专题01 二次根式（考点清单+思维导图+三大考点13种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节期末复习培优题型变式专练（人教版）

专题01 二次根式 二次根式 1.二次根式的定义 一般地，式子（）叫做二次根式，“”叫做被开方数． 2.二次根式有意义的条件 （1）有意义：由二次根式的定义可知，当时，有意义． （2）无意义：因为负数没有算术平方根，所以当时，没有意义． 3.二次根式的性质 （1）二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． （2）二次根式的性质：（） （3）二次根式的性质： 4.最简二次根式 一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （3）分母中不含根号． 这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式． 注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 二次根式的乘除 二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作被开方数，并将运算结果化为最简二次根式． （，）；（，）． 二次根式加减 1.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.二次根式加减 如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并．二次根式的加减运算，以前学习的实数的运算法则，运算律仍然使用． 目录 【题型一 二次根式的判断】 2 【题型二 二次根式有意义的条件】 2 【题型三 求二次根式的值】 3 【题型四 利用二次根式的性质化简】 3 【题型五 二次根式的乘除混合运算】 3 【题型六 最简二次根式的概念辨析】 4 【题型七 已知最简二次根式求参数】 4 【题型八 同类二次根式】 4 【题型九 二次根式的混合运算】 5 【题型十 比较二次根式的大小】 5 【题型十一 分母有理化】 5 【题型十二 二次根式有关的化简求值】 6 【题型十三 二次根式的应用】 7 【题型一 二次根式的判断】 例题：（24-25八年级下·安徽池州·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【题型三 求二次根式的值】 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练】 1．（2025·江苏扬州·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 2．（2025年山东省中考数学模拟试题）已知，则 ． 【题型四 利用二次根式的性质化简】 例题：（2025·河南洛阳·三模）计算的结果是（    ） A． B．5 C．4 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·四川南充·期中）如果，那么的值是 ． 【题型五 二次根式的乘除混合运算】 例题：（2025·江苏南京·一模）计算的结果是 ． 【变式训练】 1.（24-25八年级下·福建福州·期中）计算： 2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型六 最简二次根式的概念辨析】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州毕节·三模）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【题型七 已知最简二次根式求参数】 例题：（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 【题型八 同类二次根式】 例题：（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【题型九 二次根式的混合运算】 例题：（2025·山东青岛·二模）计算： ． 【变式训练】 1．（2025·甘肃定西·二模）计算：． 2．（24-25八年级下·全国·期末）计算题： (1)； (2)． 【题型十 比较二次根式的大小】 例题：（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·陕西渭南·二模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较大小： ． 【题型十一 分母有理化】 例题：（24-25八年级下·安徽黄山·期中）式子的倒数是（      ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）探究： 观察下列等式： ； ； ； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：__________，__________． (2)拓展：比较和的大小． (3)运用：计算 2．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．请完成下列问题： (1)的有理化因式是_____；_____． (2)利用这一规律计算：的值． 【题型十二 二次根式有关的化简求值】 例题：（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 2．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 【题型十三 二次根式的应用】 例题：（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则长方形内阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期中）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一个半径为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数的取值范围是（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 3．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 6．（2025年山东省青岛市西海岸二模九年级数学试题）计算： ． 7．（2025·河南洛阳·一模）若，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·福建莆田·期中）比较大小： ． 9．（2025年安徽省芜湖市九年级第三次模考数学试题　）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·重庆云阳·期中）已知的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根，则的值是 ． 三、解答题 11．（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：，其中． 12．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期中）现有两块同样大小的矩形纸片，嘉嘉采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为________； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)琪琪想采用如图2所示的方式在矩形纸片上裁出两块边长都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 14．（24-25八年级下·浙江金华·期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 15．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 二次根式 1.二次根式的定义 一般地，式子（）叫做二次根式，“”叫做被开方数． 2.二次根式有意义的条件 （1）有意义：由二次根式的定义可知，当时，有意义． （2）无意义：因为负数没有算术平方根，所以当时，没有意义． 3.二次根式的性质 （1）二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． （2）二次根式的性质：（） （3）二次根式的性质： 4.最简二次根式 一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （3）分母中不含根号． 这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式． 注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 二次根式的乘除 二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作被开方数，并将运算结果化为最简二次根式． （，）；（，）． 二次根式加减 1.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.二次根式加减 如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并．二次根式的加减运算，以前学习的实数的运算法则，运算律仍然使用． 目录 【题型一 二次根式的判断】 2 【题型二 二次根式有意义的条件】 3 【题型三 求二次根式的值】 4 【题型四 利用二次根式的性质化简】 5 【题型五 二次根式的乘除混合运算】 7 【题型六 最简二次根式的概念辨析】 8 【题型七 已知最简二次根式求参数】 9 【题型八 同类二次根式】 10 【题型九 二次根式的混合运算】 12 【题型十 比较二次根式的大小】 13 【题型十一 分母有理化】 14 【题型十二 二次根式有关的化简求值】 17 【题型十三 二次根式的应用】 19 【题型一 二次根式的判断】 例题：（24-25八年级下·安徽池州·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的被开方数为非负数，逐一分析即可． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意； B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意； C、，由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意； D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的识别，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义“形如的式子叫做二次根式”、立方根，熟记二次根式的定义是解题关键．根据二次根式的定义、立方根逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则不是二次根式，此项不符合题意； B、，则不是二次根式，此项不符合题意； C、只有当，即时，才是二次根式，则此项不符合题意； D、因为，所以一定是二次根式，则此项符合题意； 故选：D． 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，将代入所求二次根式，再求解即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【题型三 求二次根式的值】 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“时，二次根式有意义”求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，当时有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得． 故选：D． 【变式训练】 1．（2025·江苏扬州·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，理解二次根式有意义的条件是关键． 根据二次根式有意义的条件列式，求不等式的解集即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 2．（2025年山东省中考数学模拟试题）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟悉掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的非负性运算求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：， ∴， 把代入可得：， ∴， 故答案为：． 【题型四 利用二次根式的性质化简】 例题：（2025·河南洛阳·三模）计算的结果是（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了零指数幂，二次根式的性质等知识，先根据二次根式的性质化简，再计算零指数幂，最后再计算加减法即可． 【详解】解：． 故选：C 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．（22-23七年级下·四川南充·期中）如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解二元一次方程组，先根据二次根式有意义的条件得出，求出，得出方程组，求解得出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解方程组， 解得：， ∴， 故答案为：． 【题型五 二次根式的乘除混合运算】 例题：（2025·江苏南京·一模）计算的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算乘除法，再化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1.（24-25八年级下·福建福州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． （1）根据二次根式除法的法则进行计算即可得出结果； （2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可得出结果． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型六 最简二次根式的概念辨析】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，把握两个要点：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母；根据这两个要点进行判断即可． 【详解】解：A、的被开方数中含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式； B、的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式； C、的被开方数中含有开得尽方的因数4，故不是最简二次根式； D、中的被开方数满足最简二次根式的两个要点，故是最简二次根式； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，因此不是二次根式； B、是最简二次根式； C 、，因此不是最简二次根式； D、，因此不是最简二次根式； 故选：B． 2．（2025·贵州毕节·三模）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 【题型七 已知最简二次根式求参数】 例题：（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： ∴ 故答案为： 【题型八 同类二次根式】 例题：（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】A． 与不是同类二次根式； B． 与不是同类二次根式； C． 与是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式； 故选C 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式及同类二次根式，根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解方程即可．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了同类二次根式的定义及解一元一次方程等知识点，正确理解题意是解答本题的关键． 根据同类二次根式的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为． 【题型九 二次根式的混合运算】 例题：（2025·山东青岛·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则先对二次根式进行化简，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·甘肃定西·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先利用乘法分配律展开，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25八年级下·全国·期末）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型十 比较二次根式的大小】 例题：（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 【变式训练】 1．（2025·陕西渭南·二模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将两个数平方，再比较大小即可得解． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，先利用平方法比较与，然后再利用计算法比较与． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【题型十一 分母有理化】 例题：（24-25八年级下·安徽黄山·期中）式子的倒数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】解：的倒数是 ， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）探究： 观察下列等式： ； ； ； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：__________，__________． (2)拓展：比较和的大小． (3)运用：计算 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）仿照例题化简即可； （）先求出和的倒数，进而比较倒数即可判断求解； （）利用二次根式的化简方法对括号内的各项化简，进而利用平方差公式计算即可求解； 本题考查了二次根式的分母有理化，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ； （3）解： ． 2．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．请完成下列问题： (1)的有理化因式是_____；_____． (2)利用这一规律计算：的值． 【答案】(1)，． (2)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则等知识点．掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）根据有理化因式和平方差公式求解即可； （2）先分母有理化，再把括号内合并，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴的有理化因式是； . 故答案为：，． （2）解： ． 【题型十二 二次根式有关的化简求值】 例题：（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再代入计算即可． 【详解】解：当时 ． 故选C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，无理数的估算，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）先求出的值，再根据代值计算即可； （2）根据无理数的估算方法分别求出a、b的范围，进而求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题是二次根式的化简和求值．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论． （1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论； （2）将代入原式或①式得：，代入所求式子即可． 【详解】（1）解：． ∴． ∴① 同理得：② 得：， ∴； （2）解：把代入①，得， ∴． 则 ． 【题型十三 二次根式的应用】 例题：（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则长方形内阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的应用，先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：∵从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， ∴这两个小正方形的边长分别为， ∴大正方形的边长为， 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期中）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一个半径为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由． 【答案】(1)长方形绣布的周长为 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的应用，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用长方形的面积等于长乘宽，得，故，分别得出长方形绣布的宽为，长方形绣布的长为，结合周长公式列式计算，即可作答． （2）先得出直径，再结合 ，故，所以不能裁出半径为的圆形绣布， 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 由题意可知， ∴ ， ， 由边长的实际意义得 ∴长方形绣布的宽为，长方形绣布的长为， 即长方形绣布的周长为 ， （2）解：不能，理由如下： 圆形绣布的直径， ∵， ， ， ∴不能裁出半径为的圆形绣布， 一、单选题 1．（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数的取值范围是（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，根据二次根式的混合计算法则求出m的值，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴实数的取值范围是2和3之间， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，得到与是同类二次根式，即可得出结果． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴； 故选C． 3．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的判断，先将各选项化简，再找到被开方数为的选项即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与的被开方数相同，故是同类二次根式； D、与的被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． 4．（2025·江苏南通·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查二次根式的运算，根据二次根式运算法则，验证算式的正误即可，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，由得到，从而得到，进而求得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C 二、填空题 6．（2025年山东省青岛市西海岸二模九年级数学试题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据运算法则先对二次根式进行化简，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·河南洛阳·一模）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的求值．先利用完全平方公式把所求的代数式变形得到，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 8．（24-25八年级下·福建莆田·期中）比较大小： ． 【答案】> 【分析】本题主要考查了实数大小比较，首先比较出每组两个数的平方的大小关系，然后判断出原来两个数的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（2025年安徽省芜湖市九年级第三次模考数学试题　）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·重庆云阳·期中）已知的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，实数的混合运算，根据题意得出，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化；先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的除法运算，得到化简的结果，再把代入计算即可. 【详解】解： ； 当时， 原式. 12．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 13．（24-25八年级下·河北唐山·期中）现有两块同样大小的矩形纸片，嘉嘉采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为________； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)琪琪想采用如图2所示的方式在矩形纸片上裁出两块边长都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长； （2）阴影部分的长为正方形A的边长，宽为正方形B的边长减去正方形A的边长，再由面积公式求解即可； （3）比较长方形的边长与两个边长的正方形的边长和即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片A的面积为， ∴边长为：， 故答案为：； （2）解：由题意得，方形纸片B的边长为， ∴图1中阴影部分的面积为； （3）解：能，理由如下： ∵，，而，， ∴能裁出． 14．（24-25八年级下·浙江金华·期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键； （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解： ； （3）解：∵， ∴ 15．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于12的共轭二次根式， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$