精品解析：云南省地矿局中学等学校2024-2025学年九年级下学期5月联考数学试卷

云南省地矿局中学等学校2024-2025学年 九年级下学期5月联考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一种大米的质量标记为“千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A. 10.08千克 B. 10.09千克 C. 9.98千克 D. 9.89千克 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 2025年1月25日，安徽省举行“贯彻落实新春第一会精神奋力推动经济持续回升向好”新闻发布会，会上指出2024年，安徽地区生产总值增长5.8%，增速高于全国0.8个百分点、并列全国第3位，总量突破5万亿元、达到万亿元．其中万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 将一副直角三角板按如图所示方式摆放在一起，其中，，，，若，则的度数为 A. B. C. D. 6. 已知三点都在反比例函数的图象上，且，则大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于一组统计数据1，1，6，5，7．下列说法错误的是（　　） A. 众数是1 B. 平均数是4 C. 方差是 D. 中位数是6 8. 如图，在中，平分，交于点E，交于点F，若，则四边形的周长是（　　） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 9. 如图，在中，，，点D在的延长线上，且，则的值为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 16 10. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 12. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图所示，是的直径，点，都在上，连接，，，，若，，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 14. 按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 17. 分解因式：＝________________． 18. 如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是_________． 19. 昆明享有“春城”之美誉，是中国面向东南亚、南亚开放的门户城市，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅统计图，下列四个说法中，错误的是_____（填序号） ①本次抽样调查的样本容量是5000； ②扇形统计图中的m为20； ③“自驾”所占扇形圆心角的度数为； ④若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12000人． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：； （2）化简：． 21. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 23. 一个不透明的箱子中装有4个除颜色外都相同的球，分别是2个红球，1个黑球和1个白球． （1）从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率为______． （2）小明和小贝按如下的规则做摸球游戏，你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 游戏规则： 小明先从箱子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再让小贝随机摸出一个球，记下颜色，若两人所摸球的颜色相同，则小明胜；反之，则小贝胜． 24. 在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求点到直线的距离． 25. 问题提出：如图①，在中，，点F是上点，，点E是的中点，连接，求的面积； 问题解决：如图②，在某工业园区的环保改造项目中，有一块四边形的闲置空地，由于园区的环保要求，需要将这块空地进行改造利用．已知，CD⊥BC，，，且．与是两条排污管道，管理者现要建一个四边形净化水池，要求点M、N分别在上，．请问：四边形净化水池的面积是否存在最大值，若存在，求出四边形面积的最大值及这时点M到点A的距离；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 26. 已知二次函数（a为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）该函数图象的对称轴是直线 （用含a的代数式表示）． （3）点在该函数图象上．对于，都有，直接写出a的取值范围． 27. 在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． （1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②连接交线段于点求证： （2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省地矿局中学等学校2024-2025学年 九年级下学期5月联考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一种大米的质量标记为“千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A. 10.08千克 B. 10.09千克 C. 9.98千克 D. 9.89千克 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加减，由题意得出一袋大米最多为千克，最少为千克，即可得解． 【详解】解：∵一种大米的质量标记为“千克” ∴一袋大米最多为千克，最少为千克， ∴质量不合格的是9.89千克， 故选：D． 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 3. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，据此作答即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 2025年1月25日，安徽省举行“贯彻落实新春第一会精神奋力推动经济持续回升向好”新闻发布会，会上指出2024年，安徽地区生产总值增长5.8%，增速高于全国0.8个百分点、并列全国第3位，总量突破5万亿元、达到万亿元．其中万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：万亿． 故选：C． 5. 将一副直角三角板按如图所示方式摆放在一起，其中，，，，若，则的度数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据平行线的性质，即可得到∠M=∠BAM=60°，再根据∠CAM=∠BAM-∠BAC进行计算即可． 【详解】解：∵∠ABC=∠MAN=90°，∠N=30°， ∴∠M=60°， ∵MN∥BA， ∴∠M=∠BAM=60°， ∴∠CAM=∠BAM-∠BAC=60°-45°=15°， 故选：B． 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 6. 已知三点都在反比例函数的图象上，且，则大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值判断增减性即可得出结论． 【详解】解：由题意反比例函数中，， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在各个象限内，y随x的增大而增长， ∵， ∴在第二象限，在第四象限， ∴， 故选：B 7. 对于一组统计数据1，1，6，5，7．下列说法错误的是（　　） A. 众数是1 B. 平均数是4 C. 方差是 D. 中位数是6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数，平均数，方差，中位数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据中位数、众数、方差、平均数的概念计算即可得解． 【详解】A、这组数据中1出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，此选项正确； B、，求得这组数据的平均数为4，故此选项正确； C、，故此选项正确； D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是5，故中位数为5，故此选项错误； 故选：D． 8. 如图，在中，平分，交于点E，交于点F，若，则四边形的周长是（　　） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，即可得到四边形为平行四边形，再根据平分，即可得到，即，从而平行四边形为菱形．根据菱形的性质结合，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解题的关键是证出四边形为菱形． 9. 如图，在中，，，点D在的延长线上，且，则的值为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理和相似三角形的性质和判定，根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减得， 故选：B． 10. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 移项合并得：， 系数化1得：， 表示在数轴上为∶ 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键． 11. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，任意多边形外角和恒为，边形内角和为，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得， ∴这个多边形的边数为． 12. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，多项式除以单项式，积的乘方，掌握合并同类项法则，多项式除以单项式法则，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论正确，故符合题意； 故选：D． 13. 如图所示，是的直径，点，都在上，连接，，，，若，，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 根据同弧形所对圆周角相等得到，再根据是的直径，，，根据有三角形的性质得到，则． 【详解】解： 是的直径 ， ，即的半径长为4 故选：C． 14. 按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式中的数字变化规律问题，先确定系数的变化规律：的序号数次方，再确定字母指数的变化规律：x的序号数次方，即可得出答案． 【详解】解：因为， 所以第n个单项式为． 故选：D． 15. 如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设雕像下部高为，则雕像上部高为，根据雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设雕像下部高为，则雕像上部高为， 根据题意得：，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分母不等于0，即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0． 17. 分解因式：＝________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是_________． 【答案】##40厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解． 首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴圆锥的底面周长为，半径为， ∴扇形的弧长为， 设扇形的半径为r， 则， 解得：， ∴高为： 故答案为：． 19. 昆明享有“春城”之美誉，是中国面向东南亚、南亚开放的门户城市，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅统计图，下列四个说法中，错误的是_____（填序号） ①本次抽样调查的样本容量是5000； ②扇形统计图中的m为20； ③“自驾”所占扇形圆心角的度数为； ④若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12000人． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求扇形统计图圆心角，用样本估计总体，根据坐火车的人数与所占比例求出样本容量，即可判断A；用了坐大巴的人数除以样本容量即可求出坐大巴的百分比，即可判断B；用自驾的百分比乘以360度即可求出圆心角，即可判断C；用50万人乘以乘飞机的百分比即可求出选择飞机出行的人数，即可判断D． 【详解】解：①样本容量为，正确，不符合题意； ②，则m的值为20，正确，不符合题意； ③“自驾”所占扇形圆心角的度数为，正确，不符合题意； ④若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有500000人，选择飞机出行的约有(人)，原说法错误，符合题意； 故答案为：④． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算： （1）先求立方根，去绝对值，算负整数指数幂，再算加减； （2）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 21. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ． （2）5 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 22. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据数量关系列方程，注意得到方程的解需要检验．设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料．根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，”列方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 依题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 则（）． 答：B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 23. 一个不透明的箱子中装有4个除颜色外都相同的球，分别是2个红球，1个黑球和1个白球． （1）从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率为______． （2）小明和小贝按如下的规则做摸球游戏，你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 游戏规则： 小明先从箱子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再让小贝随机摸出一个球，记下颜色，若两人所摸球的颜色相同，则小明胜；反之，则小贝胜． 【答案】（1） （2） 不公平，理由： 列表如下： 　小贝 小明 红1 红2 黑 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，黑） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，黑） （红2，白） 黑 （黑，红1） （黑，红2） （黑，黑） （黑，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，黑） （白，白） 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中颜色相同的有6种，颜色不同的有10种， 小明获胜的概率为，小贝获胜的概率为． ， 这个游戏不公平． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出共有16种等可能的结果，其中两人所摸小球的颜色相同的有6种，两人所摸小球的颜色不同的有10种，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵共有4个除颜色外都相同的球，有1个黑球， ∴从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率为； 【小问2详解】 略 24. 在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求点到直线的距离． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，， ∵， ∴即， ∵，， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴平行四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质结合题意可得，再证明出，即可得出四边形是平行四边形，结合即可得证； （2）设点到直线的距离为．由勾股定理计算得出，解直角三角形得出,再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设点到直线的距离为． 在平行四边形中， 在矩形中，， ∴ 在中，，，， ∴ 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点到直线的距离为． 25. 问题提出：如图①，在中，，点F是上点，，点E是的中点，连接，求的面积； 问题解决：如图②，在某工业园区的环保改造项目中，有一块四边形的闲置空地，由于园区的环保要求，需要将这块空地进行改造利用．已知，CD⊥BC，，，且．与是两条排污管道，管理者现要建一个四边形净化水池，要求点M、N分别在上，．请问：四边形净化水池的面积是否存在最大值，若存在，求出四边形面积的最大值及这时点M到点A的距离；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）（2）存在，四边形面积的最大值为，点M到点A的距离为 【解析】 【分析】（1）过点作，解直角三角形，求出的长，再用面积公式进行计算即可； （2）先证明四边形为菱形，进而得到为等边三角形，作，利用分割法将四边形的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）过点作， 在中，， ∵是的中点， ∴， ∴； （2）存在； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， 作， 则：在中，， 同理：，， ∴四边形面积 ， ∴当时，四边形面积的最大值为； 故四边形面积的最大值为，点M到点A的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 26. 已知二次函数（a为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）该函数图象的对称轴是直线 （用含a的代数式表示）． （3）点在该函数图象上．对于，都有，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） 解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∴该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可解决； （2）根据抛物线对称轴公式解答即可； （3）根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点为，再由，可得，然后分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：该函数图象的对称轴是直线； 故答案为： 【小问3详解】 解：∵点在该函数图象上，函数图象的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∵，都有， ∴当时，抛物线开口向上，再对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴或， 解得：， 当时，抛物线开口向下，再对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴或， 解得：， 综上所述，a的取值范围为或． 27. 在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． （1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②连接交线段于点求证： （2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）. 【答案】（1） ①点Q如下图所示． ②证明：如图延长ON至点，连接AQ， ∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON即可求出； （2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则． 【小问1详解】 解：①点Q如下图所示． ∵点， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为，， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点，在坐标系内找出该点即可； ②略 【小问2详解】 解：如图所示， 连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使， ∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴， 又∵， ∴， ∴NM为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 结合题意，，， ∴， 即长的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $