C. 7. 已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（ ） A. 360个 B. 640个 C. 960个 D. 1920个 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算. 【详解】由，得从全集中选择3个元素分别作为中的元素，不同方法种数是， 余下的两个元素中的每一个元素只能是属于中的一个或都不属于这3个集合， 因此余下的两个元素中的每一个元素都有4种不同的选择方法， 所以所有的有序子集列有个. 故选：C 8. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出所求式子的通项，再利用组合数的定义化简通项，从而将原式化为奇数项的二项式系数之和，由二项式定理和赋值法即可求出其值. 【详解】注意到原式中每一项都可以写成， 由组合数的定义可得， 所以原式， 由二项式定理可知， ， 两式相加再除以2可得， 所以原式. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数满足，则的最小值为10 B. 函数的值域是 C. 若正实数满足，则的最大值为 D. 若正实数满足，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式分式分离，结合“1”的巧用，求解的最值，即可判断A；根据基本不等式和为定值，求解的最值，从而得函数的取值范围，即可判断B；利用基本不等式根据和为定值求和式最值，即可判断C；由已知等式凑乘积为定值的式子，结合基本不等式求的最小值，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确； 对于B，因为，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为，故选项B错误； 对于C，由正实数满足，由，得， 当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确； 对于D，由，得，所以， 当且仅当，即时等号成立，而，最小值取不到，故选项D错误． 故选：AC． 10. 已知函数是的导函数，则（ ） A. “”是“为奇函数”的充要条件 B. “”是“为增函数”的充要条件 C. 若不等式的解集为且，则的极小值为 D. 若是方程的两个不同的根，且，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确． 【详解】对于A中，当时，函数，则满足， 所以为奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则， 则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确； 对于B中，当时， ，可得，所以为增函数； 由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C中，由，若不等式的解集为且， 则在上先增后减再增，则，解得， 故，可得， 令，解得或， 当内，，单调递增； 当内，，单调递减； 当内，，单调递增， 所以的极小值为，所以C正确． 对于D中，由，因为是方程的两个不同的根， 所以，即，且， 由，可得，所以，即， 联立方程组，可得，解得或，所以D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法正确的有（） A. 若函数关于直线对称，则 B. 当时，函数在上单调递减 C. 当时，函数在有1个极值点 D. 函数最多有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用对称性定义，通过代数变形得出；选项，在时，导数为，当时导数恒负；选项C：在区间内，导数始终为负，不存在极值点；选项D：函数的零点可转化为函数图象的交点. 【详解】选项A，若关于对称，则对任意，有， 代入函数表达式：， 要使，需，即对任意成立，故， 故A正确； 选项B，当且时，，故，求导得： 因为时，，而，故，函数在单调递减，故B正确； 选项C，当时， 当①当时，，在上恒成立； ②当时，，，显然在单调递减， 令，得，因，故，但该解不在区间内，所以在恒成立； 综上，在上恒成立，故在上无极值点，故C错误； 选项D，函数等价于，即， 令，，的图象如图所示，的图象经过定点， 如图所示，与最多只有3个不同的交点，即函数最多有3个零点，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某一随机变量X的分布列如下表，且，则______. X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到. 【详解】由题意，得，解得， 所以， 所以. 故答案为：8. 13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线方程，再根据导数的几何意义求出前者与后者的切点坐标后可得，利用“1”的妙用可得最小值. 【详解】，， 因为曲线在处的切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为， 设该直线与曲线的切点坐标为， 则，故，故切点坐标为， 该切点在直线上，故即， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为2， 故答案为：2. 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，分离，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】函数的定义域是， 令，得， 令， 令， 令解得， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ，， 当时，， 所以，所以， 所以当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. ，当时，，， 所以，要使有两个解，则需. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的零点，可以考虑分离参数法，然后结合导数来进行求解.在利用导数研究函数的性质时，要是一次求导无法解决，可以考虑利用多次求导来进行求解.求解过程中要注意原函数和导函数之间的关系. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表： 分数区间 性别 男生/名 15 45 60 女生/名 25 25 30 （1）若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？ （2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附： α 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 ，. 【答案】（1）认为该校学生的基本技能与性别有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】(1)由题设完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论； (2)由题意的可能取值有0，1，2，进而求其分布列并求期望值. 【小问1详解】 根据题意得如下2×2列联表： 男生 女生 合计 基本技能优秀 60 30 90 基本技能良好 60 50 110 合计 120 80 200 零假设：该校学生的基本技能与性别无关联. ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1. 【小问2详解】 由题意知，随机抽取进行问卷调查的5名学生中，女生2名，男生3名， 所以随机变量的可能取值有0，1，2， 故， ， ， 故X的分布列如下， X 0 1 2 P . 16. 已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）求出展开式的通项公式，根据第5项与第3项的系数之比为列式求出； （2）根据二项式系数的特征求解； （3）赋值法，令，求解. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 因为第5项与第3项的系数之比为，所以， 即，解之得或（舍），所以. 【小问2详解】 因为，所以展开式中二项式系数最大的项为. 【小问3详解】 由，令，所以. 17. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【答案】（1） 依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. （2） ，. 【解析】 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值. 【小问1详解】 ，， 因此，回归方程为. 【小问2详解】 记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 18. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）设全集，，. （i）求实数的值； （ii）记集合，求中元素的个数. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用换元法与导数可求得集合，进而可求； （2）（i）由已知可得，所以，利用可得，可求解；（ii），由题意可得有两个实数，满足，进而可得结论. 【小问1详解】 由题意知，， 解得， 所以， 当时，， 设，则，，令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 可得， 所以. 【小问2详解】 （i）因为，所以，可得， 因为且， 可得， 所以，解得. （ii）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 而， 所以由的图象可知，有且只有两个实数，满足， 可得或，解得或， 所以方程有两个解， 即中元素的个数为. 19. 定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. （1）若，，求的值及的固着点； （2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； （3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【答案】（1），固着点 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设定义得，进而有，即可求解； （2）根据条件得到在区间上恒成立，从而有，即可求解； （3）法一，根据题设得到在上有唯一的解，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得的单调性，进而可得， 再构造函数，利用其单调性，即可求解；法二，前同法一，得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求其单调区间，利用单调性，即可求解. 【小问1详解】 由题得，所以， 因为，所以，解得， 所以，固着点. 【小问2详解】 由题得，则， 所以，因为是上的严格增函数， 所以在区间上恒成立， 由，得到，所以， 所以，因此的最大值是. 【小问3详解】 （方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以 ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而 ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期高二年级五月份阶段性学业水平调研 数学试题 总分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知随机变量，设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 2. 若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A. B. C. 0 D. 40 6. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 7. 已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（ ） A. 360个 B. 640个 C. 960个 D. 1920个 8. （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数满足，则的最小值为10 B. 函数的值域是 C. 若正实数满足，则的最大值为 D. 若正实数满足，则的最小值为 10. 已知函数是的导函数，则（ ） A. “”是“为奇函数”的充要条件 B. “”是“为增函数”的充要条件 C. 若不等式的解集为且，则的极小值为 D. 若是方程的两个不同的根，且，则或 11. 已知函数，则下列说法正确的有（） A. 若函数关于直线对称，则 B. 当时，函数在上单调递减 C. 当时，函数在有1个极值点 D. 函数最多有3个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某一随机变量X的分布列如下表，且，则______. X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为________. 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为_______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表： 分数区间 性别 男生/名 15 45 60 女生/名 25 25 30 （1）若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？ （2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附： α 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 ，. 16. 已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）若，求的值． 17. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 18. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）设全集，，. （i）求实数的值； （ii）记集合，求中元素的个数. 19. 定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. （1）若，，求的值及的固着点； （2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； （3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $