精品解析：广东省汕头潮阳实验中学2024—2025学年下学期八年级数学期中考试

2024-2025学年度第二学期期中考试八年级数学 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下列长度为边长的三角形是直角三角形的是（　　） A. 5，6，7 B. 7，8，9 C. 6，8，10 D. 5，7，9 2. 下列各等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的取值范围是（ ） A. ≥3 B. ≤-3 C. -3≤≤3 D. 不存在 4. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高是（ ） A. B. C. D. 5 7. 已知菱形的边长等于2cm，菱形的一条对角线也是长2cm，则另一条对角线长是（　　） A. 4cm B. 2cm C. cm D. 3cm 8. 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都不对 9. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围是______． 12. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是______． 13. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 14. 如图，为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线 AC，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 _____ ． 15. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 三、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 已知，求下面各代数式的值： （1） （2） 18. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 四、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A的南偏东60∘，在B的南偏东30∘方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？(≈1.7) 20. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 21. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 五、解答题（本大题2小题，13+14=27分） 22. 综合与实践： 【问题情景】如图，在中，对角线，相交于点O，于点D，，．E为上的一动点，连接并延长，交于点F． （1）【独立思考】当时，求的度数； （2）【实践探究】当四边形为平行四边形时，求的长； （3）【问题解决】当点O在的垂直平分线上时，连接，求的面积． 23. 在数学课上，老师给出了一个折叠的题目让同学们解答：在矩形中，，，点在边上且不与点重合，将沿折叠，得到． 问题发现（）：如图，与的关系是_____，折叠问题的本质就是_____变换； 解决问题（）：如图，当点落在线段上时，________； 解决问题（）：如图，当点落在线段的垂直平分线上时，连接，则________； 解决问题（）：如图，当点是的中点时．延长，与交于点，连接，求的长． 拓展探究： 如图，在矩形中，，，点在上，且，点是边上的点，连结，将四边形沿直线翻折得到四边形．当，，三点共线时，的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中考试八年级数学 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下列长度为边长的三角形是直角三角形的是（　　） A. 5，6，7 B. 7，8，9 C. 6，8，10 D. 5，7，9 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A、因为52+62≠72，所以三条线段不能组成直角三角形； B、因为72+82≠92，所以三条线段不能组成直角三角形； C、因为62+82=102，所以三条线段能组成直角三角形； D、因为52+72≠92，所以三条线段不能组成直角三角形； 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算. 2. 下列各等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和有意义的条件逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数小于0，没有意义，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了根据二次根式的性质化简和二次根式有意义的条件，熟知二次根式的性质和有意义的条件是解题的关键． 3. 若，则的取值范围是（ ） A. ≥3 B. ≤-3 C. -3≤≤3 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【详解】∵， ∴ ，解得：. 故选A. 4. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可判断. 【详解】A. 不能计算，故错误； B. ，故错误； C. ，正确； D. =2，故错误； 故选C. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则. 5. 能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定方法一一判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项正确； D、，，此条件下四边形还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 6. 直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 由勾股定理得，三角形的斜边长， 则， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是根据勾股定理求出斜边，再利用面积求出斜边是的高． 7. 已知菱形的边长等于2cm，菱形的一条对角线也是长2cm，则另一条对角线长是（　　） A. 4cm B. 2cm C. cm D. 3cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线和一边长组成一个直角三角形的性质，再由勾股定理得出另一条对角线的长即可． 【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分， ∴另一条对角线的一半长＝， 则另一条对角线长是2cm． 故选B． 【点睛】本题考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，以及综合利用勾股定理． 8. 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE， 根据三角形中位线定理可得： EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半， 根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形． 故选A． 考点：三角形中位线定理． 9. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是 的正方形的周长，加上边长是的正方形的两条边 长，再减去，即可得出结果，利用平移的性质将阴影部分的周长进行转化是解题的关键． 【详解】解：阴影图形的周长 ， 故选：A． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：有意义的条件是， 解不等式得， 故答案为：． 12. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是______． 【答案】对应边相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，即可得出结果． 【详解】解：“全等三角形的对应边相等”的逆命题是对应边相等的两个三角形全等； 故答案为：对应边相等的两个三角形全等 13. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 14. 如图，为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线 AC，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 _____ ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角. 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法解决即可. 【详解】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角．故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角. 【点睛】本题考查矩形的判定和矩形的性质.判断平行四边形为矩形是解题的关键. 15. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 三、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质化简、二次根式加减运算等知识，先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案．熟记二次根式性质、二次根式加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 17. 已知，求下面各代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式的求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）首先根据题意得到，然后将利用完全平方公式变形代入求解即可； （2）将通分，然后利用完全平方公式变形，最后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ． ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明． 【详解】略 四、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A的南偏东60∘，在B的南偏东30∘方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？(≈1.7) 【答案】搜救中心应派2号艘救助轮才能尽早赶到C处救援 【解析】 【分析】作CD⊥AB交AB延长线于D，由等腰三角形的判定与性质求出BC的长，根据勾股定理分别计算出CD和AC的长度，利用速度、时间、路程之间的关系求出各自的时间比较大小即可． 【详解】解：作CD⊥AB交AB延长线于D， 由已知得：∠EAC=60°，∠FBC=30°， ∴∠1=30°，∠2=90°-30°=60°， ∵∠1+∠3=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB=BC=100里， 在Rt△BDC中，BD=BC=50里， ∴CD=里， ∵AD=AB+BD=150里， ∴在Rt△ACD中，AC=里， ∵≈4．25小时，小时，且＜4．25， ∴搜救中心应派2号艘救助轮才能尽早赶到C处救援． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质，以及速度、时间、路程之间的关系．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2． 20. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 21. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）6 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式证明解答即可； （2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可； （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为，根据题意得出方程解答即可． 【详解】证明： 即 （2） 设，则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为 ，， 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是根据面积公式和勾股定理解答． 五、解答题（本大题2小题，13+14=27分） 22. 综合与实践： 【问题情景】如图，在中，对角线，相交于点O，于点D，，．E为上的一动点，连接并延长，交于点F． （1）【独立思考】当时，求的度数； （2）【实践探究】当四边形为平行四边形时，求的长； （3）【问题解决】当点O在的垂直平分线上时，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质，互余的性质解答即可； （2）根据平行四边形性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质解答即可； （3）根据线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质解答，勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 在中，，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． 【小问3详解】 如图，连接， ∵，， ∴． ∵点O在线段的垂直平分线上， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 23. 在数学课上，老师给出了一个折叠的题目让同学们解答：在矩形中，，，点在边上且不与点重合，将沿折叠，得到． 问题发现（）：如图，与的关系是_____，折叠问题的本质就是_____变换； 解决问题（）：如图，当点落在线段上时，________； 解决问题（）：如图，当点落在线段的垂直平分线上时，连接，则________； 解决问题（）：如图，当点是的中点时．延长，与交于点，连接，求的长． 拓展探究： 如图，在矩形中，，，点在上，且，点是边上的点，连结，将四边形沿直线翻折得到四边形．当，，三点共线时，的值为________． 【答案】（）全等，轴对称；（）；（）；（）；拓展探究： 【解析】 【分析】（）根据折叠的性质及定义即可求解； （）证明四边形是正方形即可求解； （）证明是等边三角形即可求解； （）证明，可得，，即得到，进而可证，根据相似三角形的性质求出即可求解； 拓展探究：连接，可得，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：（）与的关系是全等，折叠问题的本质就是轴对称变换， 故答案为：全等，轴对称； （）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 故答案为：； （）∵垂直平分， ∴， 又由折叠得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； （）∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 拓展探究： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，， ∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $