精品解析：辽宁省辽阳市第一中学协作体2024-2025学年八年级下学期数学试题

24-25（下）八年级数学学科八年级下学期期中学情调研数学试卷 （全卷满分为120分，时间为90分钟） 一、选择题（共10个小题，每小题3分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，可得答案． 【详解】A、若，则，正确，不符合题意； B、若，且时，则或，原说法错误，符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、若，则，正确，不符合题意； 故选：B． 3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，再判断求解． 【详解】解：、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意； 、，右边不是积的形式，故选项不符合题意； 、，右边不是积的形式，故选项不符合题意； 、 是因式分解，故选项符合题意． 故选：D 4. 下列命题的逆命题是真命题的有（ ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可． 【详解】解：（1）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； （2）全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； （3）如果，那么的逆命题是若，则，是假命题； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题； 因此以上命题的逆命题是真命题的有1个； 故选：A． 5. 关于的不等式组，恰好只有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据有个整数解，求出的取值范围． 【详解】解：解得：， 解得：， 故不等式组的解集为：， 关于的不等式组恰好只有两个整数解， 两个整数为：，， ， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 6. 如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在的中垂线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图可知：是的平分线，由此判断A正确；先求得，由是的平分线，求得，即可得到，判断B正确；过点D作于E，根据，证得是等腰三角形，得到，即可判断C正确；证明，得到，根据等底同高得到，即可得到，判断D错误． 【详解】解：由题意得：是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 过点D作于E， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点在的中垂线上，故C正确，不符合题意； ∵是的平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键． 7. 如图，等边中，，，若，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由等边三角形的性质得，，再证明，推出即可解决问题．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的外角， ∴ ∴在中， 则 故 即 ∴ 故选：C． 8. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 详解】解：连接，如图所示： ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 9. 某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ） A. 48人 B. 45人 C. 44人 D. 42人 【答案】A 【解析】 【分析】设共安排x艘船．根据每只船坐6人，就剩下18人无船可乘，得到划船报名人数是，根据报名人数不足50人，得到；根据每只船坐10人，其余的船坐满后有一只船不空也不满，得到，求得x代入即是划船的员工数． 【详解】设共安排x艘船． 根据题意得， 由①得③， 由②得④， 由③④得， ∴， ∴， 划船人数为48人． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了不等式组应用，解决本题关键是熟练掌握不等语言，列不等式，解不等式的整数解． 10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP． 【详解】解：①如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°−∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确； ③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°， ∴∠APC＋∠DCP＝150°， ∵∠APO＋∠DCO＝30°， ∴∠OPC＋∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形；故③正确； ④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB， ∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO＋∠OPE＝60°， ∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选A. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 若分式的值为0，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解即可． 【详解】解：由题可得，且， 解得， 故答案为：． 12. 已知，则代数式的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握运算法则，整体代入思想解题是关键． 根据分式加法运算，可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意得到y=kx+b与y=2x交点为A（-1，-2）， 解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分， 又B（-2，0）， 此时自变量x的取值范围，是-2＜x＜-1． 即不等式2x＜kx+b＜0的解集为：-2＜x＜-1． 故答案为-2＜x＜-1． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．根据函数图象即可得到不等式的解集． 14. 如图，在中，，，，点P从点C出发沿向点B运动，到达点B时停止，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形判定与性质，解直角三角形有关计算及垂线段最短的应用，在左侧作等边，连接，证出，得，则点Q在过点D且与垂直的直线上，过点B作点Q运动轨迹的垂线，垂足为Q，此时取最小值，解直角三角形求出即可． 【详解】解：在左侧作等边，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点Q在过点D且与垂直的直线上， 过点B作点Q运动轨迹的垂线，垂足为Q，此时取最小值， ， ， ， ， ， ， 即最小值为， 故答案为：． 15. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点在线段上．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，勾股定理，找出图形的变化规律是解决本题的关键． 根据直角三角形30度角的性质以及勾股定理可得，同理，，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理， ， ……， ． 故答案为： 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）把下列多项式因式分解： ① ② （2）解下列一元一次不等式（组）： ① ② 【答案】（1）①；②；（2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，解一元一次不等式组，熟练掌握多项式的因式分解方法，解不等式基本步骤是解题的关键． （1）①利用提公因式法解答，即可；②先提出公因式a，再利用完全平方公式，然后用平方差公式法解答即可； （2）①移项合并同类项，再把系数化为1，即可求解；②分别解出两个不等式，即可得到不等组解集． 【详解】解：（1）① ② （2）① 移项合并同类项得：， 解得∶ ； ②， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 17. 先化简再求值：，并在，0，1，2这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行化简，然后再代值进行求解即可． 【详解】解：原式 ； 且， ， ∴当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，0），O（0，0）． （1）画出将△ABO向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A1B1O1； （2）在（1）中，若△ABC上有一点M（3，1），则其在△A1B1O1中的对应点M1的坐标为　 　； （3）若将（1）中△A1B1O1看成是△ABO经过一次平移得到的，则这一平移的距离是　 　； （4）画出△ABO关于点O成中心对称的图形△A2B2O． 【答案】（1）见解析；（2）（﹣1，3）；（3）2；（4）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1O1即可； （2）根据点平移的性质即可得出结论； （3）根据勾股定理即可得出结论； （4）分别作出各点关于点O的对称点，再顺次连接即可． 【详解】（1）如图，△A1B1O1即为所求； （2）∵M（3，1）， ∴M1（﹣1，3）． 故答案（﹣1，3）； （3）连接BB1，则BB1＝＝2， 故答案为2； （4）如图，△A2B2O即为所求． 【点睛】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键． 19. 已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而根据平行线的性质可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵，的平分线分别交、于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． （1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ （2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出时总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？ 【答案】（1）A，B两种纪念品的进价分别为20元、30元；（2）应进A种纪念品30件，B种纪念品l0件，才能使获得利润最大，最大值是220元． 【解析】 【详解】分析：（1）设A种纪念品的进价为x元、B种纪念品的进价为y元，件数×进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解即可． （2）获利=利润×件数，设购买A商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，由题意可得到两个不等式，解不等式组即可． 详解：（1）设A种纪念品的进价为x元、B种纪念品的进价为y元．由题意得： ，解得：． 答：A种纪念品的进价为20元、B种纪念品的进价为30元． （2）设商店准备购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品（40﹣a）件．由题意得： ， 解得：30≤a≤32． 设总利润为w． 总获利w=5a+7（40﹣a）=﹣2a+280． ∵w是a的一次函数，且w随a的增大而减小， ∴当a=30时，w最大，最大值w=﹣2×30+280=220，∴40﹣a=10， ∴当购进A种纪念品30件，B种纪念品10件时，总获利不低于216元，且获得利润最大，最大值是220元． 点睛：利用了总获利=A利润×A件数+B利润×B件数，件数×进价=付款，还用到了解二元一次方程组以及二元一次不等式组的知识． 21. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式； 再如：求代数式的最小值． 解：； ， 原式， 即当时，原式有最小值． 学以致用： （1）用配方法分解因式：；（其他方法不得分） （2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．（用配方法） （3）已知，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）当时，有最大值13 （3）最小值 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的运算，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）模仿题干中的解题过程，进行求解即可； （2）首先将多项式配方为，然后得到，进而求解即可； （3）将变形为，然后根据非负数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， 原式， 即当时，原式有最大值13． 【小问3详解】 解： ， ， 原式有最小值． 22. 数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． （1）糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． （2）糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． （3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）结论来证明即可． 【小问1详解】 解：由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 23 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解； （3）由，可得，，，即可求解． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （2）如图②，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）当点与点重合时，线段绕点顺时针旋转， ，， 是等边三角形， ， ，， 为直角三角形， ， ，，， ， 如图③，延长至，使，连接，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，，， 又， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质，旋转的性质，利用旋转的性质添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24-25（下）八年级数学学科八年级下学期期中学情调研数学试卷 （全卷满分为120分，时间为90分钟） 一、选择题（共10个小题，每小题3分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是真命题的有（ ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 关于的不等式组，恰好只有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在的中垂线上 D. 7. 如图，等边中，，，若，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ） A 48人 B. 45人 C. 44人 D. 42人 10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 若分式的值为0，则_____． 12. 已知，则代数式的值为______． 13. 如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式组的解集是______． 14. 如图，在中，，，，点P从点C出发沿向点B运动，到达点B时停止，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则的最小值为_________． 15. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点在线段上．若，则的长为_______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）把下列多项式因式分解： ① ② （2）解下列一元一次不等式（组）： ① ② 17. 先化简再求值：，并在，0，1，2这四个数中取一个合适数作为的值代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，0），O（0，0）． （1）画出将△ABO向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A1B1O1； （2）在（1）中，若△ABC上有一点M（3，1），则其在△A1B1O1中对应点M1的坐标为　 　； （3）若将（1）中△A1B1O1看成是△ABO经过一次平移得到，则这一平移的距离是　 　； （4）画出△ABO关于点O成中心对称的图形△A2B2O． 19. 已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点． （1）求证：． （2）若，求的度数． 20. 某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． （1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ （2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出时总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？ 21. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式； 再如：求代数式的最小值． 解：； ， 原式， 即当时，原式有最小值． 学以致用： （1）用配方法分解因式：；（其他方法不得分） （2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．（用配方法） （3）已知，请直接写出的最小值． 22. 数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． （1）糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． （2）糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． （3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 23. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$