精品解析：2025年5月浙江省丽水市龙泉市中考二模数学试题

2024学年第二学期九年级适应性考试（二） 数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4.本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） 北京 上海 天津 重庆 A. 北京 B. 上海 C. 天津 D. 重庆 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用．根据正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个城市中北京的气温最低， 故选：A． 2. 如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了简答组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 2025年春节假期第四天，杭州西湖景区接待客流量约为580000人次，580000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. a2＋a＝a3 B. （ab）2＝ab2 C. a5÷a2＝a3 D. a5・a2＝a10 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则分别计算即可． 【详解】解：A．与a不是同类项，不能合并，故该项错误； B．，故该项错误； C．，该项正确； D．，该项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查整式的运算，掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则是解题的关键． 5. 某市测得一周的日均值（单位：微克每立方米）为：50，40，75，50，37，50，40．这组数据的众数是（ ） A. 75 B. 50 C. 40 D. 37 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 根据众数的定义求解即可. 【详解】解：数据50出现了三次最多，所以众数为50； 故选：B. 6. 如图，在直角坐标系中，与是以原点 为位似中心的位似图形，位似比为3．则点的对应点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以原点 为位似中心的位似图形，位似比为3， ∴点 的坐标为，即， 故选：A． 7. 如图表示关于的不等式的解，则 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式进而得出答案． 【详解】解：解不等式得， 由数轴解集可得， 解得， 故选：A． 8. 如图，在菱形中， 与 相交于点 ，，垂足为点M， 交 于点，若，，则 的长为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在菱形中， 与 相交于点 ， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，   故选：B ． 9. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和不等式的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，根据判断即可解答，解题的关键在于熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征与性质． 【详解】解： 点和点均在反比例函数是常数，图象上， ，， ， ，即， 当，可得，解得， 当，可得恒成立， 或 故答案为：D 10. 在正方形中，是对角线 上一动点，作于点 ，于点 ．若四边形的面积为6，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，连接，，由正方形的性质得出，得出，由矩形的性质得出，进而得出，利用，，求出，继而得出．熟练掌握上述知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形，， ，，， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 矩形的面积， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ， 故选：C． 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，直接提取公因式即可． 【详解】， 故答案为：． 12. 一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中有3个红球，2个白球，从布袋里随机摸出一个球，则摸出白球的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，直接根据概率公式求解即可，到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：从布袋里随机摸出一个球，摸出白球的概率为， 故答案为：． 13. 如图， 是 的直径， 与 相切， 为切点，连结 ．若，，则直径 的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵ 与 相切， 为切点， 是 的直径， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：4． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 __________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为： 1． 15. 如图，在 中， 的平分线 交 边于点 ，于点 ．已知，，，则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，由勾股定理求出的长几颗得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，在 中，，，点E是边上的中点，将沿 翻折得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交 于点G．则与四边形的面积比为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】延长，与 的延长线交于点 ，证明，可推出，，证明，可得，，进而可得，，，证明，得， 设的边上的高为 ，则的边上的高为， 的底边上的高为，则与四边形的面积比可求． 【详解】解：延长，与 的延长线交于点 ， 在 中，，， ，， ，， ，，，， 将沿 翻折得，点B，F，E恰好在同一直线上， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点 是边上的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设边的上的高为 ，则的边上的高为， 的底边上的高为， 则与四边形的面积比为． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握负整指数幂是解题的关键． 先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式通分，再把分子合并同类项后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图， 是等边三角形 的边 上一点，，，，垂足为 ． （1）求 的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，熟练运用上述知识是解题的关键． （1）利用含有角的直角三角形的边长关系即可解答； （2）利用三角函数的概念，即可解答． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， ，， ， ，； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ， ． 20. 随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下： “你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷 问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是_____． （A）作业帮（B）橙果错题集 （C）小猿搜题（D）豆包（E） 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图． （2）已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件的学生人数． 【答案】（1）30人； 补全统计图如下： （2）225人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用A的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数，再用参与调查的学生人数乘以D的人数占比即可求出最喜爱豆包软件的学生人数，再补全统计图即可； （2）用1500乘以样本中最喜爱软件的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴这次一共调查的学生人数为200人， ∴本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数为人； 【小问2详解】 解：人， ∴估算该校最喜爱软件的学生人数为225人． 21. 如图1，在四边形中，，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在 上作点 ，使得四边形是矩形． 小丽：如图2，以点 为圆心，长为半径作弧，交边 于点 ，连结 ． 小明：如图3，以点 为圆心， 长为半径作弧，交边 于点 ，连结 ． 小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑． （1）请给出小丽作法中四边形是矩形的证明． （2）请判断小明作法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） 解： ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． （2） 小明的作法正确 证明：连结 ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定，矩形的判定，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． （1）先证明四边形有一组对边平行且相等，可得它是平行四边形，再根据它有一个角是直角，可得四边形是矩形； （2）先判断为小明的作法正确，再说理．先证明，从而可得，再证明，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，再根据它有一个角是直角，可得它是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段 所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】（1）小丽，小明 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：小丽的速度： 小明的速度：，， 【小问2详解】 解：（h），（h）， 设 线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得， 【小问3详解】 解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得， ， ， 解得，代入， ， 离山庄的路程为． 23. 已知的二次函数． （1）当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数的图象上，求 的值． （2）设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 【答案】（1）①；② （2） 证明：， ， ，是二次函数图象上两点， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①运用待定系数法代入二次函数，得到关于a的一元一次方程，求解，再代入原函数得到表达式；②先根据平移规则得到点 平移后的坐标和 ，利用二次函数对称轴公式，根据对称轴性质列出关于 的方程求解．把平移后两点和代入已求得的二次函数表达式 ，得到关于 、 的方程组，消去 后求解 ． （2）利用得出 ，将，代入二次函数表达式求出关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，根据二次函数性质证明 ． 【小问1详解】 解：①将代入，得，解得． 二次函数的表达式为． ②方法一： 由题知，点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为， 对称轴是直线 解得 ②方法二： 点A向左平移后的点为，点A向右平移后的点为， 将这两个点代入 得 解得 【小问2详解】 略 24. 如图， 内接于 ，直径 交 于点 ，已知． （1）求证：． （2）设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）． （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图， 是 的直径， ， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由 是 的直径可得，再由同角的余角相等可得，根据等边对等角即可得出结论； （2）由已知可求，再根据同弧所对圆周角相等即可得出； （3）根据（2）的结论可知求出，即，进而可得是等腰直角三角形，设 的半径为 ，可求，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ， ， ， 【小问3详解】 如图，连接 ， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 令 的半径为 ， 则， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期九年级适应性考试（二） 数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4.本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） 北京 上海 天津 重庆 A. 北京 B. 上海 C. 天津 D. 重庆 2. 如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节假期第四天，杭州西湖景区接待客流量约为580000人次，580000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. a2＋a＝a3 B. （ab）2＝ab2 C. a5÷a2＝a3 D. a5・a2＝a10 5. 某市测得一周的日均值（单位：微克每立方米）为：50，40，75，50，37，50，40．这组数据的众数是（ ） A. 75 B. 50 C. 40 D. 37 6. 如图，在直角坐标系中，与是以原点 为位似中心的位似图形，位似比为3．则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图表示关于的不等式的解，则 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 如图，在菱形 中， 与 相交于点 ，，垂足为点M， 交 于点，若， ，则 的长为（　　） A. B. 1 C. D. 9. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 或 10. 在正方形 中，是对角线 上一动点，作于点 ，于点 ．若四边形的面积为6，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中有3个红球，2个白球，从布袋里随机摸出一个球，则摸出白球的概率为__________． 13. 如图， 是的直径， 与相切， 为切点，连结 ．若，，则直径 的长为__________． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 __________． 15. 如图，在 中， 的平分线 交 边于点 ，于点 ．已知，，，则 的长为__________． 16. 如图，在 中，，，点E是 边上的中点，将沿 翻折得，连接 ，点B，F，E恰好在同一直线上，延长 交 于点G．则与四边形的面积比为________ ． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图， 是等边三角形 的边 上一点，，，，垂足为 ． （1）求的长． （2）求的值． 20. 随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识．某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下： “你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷 问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是_____． （A）作业帮（B）橙果错题集 （C）小猿搜题（D）豆包（E） 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图． （2）已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱软件的学生人数． 21. 如图1，在四边形 中，，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在 上作点 ，使得四边形是矩形． 小丽：如图2，以点 为圆心，长为半径作弧，交边 于点 ，连结． 小明：如图3，以点 为圆心， 长为半径作弧，交边 于点 ，连结． 小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑． （1）请给出小丽作法中四边形是矩形的证明． （2）请判断小明作法是否正确，并说明理由． 22. 2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段 所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 23. 已知的二次函数． （1）当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数的图象上，求 的值． （2）设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 24. 如图， 内接于，直径 交 于点 ，已知． （1）求证：． （2）设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）． （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $