第一章 空间向量与立体几何单元综合测试-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，若，则x的值为（   ） A．7 B．-8 C．6 D．-5 【答案】A 【解析】已知，， 因为， 则，. 故选：A. 2．如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 3．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】依题意，，所以. 故选：A 4．已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A， 在上的投影向量为，故A正确； 对于B，，且所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以与不平行，故D错误. 故选：A 5．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 6．已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【解析】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C 7．在平行六面体中，，，，则棱的长度是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】 如图，不妨取，则，，， ，，. 因为， 则 ，故. 故选：A. 8．正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 【答案】C 【解析】对于A，连接、，相交于点，连接，如图所示， 因为四边形为正方形，所以是中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，,,， 所以,，，所以，故B正确； 对于C，由B选项知，，，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， 因为，所以， 点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】若，则，即有，即，即有3，故A正确，C错误； 若，则，即有，可得， 解得，则，故B错误，D正确. 故选：AD. 10．如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，是空间任意一点，则（    ） A．四边形EFGH是平行四边形 B．直线与是异面直线 C．直线与垂直 D． 【答案】ABD 【解析】在中E，H分别是AB，AD的中点， 所以为的中位线， 所以，且，同理，且， 所以，，即四边形EFGH是平行四边形，A正确； 直线平面，平面， 所以直线与是异面直线，B正确； 平行四边形EFGH不一定是矩形，即与不一定垂直， 所以直线与不一定垂直，C错误； 四边形EFGH为平行四边形，所以为EG中点， 因为E，G分别是AB，CD的中点， 所以， D正确. 故选：ABD 11．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模(表示向量，的夹角)． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（    ） A． B．与共线 C． D．与正方体表面积的数值相等 【答案】ABD 【解析】对于A，对于A，设正方体的棱长为，在正方体中， 则， 因为，且，所以， 所以， 所以，所以A正确； 对于B，在正方形中，，又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 再由右手系知，与同向，所以B正确； 对于C，由，和构成右手系知，与方向相反， 又由模的定义知，， 所以，则，所以C错误； 对于D，设正方体棱长为，， 正方体表面积为，所以D对． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 ；边上的中线长为 . 【答案】 【解析】由于三角形ABC的三个顶点分别为，，， 则的中点坐标为，即. 由于，， 故. 故答案为：；. 13．如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 【答案】 【解析】设平面于F， 平面， ，又与平面成角， ， 与的夹角为， 又平面，平面，， 又， ， ． 故答案为：. 14．如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 【答案】 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 设平面的一个法向量为， 则，则， 所以顶点到平面的距离为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【解析】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 16．（15分） 已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【解析】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则. （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 17．（15分） 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 【解析】（1）由平面平面，可知四面体的四个面都是直角三角形， 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是. （2）因为底面，在底面内， 所以，由底面为长方形，有， 而，都在平面内， 所以平面平面，所以 又因为，点是的中点，所以，而，都在平面内， 所以平面 （3） 由题意，如图建立空间直角坐标系，设，，， 所以 当且仅当时，取得最小值. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，．以的中心为球心，为直径的球面交于点，交于点． (1)求该球体的体积． (2)求直线与平面所成的角的大小． (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）球的直径，球的半径， ； （2） 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 则，，， ，. 设（），， ， ， 是以为直径的圆上一点，， ， 解得或（舍），. 设平面的一个法向量， 则， 得， 令，则，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角为； （3）设，， ， 由，可得， 解得，， 设点到平面的距离为， ． 19．（17分） 如图，圆柱的底面半径和母线长均为4，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点（若建系，请以为坐标轴建系） (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)若，求动点的轨迹形状和长度； (3)若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置.（可用坐标表示） 【解析】（1）由题意得，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为圆柱的底面半径和母线长均为4，， 所以，，，则，， 设平面的法向量为，得到， ，令，解得，， 故平面的法向量为，易知平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则. （2）设，则，， 因为，所以，则， 化简得，即， 即动点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，轨迹长度为. （3）由已知得，， 由模长公式得， 由题意得圆的方程为，故设， 设到的距离为，而， 故当最大时，只需要保证最大即可，而， 则， ，， 故， 由点到直线的距离公式得， ， ， ， 令，则， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值，则值最大，的面积最大，此时， 由同角三角函数的基本关系得，故. 第2页，共17页 第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，若，则x的值为（   ） A．7 B．-8 C．6 D．-5 2．如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 3．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 5．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 6．已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 7．在平行六面体中，，，，则棱的长度是（    ） A． B． C． D．5 8．正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，是空间任意一点，则（    ） A．四边形EFGH是平行四边形 B．直线与是异面直线 C．直线与垂直 D． 11．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模(表示向量，的夹角)． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（    ） A． B．与共线 C． D．与正方体表面积的数值相等 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 ；边上的中线长为 . 13．如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 14．如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 16．（15分） 已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 17．（15分） 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，．以的中心为球心，为直径的球面交于点，交于点． (1)求该球体的体积． (2)求直线与平面所成的角的大小． (3)求点到平面的距离． 19．（17分） 如图，圆柱的底面半径和母线长均为4，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点（若建系，请以为坐标轴建系） (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)若，求动点的轨迹形状和长度； (3)若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置.（可用坐标表示） 第6页，共6页 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$