精品解析：黑龙江省大庆实验中学二部2025届高三得分训练（一）数学试题

大庆实验中学实验二部2022级高三得分训练（一） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解对数不等式得出集合A，再计算分式不等式得出集合B，即可求解交集. 【详解】集合， ， 则. 故选：B. 2. 曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，曲线表示椭圆求解的取值范围，再根据充分条件、必要条件进行判断即可. 【详解】若曲线表示椭圆，则，解得或， 则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，均为平面上的单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义，和求出，再根据向量模长的计算方法，求出答案. 【详解】由题意知，， 可得， ， 故选：C. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量，，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 【答案】D 【解析】 【分析】对选项A，根据线性相关的回归方程对应的直线过中心点求出的值；对选项B，根据正态分布的特点求出对应的概率；对选项C，相关系数越接近，两个变量的线性相关程度越高；对选项D，可根据定义求出其第百分位数进行判断. 【详解】对于选项A，线性相关的回归方程对应的直线过点，即，解得，选项A正确； 对于选项B，根据正态分布的性质，，，则，选项B正确； 对于选项C，相关系数的绝对值越接近，则两个变量的线性相关程度越高，选项C正确； 对于选项D，共有个按从小到大排列的数据，，根据定义第百分位数为第项和第项的平均数，选项D错误. 故答案为：D 5. 过直线上一点作圆的两条切线，切点为，无论点在直线上如何运动，始终有，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆的几何性质，得到无论点在直线上如何运动，，转化为到直线的距离大于即可. 【详解】 如图，由题：圆半径为2，， 故，即， 即无论点在直线上如何运动，， 所以圆心到直线的距离解得：或， 故选：A. 6. 函数与都为奇函数，且对，都有，则（ ） A. 2525 B. 2526 C. 5049 D. 5050 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得，结合，可得，利用等差数列求和公式求得答案. 【详解】由与都为奇函数， 则，， 又，所以，， 所以，即， 所以，即， 又，，得， 所以，，…，， 所以. 故选：D. 7. 动点在棱长为4的正方体内部及表面运动，动球是以点为球心，半径为1的球，求动点在运动过程中球的轨迹形成的几何体体积（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】球的轨迹形成的几何体为一个棱长为4的正方体和6个长宽高分别为4，4，1的长方体，以及12个以1为底面半径，4为高的四分之一个圆柱体加上8个以1为半径的八分之一球，按照组合体分开计算体积即可. 【详解】球的轨迹形成的几何体为一个棱长为4的正方体和6个长宽高分别为4，4，1的长方体，以及12个以1为底面半径，4为高的四分之一个圆柱体加上8个以1为半径的八分之一球， 所以球的轨迹形成的几何体体积为. 故选：D. 8. 已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，所以为过点且在函数下方的直线斜率，过点作的两条切线，设切点求得，再利用函数性质可求解. 【详解】问题转化为，为过点且在函数下方的直线斜率，过点作的两条切线， 设切点为，则有：，解得， 设两个切点横坐标为，，则有，， 而的最大值和最小值分别为和， 所以， 而，则. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数图象向右平移个单位，并将图像上每个点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求得函数的解析式，结合正弦型函数的性质即可判断各选项. 【详解】将函数图象向右平移个单位， 并将图像上每个点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标不变，得到函数， 则，故A选项正确； B选项，，最小正周期为，故B选项错误； C选项，，所以函数的图象关于点对称，故C选项正确； D选项，，则的图象关于直线对称. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数与轴有两个不同的交点 B. 函数既存在最大值又存在最小值 C. 若当时，，则的最大值为 D. 若方程有1个实根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：令运算求解即可；对于B：利用导数求单调性和最值；对于C：根据选项B的最值即可得结果；对于D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，采用数形结合的方式可求得. 【详解】由题意可知：定义域为， 对于选项A：令，则，解得， 所以函数与轴有两个不同的交点，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，；当时，； 可知在，上单调递减，在上单调递增； 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 可知函数有最小值，无最大值，故B错误； 对于选项C：因为函数有最小值， 若当时，，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点， 结合图象可知：，故D错误. 故选：AC. 11. 比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线.如图，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为，，两球半径分别为，且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与平面所成角为且平面与两球相切于，两点，则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确的是（ ） A. ，两点为双曲线的两个焦点 B. C. 若，则该双曲线为等轴双曲线 D. 双曲线的实轴长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.在双曲线上任选一点，过点做球的切线，切点分别为与，过点做球的切线，切点分别为与，利用切线长和双曲线的定义判断；B.过，分别往，作垂线，作垂直于于，易得，判断；D.设圆锥的一条母线与两球相切与点，，由A选项得到，连接，，设圆锥顶点为，则在四边形中，，判断；C.由，判断. 【详解】在双曲线上任选一点，过点做球的切线，切点分别为与，且在球与圆锥的交线上，且过圆锥的顶点，同理，过点做球的切线，切点分别为与，且在球与圆锥的交线上，且过圆锥的顶点所以，，以及圆锥的顶点共线，所以为定值，故A正确； 过，分别往，作垂线，作垂直于于，易得，，所以，故B正确； 对于D， 设圆锥的一条母线与两球相切与点，，由A选项可知，， 连接，，则，，设圆锥顶点为，则在四边形中，，，所以，故D正确 由上述可得，双曲线，，所以双曲线离心率为，与，是否相等无关，故C不正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置． 12. 设等差数列，的前项和分别为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将转化为，求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且， 所以． 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为20，求正整数的值________． 【答案】1 【解析】 【分析】由，故只需求出中项和项，列方程求解即可. 【详解】， 中项为， 中项为， 因为的展开式中的系数为20， 所以或， 又为正整数，所以， 故答案为：1. 14. 数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求出夺冠，夺冠的概率，再由对立事件的概率关系和概率的对称性可得解. 【详解】进入决赛的概率为，进入决赛的概率为， 夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为， 夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为， 所以或夺冠的概率为，由概率的对称性可得，夺冠的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，，对，都有． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系计算可得，结合累乘法运算即可求解； （2）利用（1）中结论，得，再利用裂项相消法求和可得结果. 【小问1详解】 由，得 当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即， 因为，所以， 而也满足， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，故， . 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果； （2）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再将问题转化为最值问题，结合换元法以及二次函数的值域，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 所以， 所以的周期为， 由得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，即可得到， 再将的图象向右平移个单位，得到， 再将纵坐标变为原来的，即可得到， 因为，， 所以当，时， ， 令，，则 ，所以当时，取得最小值，最小值为 所以，解得或， 故的取值范围为． 17. 已知椭圆的离心率，，分别为其左右焦点，为椭圆上一动点，为原点，的最大值为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左顶点为，过作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），线段的中点分别为两点，已知直线斜率之积为．求证：直线过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1） （2）证明：由题可知为，设，， 则中点，. 而，所以. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 此时，根据， 解得.此时直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设直线为， 与椭圆方程联立，可得：，， 根据韦达定理，，， 所以，而 ， 所以，解得或， 当时，直线过点，不存在所以不成立， 所以，此时， 所以直线为，过定点. ； 【解析】 【分析】（1）首先根据离心率和的最大值求出的值，然后即可求出椭圆的标准方程. （2）首先将中点的坐标表示出来，然后根据斜率之积为列出表达式，然后联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理和判别式将上述列出的表达式进行化简，判断并求出，进而求出直线的方程，从而得知该直线必经过的定点. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，所以， 所以椭圆方程为. 因为为椭圆上一动点，当位于椭圆最左端或者最右端时，取最大值2， 所以，进而，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数与函数存在公切线，求的取值范围； （3）若当时，函数恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增， 当时，在上递减，在上递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，分、分别确定导数的符号，从而得函数单调性； （2）设切点，根据导函数的几何意义求出切线方程得，然后利用导函数求出最值即可； （3）通过导函数的符号可得在上单调递增，然后分 、 和 讨论求解即可 【小问1详解】 ，当时，，在上单调递增， 当时，令，解得， 所以当时，，单调递减， 所以当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上递减，在上递增 【小问2详解】 设公切线与的切点，与的切点为， 由，得，则公切线方程为； 由得，则公切线方程为， 对应斜率与截距相等，得，，所以， 所以 ，即． 设，则， 由 ；由 ． 函数在上单调递增，在上单调递减． 所以函数．即的最大值为． 【小问3详解】 设 ， ， 令 ，则 ， 当时， ，所以单调递增， 当 时， ，单调递增， 所以当时，单调递增， ， 当 时，因为，单调递增， 所以 ，所以在上单调递增， 此时 ，不成立． 当 时， ， 当 时， ， 所以存在，， 且当时，，单调递减，所以 ，不成立 当 ，因为 ，所以存在， 且当时，，单调递增， 所以 ，不成立. 当 时，因为单调递增， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以 ，成立， 所以的取值范围为 19. 在矩形中，，，，为的中点，将点沿着翻折到点，二面角大小为，连接，． （1）若的中点为，求证：平面； （2）求四面体的外接球表面积的取值范围； （3）一个动点从点开始，在四棱锥的棱上运动，定义1步运动为：在所在顶点处随机选取一条与之相邻的棱，从所在顶点运动到该棱的另一个顶点（例如：若点在点处，分别有的概率运动到，，，处．若点在点处，分别有的概率运动到，，处，以此类推），现有一个质地均匀的骰子（六个面上数字分别是1，1，2，3，3，3），每扔一次骰子，若骰子正面向上点数为，则点运动步，求扔次骰子后动点仍在点的概率． 【答案】（1）证明：取中点，因为的中点为，所以且， 而，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，可证，从而可证平面； （2）连接，与交于点，取中点为，过作垂足为，再建立如图所示的空间直角坐标系，利用球心的性质可求球心坐标，从而可求半径得其范围，故可求表面积的取值范围； （3）利用全概率公式构建递推关系，再利用构造法求通项即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，与交于点，取中点为，则，， 则且为二面角的平面角，故， 过作垂足为，则，， 因为，平面， 故平面，而平面，故平面平面， 平面平面，平面，故平面， 所以如图以点为原点，以过点且与平行的方向为轴， 以过点且与平行的方向建为轴， 以过点且与垂直的方向为轴建立空间直角坐标系， 可得，，， 由于球心在过的外心且垂直于平面的直线上， 所以设球心的坐标为，因为， 所以， 解得， 而，所以， ， 所以四面体的外接球表面积为， 【小问3详解】 设次骰子后动点仍在点的概率为 扔次骰子后动点仍在点有两种情况， 一种是扔次骰子后动点仍在点，一种是扔次骰子后动点不在点， 而点在，，，处扔一次骰子到点的概率为 ， 而点在处扔一次骰子到点的概率为， 所以，所以， 又，故，故， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学实验二部2022级高三得分训练（一） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，均为平面上的单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量，，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 5. 过直线上一点作圆的两条切线，切点为，无论点在直线上如何运动，始终有，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 函数与都为奇函数，且对，都有，则（ ） A. 2525 B. 2526 C. 5049 D. 5050 7. 动点在棱长为4的正方体内部及表面运动，动球是以点为球心，半径为1的球，求动点在运动过程中球的轨迹形成的几何体体积（ ） A. B. C. D. 8. 已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数图象向右平移个单位，并将图像上每个点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数与轴有两个不同的交点 B. 函数既存在最大值又存在最小值 C. 若当时，，则的最大值为 D. 若方程有1个实根，则 11. 比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线.如图，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为，，两球半径分别为，且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与平面所成角为且平面与两球相切于，两点，则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确的是（ ） A. ，两点为双曲线的两个焦点 B. C. 若，则该双曲线为等轴双曲线 D. 双曲线的实轴长为 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置． 12. 设等差数列，的前项和分别为，，，则________． 13. 的展开式中的系数为20，求正整数的值________． 14. 数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，，对，都有． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，求． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 17. 已知椭圆的离心率，，分别为其左右焦点，为椭圆上一动点，为原点，的最大值为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左顶点为，过作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），线段的中点分别为两点，已知直线斜率之积为．求证：直线过定点，并求出该定点坐标． 18. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数与函数存在公切线，求的取值范围； （3）若当时，函数 恒成立，求的取值范围． 19. 在矩形中，，，，为的中点，将点沿着翻折到点，二面角大小为，连接，． （1）若的中点为，求证：平面； （2）求四面体的外接球表面积的取值范围； （3）一个动点从点开始，在四棱锥的棱上运动，定义1步运动为：在所在顶点处随机选取一条与之相邻的棱，从所在顶点运动到该棱的另一个顶点（例如：若点在点处，分别有的概率运动到，，，处．若点在点处，分别有的概率运动到，，处，以此类推），现有一个质地均匀的骰子（六个面上数字分别是1，1，2，3，3，3），每扔一次骰子，若骰子正面向上点数为，则点运动步，求扔次骰子后动点仍在点的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $