精品解析：湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷

湖北省重点高中智学联盟2025年春季高二5月联考 高二数学试卷 命题学校：鄂南高中 命题教师：汪勇谋 阮效辉 徐丹 范裕龙 审题学校：十堰一中 审题教师：程浩 考试时间：2025年5月13日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 3. 已知等差数列的前项和为，且，，，则的公差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种 5. 我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2025年是蛇年，那么年后是（ ） A 羊年 B. 马年 C. 龙年 D. 兔年 6. 展开式中项系数为（ ） A. 32 B. 64 C. 96 D. 128 7. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A B. C. 7 D. 8. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合的子集共有32个 B. 若把英文“small”字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 3封信投入5个信箱，不同方法数有种 D. 6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 10. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（ ） A. 第20行中最大的数是第11个数 B. 第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为6：1 C. 记第20行第个数为，则 D. 第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列，则数列的前项和为 11. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为.当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 当时， B. 在上有且只有1个零点 C. D. 在上为增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，…，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为_____. 13. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如时，满足的为1，2，4，5，7，8，则.数列满足，则的前项和_____. 14. 已知函数，，设.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心.在测试DeepSeek时，如果输入问题没有语法错误DeepSeek的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，DeepSeek的回答被采纳的概率为50%.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为10%. （1）求DeepSeek的回答被采纳的概率； （2）现已知DeepSeek的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率. 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值. 17. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 18. 已知函数，其中为正整数. （1）当时，求在上极值点； （2）当时，记数列，有限数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前100项和（化成最简形式）. 19. 已知，数列. （1）若在上恒成立，则实数的取值范围； （2）求数列前项和； （3）已知数列满足：，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省重点高中智学联盟2025年春季高二5月联考 高二数学试卷 命题学校：鄂南高中 命题教师：汪勇谋 阮效辉 徐丹 范裕龙 审题学校：十堰一中 审题教师：程浩 考试时间：2025年5月13日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】通过对函数求导，再将代入解方程即得. 【详解】由求导得： ， 则，故. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先根据组合数的性质求出的值，再代入排列数公式计算. 【详解】因为，所以根据组合数的性质可得： 或者，解方程得： 或者. 因为，所以. 那么. 故选：B. 3. 已知等差数列的前项和为，且，，，则的公差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式列不等式组进行求解. 【详解】，解得， ，解得， 所以. 故选：D 4. 咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先选后排可得答案. 【详解】将5名志愿者分配到4个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有种. 故选：C. 5. 我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2025年是蛇年，那么年后是（ ） A. 羊年 B. 马年 C. 龙年 D. 兔年 【答案】B 【解析】 【分析】借助二项式的展开式计算即可得. 【详解】由 ， 故除以的余数为， 故年后是马年. 故选：B. 6. 展开式中项系数（ ） A. 32 B. 64 C. 96 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式通项，令指数为2，求出参数的值，代入通项求解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为 ， 由，可得或， 因此，展开式中项的系数为. 故选：D. 7. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题中等式变形得出，由累加法求出数列的通项公式，利用对勾函数的单调性可求出的最小值. 【详解】因为数列满足，，即， 当时，则有， 所以，，，， 上述等式全部相加得， 所以， 也满足，故对任意的，， 所以， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，因为，，故， 所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合的子集共有32个 B. 若把英文“small”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 3封信投入5个信箱，不同方法数有种 D. 6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据元集合的子集共有个判断A；利用排除法列式计算判断B；根据分步乘法计数原理判断C；利用隔板法计算判断D. 【详解】对于A，集合有5个元素，子集个数为个，故A正确； 对于B，“small”的所有字母排列总数为种，其中1种是正确的排列，因此，错误的排列共有共有种，故B正确； 对于C，3封信投入5个信箱，不同方法数有种，故C不正确； 对于D，将6个人站成一排，每班至少要1名，就有5个空然后插入2个板子把他们隔开，从5个里选2五个，即有种．故D正确. 故选：ABD. 10. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（ ） A. 第20行中最大的数是第11个数 B. 第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为6：1 C. 记第20行第个数为，则 D. 第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列，则数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据组合数公式及性质计算判断A，B，对于C，，代入利用二项式定理即可判断；对于D，，利用公式即可判断. 【详解】对选项A：第20行中最大的数是第11个数，正确； 对选项B：第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为，正确； 对选项C：记第行的第个数为，则， 则， 则，故C错误； 对选项D： ，则数列的前项和为，故D正确； 故选：ABD 11. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为.当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 当时， B. 在上有且只有1个零点 C. D. 在上增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据原不等式进行化简，构造一个新函数，判断新函数的单调性、奇偶性等性质，然后逐一判断每个选项正确与否. 【详解】， 即， 因为时，所以. 即，即在单调递增， 又为奇函数且在上连续，为偶函数且恒正， 故为奇函数在上连续，且单调递增， 对于选项A： 时，，所以A错误. 对于选项B： 为奇函数在上连续，且单调递增， 所以仅一解为，在上恒成立， 故在上有且只有1个零点为，故B正确. 对于C： 因为在上单调递增， 则，所以C正确. 对于选项D： 因为为奇函数且连续， 所以为上的奇函数且连续，故只需考虑在上的单调性， 当时，且，且 故，则在上单调递增， 故在上为增函数，所以D正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，…，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出从1，2，…，10中取三个不同数的所有组合情况数，再找出能构成等比数列的组合情况数，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】从1，2，…，10中取三个不同数有种结果， 能构成等比数列的组合有：1,2,4、2,4,8、1,3,9、4,6,9，共4种， 设 “组成的数列是等比数列” 为事件， 则. 故答案为： 13. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如时，满足的为1，2，4，5，7，8，则.数列满足，则的前项和_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据欧拉函数定义得出，然后由等比数列求和个数计算． 【详解】因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有， 所以，则， 于是. 故答案为：． 14. 已知函数，，设.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用去绝对值可得，利用在恒成立，从而转化为只需要分析在上恒成立，再利用同构思想，可得到，最后利用分离参变量思想即可求出的范围. 【详解】当时，，当时，， 则， 当在上恒成立，则， 也就是说此时在必然恒成立， 则只需要在上恒成立， 则有， 构造，则， 所以在上是增函数， 而， 则有， 又构造，则， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 即，即， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：首先把复杂转化为，再利用当在上恒成立，又把问题转化为在上恒成立，再利用同构思想，又转化为恒成立，最后利用分离参变量求出参数的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心.在测试DeepSeek时，如果输入问题没有语法错误DeepSeek的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，DeepSeek的回答被采纳的概率为50%.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为10%. （1）求DeepSeek的回答被采纳的概率； （2）现已知DeepSeek的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率. 【答案】（1）0.77 （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）利用全概率公式及贝叶斯公式计算可得； 【小问1详解】 记事件A：DeepSeek中输入的语法无错误； 事件B：DeepSeek中输入的语法有错误；事件C：DeepSeek的回答被采纳. 依题意：，，，， 所以； 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，从而只需分，两种情况讨论即可； （2）首先求得曲线在点处的切线，然后联立，由判别式为0即可求解. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令，得；令，得， 故在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，可得，. 所以在点处的切线为，即， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以由消去得，由得， 综上，实数的值为. 17. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列通项公式及前项和公式列式求出首项、公差即可. （2）由（1）的结论，利用并项求和法及等差数列前项和公式求和可得结果. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由，，得， 化简得，解得，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由，得， 则 . 18. 已知函数，其中为正整数. （1）当时，求在上极值点； （2）当时，记数列，有限数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前100项和（化成最简形式）. 【答案】（1）极大值点为，极小值点为； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设，对函数求导并研究其区间单调性，进而确定其极值点； （2）由题设得，则，再由等差数列定义有，最后应用倒序求和及二项式定理求结果. 【小问1详解】 ， 令，解之得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递增； 故的极大值点为，极小值点为； 【小问2详解】 ， 故，则， 又是首项为1，公差为2的等差数列，故， 则，其中， ， 则考虑， 则， 则， ，故， 故. 19. 已知，数列. （1）若在上恒成立，则实数的取值范围； （2）求数列的前项和； （3）已知数列满足：，，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分，两种情况，利用导数与函数单调性、最值的关系讨论求解可得； （2）由，利用裂项相消求和求解可得； （3）解法一：由（1）可得，进而得，利用累积法求解即可得证；解法二：由累积法得，两边同时取对数结合（1）可得化简即可得证. 【小问1详解】 ，， ①，，在上单调递增，恒成立； ②，，， 当时，，在单调递减. 当时，，在单调递增， ，令， 因为，所以在单调递减， 所以函数与矛盾，故时，在上不恒成立， 综上， ； 【小问2详解】 注意到：， ； 【小问3详解】 解法一： 由（1）知，，故， 故， 即. 解法二： 因为， 则， 由（1）知，，则， 则， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$