精品解析：　2025年江苏省泰州市泰兴市中考二模数学试题

2025年春学期九年级第二次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数中，没有倒数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，一个数若有倒数，那么这个数与其倒数的乘积为负1，据此求解即可． 【详解】解：根据倒数的定义可知，只有0没有倒数， 故选：B． 2. 下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，满足的式子即为符合题意的式子，据此求解即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 3. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，正确理解三视图与几何体之间的关系是解题的关键．根据三视图的形状特征，即可判断答案． 【详解】解：根据主视图和左视图为长方形，可判断出是柱体，根据俯视图是三角形，可判断出这个几何体是三棱柱． 故选：D． 4. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 检测“神舟二十号”飞船的零部件 B. 了解全国中学生的视力情况 C. 检测泰兴的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了普查与抽样调查，理解其概念结合题意分析是关键． 普查：对全部调查对象进行检查；抽样调查：它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，由此即可求解． 【详解】解：A、检测“神舟二十号”飞船的零部件适合普查，符合题意； B、了解全国中学生的视力情况适合抽样调查，不符合题意； C、检测泰兴的城市空气质量适合抽样调查，不符合题意； D、调查某池塘中现有鱼的数量适合抽样调查，不符合题意； 故选：A ． 5. 在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（ ） A. 一次轴对称和一次平移 B. 两次轴对称 C. 一次旋转 D. 一次轴对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形的轴对称，平移和旋转的性质，根据题意结合轴对称，平移和旋转的性质即可求解． 【详解】解：A. 先以为对称轴作一次轴对称，再沿方向一次平移，可以得到，故该选项不符合题意 B. 分别以大正方形的对角线为对称轴作两次轴对称，可以得到，故该选项不符合题意 C. 绕点作旋转，作一次旋转，可以得到，故该选项不符合题意 D. 一次轴对称不能得到，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 直线与二次函数的图像的交点坐标分别为、，且．同时直线与一次函数图像的交点坐标为．以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的解，掌握函数的交点和方程解的关系是解题的关键． 选项A∶ 二次函数最小值为−1，但需注意题目中存在两个交点，故，而非；选项B∶ 利用根的和，结合的表达式直接求解；选项C、D∶ 需分的正负讨论，判断的范围是否唯一成立． 【详解】解：选项A：二次函数的最小值为，当时，方程有唯一解，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，题目中明确存在两个交点，故判别式必须大于0，即：，故选项A错误； 选项B：直线与抛物线交点的横坐标满足方程，根据韦达定理：， 若，则， 将代入一次函数方程， ，故选项B正确； 选项C：条件即， 由一次函数方程，解得：， 当时，，即与符号相反： 若，则， 若，则， 因此，的取值范围不唯一，选项C错误； 选项D：条件即， 同理，由，得，即与符号相同： 若，则， 若，则， 因此，的取值范围不唯一，选项D错误； 故选：B． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 2025年一季度泰兴市实现地区生产总值约377亿元，总量泰州第一，将377亿用科学记数法表示________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 详解】解：377亿， 故答案为：． 9. 已知n为整数，且，则n等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可直接求出整数n． 【详解】∵n为整数，且，而 ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查二次根式的取值范围，解题关键是找出二次根式临近的整数来判断二次根式的取值范围． 10. 点是函数和图象的交点，则代数式________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求代数式的值，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点是函数和图象的交点， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 在等腰中，，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为腰两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当为腰时，则的三边长分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴； 当为腰时，则的三边长分别为4，2，2， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意， 综上所述，； 故答案为：4． 12. 为了直观反映某班学生参加各个社团小组的人数占全班人数的百分比，应选用________统计图（填“条形”、“扇形”或“折线”）． 【答案】扇形 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图、折线统计图的选择，熟练掌握它们各自特点是解决问题的关键． 条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据具体情况选择即可． 【详解】解：为了直观反映某班学生参加各个社团小组人数占全班人数的百分比，应选用扇形统计图 故答案为：扇形． 13. 如图所示的运算程序中，若第1次输入的x值为81，则第2025次输出的结果________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，求代数式的值，有理数的运算，分别求出第一次输出，第二次输出，第三次输出，第四次输出，第五次输出，第六次输出，……由此可得，奇数次输出，即可求解．能够通过所给例子，找到循环规律是解题的关键． 【详解】解：由题可知，第一次输出， 第二次输出， 第三次输出， 第四次输出， 第五次输出， 第六次输出， ……， 由此可得，从第三次开始，每两次一个循环，奇数次输出 ∴第次输出的结果为． 故答案为：． 14. 如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 过点D作交于点G，证出得，再证得，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． 15. 如图，正六边形中，依次连接部分对角线，围成新的正六边形，作此正六边形的外接圆．已知，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆以及不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、熟练掌握正多边形和圆的相关知识是解题的关键．根据图形可得阴影部分面积等于半径为的圆的面积减去正六边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为，连接，设交于点， ∵，是正六边形， ∴，是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. ∴图中阴影部分面积为 故答案为：． 16. 在正方形中，，E为边上一点，将沿翻折，点A落在点F处，连接并延长交射线于点G，连接．若和全等，则________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，正切的定义，全等三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质可得，则分两种情况讨论，，分别画出图形，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵正方形中， ∴ ∵将沿翻折， ∴，， 如图，当时， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 如图，当时， ∴，， 设，则 ∴， 在中， ∴ 解得： 即， 综上所述，的长为1或， 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，分式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项即可； （2）先计算括号内的，然后把除法转化为乘法约分即可． 【小问1详解】 解：原式. ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 甲、乙2名学生各自随机选择到A、B、C三家书店中的一家购书． （1）甲学生在B书店购书的概率为________； （2）求甲、乙2名学生在同一书店购书的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）根据甲学生到书店购书有3种选择，到B书店的概率即可求得； （2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，再将符合题意的结果除以所有结果，即可解答． 小问1详解】 解：甲学生到书店购书有A、B、C，3种选择， 故到B书店的概率为． 【小问2详解】 画树状图，如图 共有9种等可能性结果．甲、乙2名学生在同一书店购书的结果有3种， ∴甲、乙2名学生在同一书店购书的概率为． 19. 甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）． 三人成绩的平均数和中位数统计表 爱好者 甲 乙 丙 平均数 x 中位数 y 8 6 同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8． 乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8． 丙的成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10． 根据以上信息，回答下列问题： （1）由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）； （2）统计表中________，________； （3）小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁． 【答案】（1）乙 （2）；9 （3）乙，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数和平均数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键． （1）根据靶图可知乙的射击成绩最集中，据此可得答案； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）无论改变乙中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由靶图可知，乙的射击成绩最集中，即稳定性最好； 【小问2详解】 解：由题意得，甲的平均数为，即 把甲的10次射击成绩按照从低到高排列为4，8，9，9，9，9，10，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9，9，则甲的中位数为，即； 【小问3详解】 解：据乙的成绩分析：由于8出现的次数有7次，7出现3次，无论改变其中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，所以乙符合． 20. 某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如下表： 方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用 方案一 10人 40人 24000元 方案二 15人 35人 23750元 根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？ 【答案】动车的票价是440元/张，飞机的票价是490元/张 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设动车的票价是元/张，飞机的票价是元/张，根据表格数据列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设动车的票价是元/张，飞机的票价是元/张． 根据题意得：， 解方程组得； 答：动车的票价是440元/张，飞机的票价是490元/张． 21. 如图，在中，，．以为圆心，为半径作圆，交于点，交于点，是上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； （1）连接，根据，，可得，根据可得，进而得出，即可得证； （2）设与交于点，得出，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 连接 ，， ， ， 又， ， ， 点在上， 为的切线； 【小问2详解】 设与交于点， ，， ， ， ， 在中，，， ，． 22. 如图，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点，且与轴交于点． （1）求和的值； （2）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合问题，求三角形的面积，掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）将代入得出，再代入即可得出的值； （2）把代入得，，则，进而根据的面积为，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：在的图像上， ， 在一次函数的图像上， ， ； 【小问2详解】 过点作轴，垂足为， 把代入 得，， ， ，轴， ， ， 或． 23. 近期，我市各学校积极开展“行走的思政课”活动，让思政课从“书本本”走向“心窝窝”．某校精心挑选两条研学线路供选择：如图，①号线路；②号线路．经勘测，在的正北方向，在正东方向且在南偏西方向，同时在南偏东方向，在北偏东方向，、两地相距千米． （1）求的度数； （2）请通过计算说明①、②两条线路中哪条线路路程更短？（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）②号线路的路程更短，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，将问题转化为解直角三角形问题是解题的关键． （1）由题意得：，，，，根据平行线的性质可得，进而在，中，根据三角形内角和定理，即可求解． （2）先解，过点作，垂足为点，解，分别求得①、②两条线路的路程，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：，，， ， ， ， 在中，， 中，， ； 【小问2详解】 在中， ， 过点作，垂足为点， 在中，， ，， 在中，， ，， ①号线路的路程为， ②号线路的路程为， ， ②号线路的路程更短． 24. 综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 （1）从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； （2）根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； （3）兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 【答案】（1）② （2）小 （3）曲线更可能是段曲线所在函数图像的一部分 【解析】 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据抛物线的性质，曲度的定义，为使滑梯更安全，“曲度”应该调小， （3）待定系数法求得反比例函数解析式，进而可得，再将，代入，再待定系数法求解析式，分别求得纵坐标，和的纵坐标比较，即可求解． 【小问1详解】 解：∵段的函数值越来接近，符合反比例函数的特征， ∴降速部分是反比例函数图像的一部分， 故答案为：②． 【小问2详解】 曲线所在的函数图像为二次函数，根据曲度的定义，为使滑梯更安全，抛物线开口要增大，即“曲度”应该调小， 故答案为：小． 【小问3详解】 解：∵在上， 代入得，， ∴ ∵“曲度相等” ∴ ∵二次函数经过，， ∴ 解得： ∴ 当代入得，， ∴ 当代入得，， ∴ ∴ ∴段更可能是段曲线所在函数图像的一部分． 25. 已知二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、，记y的最小值为p． （1）若，请直接写出该二次函数图像的顶点坐标； （2）若，求m的值； （3）点与也在该函数图像上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）是定值， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题意求得对称轴为直线，进而根据抛物线开口向上，结合题意，当，最小值，可得顶点坐标； （2）由（1）可得抛物线的解析式为，代入得出，根据，得出方程，解方程，即可求解； （3）根据题意得出，①，②，进而可得，根据（2）可得③，进而得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、 ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，最小值， ∴该二次函数图像的顶点坐标； 【小问2详解】 在的函数图像上， ， ， ， ， ，； 【小问3详解】 和在上， ①，②， 由②①得，， 在， ③， 由①③得，， ， ． 26. 如图1，将绕点A逆时针旋转得到，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心． （1）连接、，当时； ① 求证：平分； ②请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，当绕点A逆时针旋转一定角度后，连接、，且两直线、互相垂直．若，，，求的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①直接根据证明得出即可得证； ②根据旋转可得，根据中心对称可得，作即可求解，或作，即可作出点； （2）过作，垂足为，则 ，证明得出，，，进而勾股定理求得，分类讨论，分别结合图形，再求得的面积，即可求解． 【小问1详解】 证明：①依题意可知：旋转到位置， ∴， 在与中 ， ， ， 平分； ②如图，点为所求作的点； 【小问2详解】 ， ， ，， ， 过作，垂足为，则 ∵是平行四边形的中心， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴ ，，， 由勾股定理得， 第一种情况：如图1所示 ， ， 第二种情况：如图2所示 ， ， 综上，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期九年级第二次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数中，没有倒数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 检测“神舟二十号”飞船的零部件 B. 了解全国中学生的视力情况 C. 检测泰兴的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 5. 在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（ ） A. 一次轴对称和一次平移 B. 两次轴对称 C. 一次旋转 D. 一次轴对称 6. 直线与二次函数的图像的交点坐标分别为、，且．同时直线与一次函数图像的交点坐标为．以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：________． 8. 2025年一季度泰兴市实现地区生产总值约377亿元，总量泰州第一，将377亿用科学记数法表示为________． 9. 已知n为整数，且，则n等于__________． 10. 点是函数和图象交点，则代数式________． 11. 在等腰中，，，则________． 12. 为了直观反映某班学生参加各个社团小组的人数占全班人数的百分比，应选用________统计图（填“条形”、“扇形”或“折线”）． 13. 如图所示的运算程序中，若第1次输入的x值为81，则第2025次输出的结果________． 14. 如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则________． 15. 如图，正六边形中，依次连接部分对角线，围成新的正六边形，作此正六边形的外接圆．已知，则图中阴影部分面积为________． 16. 在正方形中，，E为边上一点，将沿翻折，点A落在点F处，连接并延长交射线于点G，连接．若和全等，则________． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 甲、乙2名学生各自随机选择到A、B、C三家书店中的一家购书． （1）甲学生在B书店购书的概率为________； （2）求甲、乙2名学生在同一书店购书的概率． 19. 甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）． 三人成绩的平均数和中位数统计表 爱好者 甲 乙 丙 平均数 x 中位数 y 8 6 同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8． 乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8． 丙成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10． 根据以上信息，回答下列问题： （1）由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）； （2）统计表中________，________； （3）小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁． 20. 某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如下表： 方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用 方案一 10人 40人 24000元 方案二 15人 35人 23750元 根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？ 21. 如图，在中，，．以为圆心，为半径作圆，交于点，交于点，是上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求线段的长． 22. 如图，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点，且与轴交于点． （1）求和的值； （2）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 23. 近期，我市各学校积极开展“行走的思政课”活动，让思政课从“书本本”走向“心窝窝”．某校精心挑选两条研学线路供选择：如图，①号线路；②号线路．经勘测，在的正北方向，在正东方向且在南偏西方向，同时在南偏东方向，在北偏东方向，、两地相距千米． （1）求的度数； （2）请通过计算说明①、②两条线路中哪条线路路程更短？（参考数据：，，） 24. 综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 （1）从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； （2）根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； （3）兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 25. 已知二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、，记y的最小值为p． （1）若，请直接写出该二次函数图像的顶点坐标； （2）若，求m值； （3）点与也在该函数图像上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 26. 如图1，将绕点A逆时针旋转得到，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心． （1）连接、，当时； ① 求证：平分； ②请仅用无刻度直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，当绕点A逆时针旋转一定角度后，连接、，且两直线、互相垂直．若，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$