精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三下学期4月二模测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期04月二模测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 0或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合关系及元素与集合的关系列方程求解计算即可. 【详解】当时，由知，，又，所以，不满足集合元素的互异性； 当时，由知，，又，无解； 当时，由知，，又，无解； 当时，由知，，又，所以，所以； 综上，则2. 故选：B 2. 画条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ） A. 部分 B. 部分 C. 部分 D. 部分 【答案】B 【解析】 【分析】设画条线把圆最多分成部分，根据已知条件得到递推关系式，从而求出通项公式. 【详解】设画条直线，将圆最多分割成部分， 则，， 因此， 相加得：， 所以， 当，，符合上式，所以， 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解. 【详解】由已知得，即（）， 则.从而. 故选：A. 4. 已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助所给条件可得，，逐项计算即可得. 【详解】由，，得， 有，，，，， 所以，则， 故，，故，，是等比数列， ，故A、B、C正确，D错误. 故选：D. 5. 除以5的余数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 由此可知除以5的余数，即为除以的余数，故所求余数为. 故选：D. 6. 已知在中，对应边分别为.其周长为且，为上一点，，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标运算结合三角形的面积公式，列出方程求解即可. 【详解】如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系， 可得，，设，，故，， ，结合， 可得，， 由已知得的面积为，故， 解得，，，可得，， 由两点间距离公式得，故，显然A正确. 故选：A 7. 已知是双曲线上不同的三点，且，直线的斜率分别为.若的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线可知，两点关于原点对称，分别设出，，三点的坐标，利用点差法点差法表示出和，根据基本不等式求得取最小值时满足，计算即可求得离心率． 【详解】，原点是的中点， 不妨设,，,，,， ，，， 又，且、，都在双曲线上， ，两式相减可得： ，， ， 又，当且仅当时等号成立； ， ，故， 双曲线的离心率． 故选：C． 8. 以表示数集中的最小值，已知不全为的实数，，二元函数，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再分、两种情况讨论，即可求出的最大值. 【详解】因为，又实数，不全为，且，所以； 当时； 当，时； 当时， ①若，即，则，所以， ②若，即，所以， ③若，即，则，所以， 当时，所以， 综上，当时，； 当时，，，则， 所以， 综上可得， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分、两种情况讨论得到当时，，当时. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是一次随机试验中的两个事件，且则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相互独立事件、和事件、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，所以， ， ， 所以，即， 所以相互独立，A选项正确. 则相互独立，相互独立，相互独立， 所以 ，所以B选项正确. ，所以C选项错误. ， ， 所以D选项错误. 故选：AB 10. 已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为增函数 B. 是函数的极小值点 C. 函数必有2个零点 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意，对函数进行求导，结合，得到函数的单调性，进而可判断选项A和选项B，利用，可得，对，和这三种情况进行分析，进而可判断选项C，结合函数的单调性，将与的关系进行整理，进而可判断选项D． 【详解】， 当时，，故在上为增函数； 当时，，故在上为减函数， 故是函数的极小值点，故错误，B正确； 又，此时，若，此时函数可能有1个零点或者2个零点， 若，此时函数有且仅有一个零点， 若，此时函数没有零点，故C错误； 在上为增函数，则，即， 化简得，故D正确. 故选：BD. 11. 在长方体中，，E为的中点，点P满足，则（ ） A. 若M为的中点，则三棱锥体积为定值 B. 存在点P使得 C. 当时，平面截长方体所得截面的面积为 D. 若Q为长方体外接球上一点，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可判定A，根据线面垂直的性质定理可判定B，根据面面平行的性质定理作出截面可判定C，判断出相对外接球的位置从而求最值可判断D. 【详解】对于A：因为M为的中点，E为的中点，所以，所以面， 则P到面的距离为定值，所以体积为定值，所以A正确． 对于B：AP在平面的投影在线段上，若，又， 且，所以平面，又平面，所以， 因为四边形为正方形，所以与BE不垂直，所以B错误． 对于C：平面与平面重合，平面与平面重合，所以延长会 与直线有交点N，因为，又，所以， 即N为点E，又平面平面，所以平面和平面的交线 与平行，取中点F，则平面截长方体所得截面为矩 形，所以面积为，所以C正确． 对于D：易知长方体的外接球半径为，球心是的中点O，由，得， ，，则点P在球外，点E在球内，， 如图，建立空间直角坐标系，设，则， 所以，即， 所以，所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：立体几何中截面问题往往根据线面平行的性质定理或者面面平行的性质定理作出与各面的交线，从而得出截面. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知奇函数的定义域为R，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用函数奇偶性求得时的解析式，再利用导数求斜率即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 因为当时，， 所以当时，， 所以，， 所以曲线在点处的切线斜率为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，涉及利用函数奇偶性求函数解析式，属综合基础题. 13. 外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到,得到BC为直径,故为直角三角形,求出三边长可得的值,利用两个向量的数量积的定义求出的值. 【详解】 ,. ,B,C共线,BC为圆的直径,. ,故. 则, 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角,求出为直角三角形及三边长,是解题的关键. 14. 已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过P分别作与：和：平行的直线，交直线，于M,N，则最大值为________. 【答案】2. 【解析】 【分析】根据题意可得四边形为平行四边形，设，，，根据与的中点相同，换算出关系式，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】设，，. 则，， 由题意可知四边形为平行四边形， 所以，即 又因P为椭圆上任意一点， 所以 因为，∴， 所以由函数性质知： 当时，有. 故答案为： 【点睛】本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，设为前n项和，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用与的关系以及递推公式求出，再利用累乘法即可求得通项公式； （2）由（1）结论代入可得，利用三角函数两角差公式化简可得，再利用累加法即可求得数列的前n项和. 【小问1详解】 数列中，，为前n项和， 当时，，， 当时，①， ②， 由②-①得：，， 即， 当时，，递推可得：，，，， 由累乘法可得：， ，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，，所以： ， 所以 ； 所以数列的前n项和. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：为等边三角形，D为中点，， 又，，，平面， 平面，因平面，， 取中点G，连接， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面. 平面，， 与相交，，平面， 平面； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，由线面垂直判定定理和定义证明，取中点G，由面面垂直性质定理证明平面，由此可得，最后利用线面垂直判定定理证明平面； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线为x轴，y轴，过C且与平行的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，， 设，则 ，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，可得， 为平面的一个法向量， 取平面的一个法向量为， 则， 解得，此时， 在线段上存在点F使得平面与平面的夹角为，且. 17. 某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设“患有地方性疾病”，“卫生习惯良好”.据临床统计显示，，该地人群中卫生习惯良好的概率为. （1）求和； （2）为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定的最小值. 附表及公式： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率和全概率公式计算即可； （2）先作出样本容量提高倍后的二联表，依据公式计算卡方即可. 【小问1详解】 由题意可得：， 而 ， 【小问2详解】 不够良好 良好 总计 患有该病 未患该病 总计 ， 故. 18. 已知. （1）若的最小值为，求的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知时不满足题意，时，再令并研究其性质得，进而得； （2）令，将已知不等式等价于，进而结合的单调性得，再结合（1）当时，恒成立得，再解不等式即可得答案. 【小问1详解】 解：，定义域为， ①当时，在恒成立，单调递增， 又，故当时，，不满足题意，舍去； ②当时，由得，得， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 令，则， 令，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，当的最小值为时，即时，解得. 所以 【小问2详解】 解：由（1）知：当时，恒成立， 等价于， 又等价于. 令，则上述不等式等价于 因为恒成立， 所以，在上单调递增，. 所以等价于，即， 因为当时，恒成立， 所以，故，解得. 所以，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题第二问解题的方法在于构造函数，进而将已知不等式转化为，进而结合单调性转化求解即可. 19. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 【答案】（1）①；；②的最小值为4，. （2）证明：, 因为， 所以,, 所以. （3）最小值为，. 【解析】 【分析】（1）由的定义即可求解. （2）根据向量的新定义，,,且有，从而. （3）平面方程，可设法向量，根据新定义求出最小值. 【小问1详解】 由题可知： ,，， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 直线与交于点， 直线与直线交于点， 由图可知，当时，有最小值4. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是以为球心，1为半径的球面上的动点，不妨设， 则， 点是内部的动点，不妨设， 即， 化简得，设面ABC的法向量为， ， 易知当平面且在球心和平面之间的时候，最小， 设， ， 设，则， 是内部的动点，， 此时， 综上，时最小. 【点睛】关键点点睛：第三问，说明平面是取最小值的必要条件，进而确定且共线且平面时取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期04月二模测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 0或2 2. 画条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ） A. 部分 B. 部分 C. 部分 D. 部分 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 5. 除以5的余数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知在中，对应边分别为.其周长为且，为上一点，，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线上不同的三点，且，直线的斜率分别为.若的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 以表示数集中的最小值，已知不全为的实数，，二元函数，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是一次随机试验中的两个事件，且则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 10. 已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为增函数 B. 是函数的极小值点 C. 函数必有2个零点 D. 11. 在长方体中，，E为的中点，点P满足，则（ ） A. 若M为的中点，则三棱锥体积为定值 B. 存在点P使得 C. 当时，平面截长方体所得截面的面积为 D. 若Q为长方体外接球上一点，，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知奇函数的定义域为R，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为________. 13. 外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则______. 14. 已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过P分别作与：和：平行的直线，交直线，于M,N，则最大值为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，设为前n项和，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 17. 某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设“患有地方性疾病”，“卫生习惯良好”.据临床统计显示，，该地人群中卫生习惯良好的概率为. （1）求和； （2）为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定的最小值. 附表及公式： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知. （1）若的最小值为，求的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $