精品解析：浙江省精诚联盟2025届高三下学期适应性联考数学试题

2024学年第二学期浙江省精诚联盟适应性联考 高三数学 试题 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得集合及集合，再利用集合交并补运算性质可解. 【详解】，，所以， 故选：B． 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据向量的垂直性质，写出等式，然后根据向量的数量积求出的值，最后根据向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】由题意知，，所以， 因为，所以， 即，得， 所以， 故选：A． 3. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数定义可得答案. 【详解】当时，，则，所以，. 故选：C． 4. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断. 【详解】若，则， 若，则不一定成立，则不一定成立， 如，时，，满足，但不满足， 若，则，故，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 5. 若函数（，）的最小正周期为，其图象的一条对称轴的方程为，则函数在上的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦型函数的周期及对称轴的求法求出的值，再根据零点的定义及取值范围求出零点的值从而确定零点的个数. 【详解】由题，得， 又，，得，， 因为，所以， 令得，，即，， 当，，0，1时，，，，， 得在上有4个零点． 故选：D. 6. 若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 7. 已知数列中，，且，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的定义可得数列是等差数列，从而得到数列的通项公式，即可得到结果. 【详解】由得，即， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，故， 所以. 故选：A． 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据的范围求出结果. 【详解】由得，即，即，又，故， 故， 因为，所以，故，得，， 因为， 因为，，所以， 故，所以，所以， 故选D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知复数，（），则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则在复平面内对应的点位于第一象限 C. 若，则 D. 若,为方程（）的两虚根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，用复数的除法运算即可判断；对于B，将代入所求式化简即可判断；对于C，由条件等式可推理得到的轨迹为圆，由结合图形可求出该点与原点距离的范围即得；对于D，根据韦达定理可求出的值. 【详解】对于A：由得，故为纯虚数，故A正确； 对于B：由得，得，， 所以，在复平面内对应的点在第四象限，故B错误； 对于C：若，则，即 则在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示， 因，由图知， 所以，故C正确； 对于D：因,为方程（）的两虚根， 则，又因且，则， 所以，得，且，故D错误. 故选：AC． 10. 如图，在棱长为4的正方体中，分别为棱，底面的对角线上的动点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 存在实数，使得 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法转化可得选项A正确；作于点，通过证明平面平面可得选项B正确；建立空间直角坐标系，根据可得选项C错误；利用向量法表示线面角的正弦值可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，，A正确； B.如图，作于点，连接，则，且， 因为平面，平面，所以平面. 因为，所以，故， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面，B正确； C.以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 若，则，得，与矛盾， 所以不存在实数，使得，C错误； D.由题意得，平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍），D正确. 故选：ABD． 11. 超椭圆（superellipse）也称为Lamé曲线，是一种类似于椭圆的封闭曲线，保留了椭圆的长轴、短轴、对称性等特点．超椭圆在平面直角坐标系中的方程为（，，），当，时，该超椭圆即为著名的“星形线”，记为曲线C（如图），已知点在曲线C上，O为坐标原点，点为曲线C上任意一点．则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 直线与曲线C恰有3个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用点在曲线上代入可求a确定A选项，把点代入曲线，再利用基本不等式可确定B， 由可确定C，利用曲线在点 的切线方程即为可确定D. 【详解】由题，曲线C的方程为，将点代入方程得，因为，所以，A正确：因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，B错误； ，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故，C正确；由题知，时，当，时，由得，令，则，令，即，即，解得，即，代入得，所以曲线C在点处的切线方程为，即，恰好与直线重合，易得直线l与曲线C在第二、四象限的部分各有一个交点，所以直线与曲线C有3个公共点，D正确， 故选：ACD． 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线与抛物线相交于A，B两点，D为抛物线的准线与y轴的交点，若的面积为4，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】联立方程求解可得，根据抛物线的对称性得为等腰三角形，根据面积公式列方程求解即可. 【详解】将代入得，所以， 由抛物线的对称性可得，所以为等腰三角形， 设抛物线的焦点为F，则，又， 故， 解得． 故答案为：2. 13. 将圆周率的近似值的各个数位上的数字重新排列后得到5位小数M（包括T），则的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得整数位只能为1或3，特别的当整数位为3时，十分位与百分位上的数字只能为1，据此可得答案. 【详解】若，则M整数位上的数字只能为1或3，当M整数位上的数字为1时， 符合条件的5位小数共有个；当M整数位上的数字为3时，十分位和百分位上的数字均只能为1， 符合条件的M共有个，所以这些新的小数中小于T的个数为126个． 将T各个数位上的数字重新排列共有种不同排法，所以的概率为． 故答案为： 14. 已知函数的值域为D，集合，若，则实数a的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，进而转化为，然后构造函数，分离参数利用导函数求出最值即可 【详解】由题知，，， 若，则存在， 使得，即存在，使得， 即，即， 令，易知函数在上单调递增， 所以，即，即， 由题意，只需， 令，则， 令，则；，则； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，所以实数a的最大值为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． （1）求a，b的值； （2）根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】（1），． （2）（ⅰ）一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%； （ⅱ）不合格，理由如下： 由题，， 所以， 又，， 故小概率事件发生，所以该批固态电池不合格． 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可求解； （2）由题意，，（i）根据正态分布的对称性求概率即可；（ii）算出，然后由即可判断. 【小问1详解】 由题，①， ②， 由①②解得，． 【小问2详解】 由题，，， （ⅰ）因为 ； ， 所以一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%． （ⅱ）不合格．理由略. 16. 如图，三棱柱中，，，平面平面，D为棱的中点，． （1）证明：； （2）求平面ABD与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，，所以，故， 又，，所以， 所以，故， 所以， 得，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，故， 因为，，，平面BCD， 所以平面BCD，平面BCD，故， 因为，所以得证． （2）． 【解析】 【分析】（1）先应用余弦定理得出，进而得出，再应用面面垂直性质定理得出平面，再应用线面垂直判定定理得出平面BCD，进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法得出平面ABD与平面的法向量，再应用向量夹角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AC中点O，连接OB，，易知OB，OC，三条直线两两垂直， 以O为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则 设平面ABD的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 设平面的的一个法向量为， 则，即， 令，得，， 可得平面的一个法向量， 所以． 所以平面ABD与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值点个数； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）有1个极小值点，无极大值点； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性，进而确定极值点情况； （2）对函数求导，结合分类讨论研究不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 由的定义域为，当时，， 当时，，，又， 所以，故在上单调递减，无极值； 当时，令，则，因为，， 所以，故（即）在上单调递增， 又，，所以存在唯一的使， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 综上，当时，有1个极小值点，无极大值点． 【小问2详解】 由题，， 令，则， 所以（即）在上单调递增，故， 当时，，此时在上单调递增，故，符合题意； 当时，， 又 ， 因为在上单调递增，所以存在，使得， 当时，，在上单调递减，此时，不合题意， 综上，实数a的取值范围为． 18. 已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． （1）求双曲线E的方程； （2）是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； （3）若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 假设存在直线l，使得与的面积相等， 则点B为PQ的中点，设，，代入E的方程得：， 两式作差得， 因为点为PQ的中点，所以，， 故，即直线l的斜率为， 故直线，即， 此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾， 所以不存在直线l，使得与的面积相等 （3）证明：由题可知，直线l的斜率存在，设直线，与E的方程联立，得， 由题，，得，且， 设，，则，， 设，，又，所以， 令得，同理可得， 故， 又 ， ，所以， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证． 另解：设，，又，所以， 令得，同理可得， 双曲线的方程化为：，即， 设直线，即， 联立得， 所以， 等式两边同时除以得：， 设，，易得满足方程， 则为方程两根，由韦达定理可得 ，故， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证 【解析】 【分析】（1）由焦距可得，由渐近线方程可得，据此可得双曲线方程； （2）由题可得B为PQ中点，设，，由点差法可得直线PQ斜率为渐近线斜率，据此可完成判断； （3）方法1，设直线，将其与双曲线联立，由韦达定理结合题意可得MN的中点为，据此可完成证明；方法2，设，，由题可得，，将双曲线的方程化为，将其与直线联立，然后由韦达定理可得，据此可完成证明. 【小问1详解】 由题，设双曲线E的焦距为2c，则，即， 根据双曲线的性质可知，点在渐近线上， 所以，即①， 又，所以② 又①②解得，， 所以E的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 关键点睛：对于存在性问题，常假设相关条件成立，然后得到相关方程，不等式，通过判断方程，不等式是否有解来解决问题，或利用反证法；对于定值问题，常利用所设参数得到所研究数学量的表达式，随后设法消去参数来解决问题. 19. 定义：若对，，都有（j为常数，且），则称数列为“绝对等差数列”，常数j为数列的“绝对公差”．已知“绝对公差”数列所有项的和为E． （1）若，，，请写出有序实数对的所有取值； （2）若数列共有259项，且，，，求数列的通项公式； （3）若j为奇数，数列共有2k（，）项，且，．证明：k为偶数，并写出一个符合条件的数列． 【答案】（1），，． （2）（，）． （3）证明：令，，则， 因为， 所以， 又，所以 因为，且j为奇数，所以为偶数， 所以为偶数， 因为，所以为偶数， 又因为为奇数，所以k为偶数．得证． 当为偶数时，．符合条件 【解析】 【分析】（1）根据定义，即可得或，分类讨论求解即可， （2）利用累加法，结合等号成立条件可得是以为首项，3为公差的等差数列，即可利用等差通项求解， （3）根据得，进而利用等差求和可得,根据为偶数，得为偶数，即可求证明. 【小问1详解】 由题，，所以或， 当时，，得或， 因为，所以， 此时； 当时，，得或，符合， 此时或， 所以的取值情况为，，． 【小问2详解】 由题，，， 所以， 累加得，即， 因为，所以上述不等式中的等号同时成立， 所以，， 故数列是以为首项，3为公差的等差数列， 故（，）． 所以数列的通项公式（，）． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期浙江省精诚联盟适应性联考 高三数学 试题 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数（，）的最小正周期为，其图象的一条对称轴的方程为，则函数在上的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知数列中，，且，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知复数，（），则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则在复平面内对应的点位于第一象限 C. 若，则 D. 若,为方程（）的两虚根，则 10. 如图，在棱长为4的正方体中，分别为棱，底面的对角线上的动点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 存在实数，使得 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则 11. 超椭圆（superellipse）也称为Lamé曲线，是一种类似于椭圆的封闭曲线，保留了椭圆的长轴、短轴、对称性等特点．超椭圆在平面直角坐标系中的方程为（，，），当，时，该超椭圆即为著名的“星形线”，记为曲线C（如图），已知点在曲线C上，O为坐标原点，点为曲线C上任意一点．则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 直线与曲线C恰有3个公共点 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线与抛物线相交于A，B两点，D为抛物线的准线与y轴的交点，若的面积为4，则________． 13. 将圆周率的近似值的各个数位上的数字重新排列后得到5位小数M（包括T），则的概率为________． 14. 已知函数的值域为D，集合，若，则实数a的最大值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． （1）求a，b的值； （2）根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． 16. 如图，三棱柱中，，，平面平面，D为棱的中点，． （1）证明：； （2）求平面ABD与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值点个数； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围． 18. 已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． （1）求双曲线E的方程； （2）是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； （3）若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 19. 定义：若对，，都有（j为常数，且），则称数列为“绝对等差数列”，常数j为数列的“绝对公差”．已知“绝对公差”数列所有项的和为E． （1）若，，，请写出有序实数对的所有取值； （2）若数列共有259项，且，，，求数列的通项公式； （3）若j为奇数，数列共有2k（，）项，且，．证明：k为偶数，并写出一个符合条件的数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $