广东省汕尾市普通高中2023-2024学年高一下学期5月学科竞赛数学试题

★开封前注意保密 2024年汕尾市普通高中学科竞赛（高一) 数学试题 本试题共2页，考试时间150分钟，满分120分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改 液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、填空题（共10小题，每题5分，共50分） 1,已知a=log27,2=5,则2-26= 2.若点(2,1)既在函数y=√+b的图象上，又在它的反函数的图象上，则a+b= 3对于非空集合P,定义函数6()=：山，P 已知集合A=x0<x<2},B={xt<x< I1.xep. 2,若存在x∈R,使得∫(x)+∫(x)>0,则实数t的取值范围为 4若两个正实数，了清足+y=3,且不等式+5≥m恒成立，则实数a的最大值是 5.已知函数f八x)对任意的实数x都满足f(x+4)+f八x)=2(2),且函数y=八x-2)的图象关 于点(2,0)对称，则f八2024)= 6.已知z∈C,且z-i=2,i为虚数单位，则|z+2-3i的最大值是 7.A,B,C,D是半径为2的球面上的4个点，若AB=CD=2,则四面体ABCD体积的最大 值是 8.已知非零平面向量a,b,c满足|a=1,2b=c,且(b-a)·(c-a)=0,则b的最 小值是 9. sin 1 sin 1 sin 1 in30°sin30+sin31sin320+…+sim89,im90。 10.设a,b,c为实数，已知当-1≤x≤1时，恒有|ax2+bx+c|≤1，则2a+|b|+3|c的 最大值是 高一·数学试题第1页（共2页） 二、解答题（共4小题，11-12题，每题15分；13-14题，每题20分，共70分） 11.已知f代x)=x2+bx+1,x∈R. (I)若函数F(x)=f(x))与f(x)在x∈R时有相同的值域，求b的取值范围： (2)若方程f(x)+x2-1=1在(0,3)上有两个不同的根x1,x2,求b的取值范围， 并证明：+站<6 12.在△ABc中，设B配=a,=b,破=c,当：b_;年时，求abel 11 2 13.已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=5,a2+b2+c2+d2+e2=10,求e的取值 范围。 14,已知正三棱柱ABG-AB,G满足AB=2,M=Ah>),P为线段AB上的动点（不含 端点A,B),平面PA,C1,PB,C,与底面ABC所成二面角的平面角分别为a,B,若存在 实数M,N,使得M≤lan(a+B)<V,求Nn和Mm(用含h的式子表示) 高一·数学试题第2页（共2页）条 形 码 粘 贴 处 2024 年汕尾市普通高中学科竞赛（高一） 数学  答题卡 请在各题规定的答题区域内作答，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的答题区域内作答，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的答题区域内作答，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的答题区域内作答，超出该区域的答案无效！请在各题规定的答题区域内作答，超出该区域的答案无效！ 【高一数学  答题卡  第 1页（共 2页）】 缺考考生由监考员用 2B 铅 笔填涂右面的缺考标记。 县（市、区）：              学校：                                                 姓名：                                                    考场号：                 座位号：               正确填涂 错误填涂 考生 禁填 缺考标记 考  生  号 12.（15 分）11.（15 分） 以下为非选择题答题区（必须用黑色字迹的钢字或签字笔在指定区域内作答） 1.                               2.                           3.                               4.                           5.                               6.                           7.                               8.                           9.                               10.                           1. 答题前，考生须认真核对条形码上的姓名、考生号、 考场号和座位号，并将其横贴在“条形码粘贴处”， 然后用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的县（市、 区）、学校以及姓名、考生号、考场号和座位号填写 在指定位置，并用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。 2. 作答选择题时，必须使用 2B 铅笔将对应题目的答案 信息点涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案。 3. 作答非选择题时，必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔 书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用黑色字迹 的钢笔或签字笔描清楚。要求字体工整，笔迹清晰。 严格按题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书 写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效。 4. 保持答题卡清洁、完整。严禁折叠，严禁在答题卡上 做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带。 注  意  事  项 E04017数学.indd 1 2024/6/11 14:54:40 14.（20 分） 【高一数学  答题卡  第 2页（共 2页）】 请在各题规定的答题区域内作答，超出该区域的答案无效！请在各题规定的答题区域内作答，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的答题区域内作答，超出该区域的答案无效！请在各题规定的答题区域内作答，超出该区域的答案无效！ 13.（20 分） E04017数学.indd 2 2024/6/11 14:54:40 2024年汕尾市普通高中学科竞赛（高一) 参考答案数学 一、填空题（共10小题，每题5分，共50分） 人名 2.4 3.(0,2) 4.9 5.0 6.22+2 7.43 3 &9 9.3 10.7 二、解答题（共4小题，11-12题，每题15分；13-14题，每题20分，共70分) 1山.解：()当xeR时，函数)=+低+1的图象是开口向上，且对称轴为x=一夕的 抛物线，)的值域为4：广，+， 所以F)=》的值玻也为：，+的充要条件是：≤一宁 即b2-2b-4≥0，b≤1-5或b≥1+W5. 即b的取值范围为(-o,1-v5]U[1+V5,+0). …5分 (2)fx)+x2-1|=1,即x2+bx+x2-1|=0. 由分析知b≠0，不妨设0<x1<x2<3, [bx+1, 0<x≤1， 令H(x)=x2+x+x2-1= 2x2+bx-1,1<x<3. 因为H(x)在(0,1]上是单调函数， 所以H(x)=0在(0,1]上至多有一个解 若x1,x2∈(1,3)，即x1,x2就是2x2+bx-1=0的解， 所以名=-方<0，与题设矛盾，因此无e(0,小，专e(山，3) 由H(x)=0得6=-1，所以b≤-1： 由)=0得6=-2，所以-号<6<-1 综上，当-号<6<-1时，方程)+2-1=1在(0,3)上有两个不同的根。 …10分 由6=和6=名-2，消去6得+2. 由(1,3)，得+1<6. .......................…0 15分 12.解：设a,b,c为角A,B,C的对边长，转化数量积：a·b=ab·(-cosC)= -a2+6-c2 2 高一·数学参考答案第1页（共2页） 20,ca=-2+m2-b2 类似地转化，b·c=-+c2-a2 2 …5分 因此根据条件得02+-c_}+c2-a-C+a2-& 2 =k, 4 8 所以a2=5k,b2=3k,c2=6k.10分 故a:|b:c=5:5:6.…15分 13.解：由a2+2+c2+2+e2联想到应用柯西不等式 因为4(a2+b2+2+)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d)≥(a+b+e+d)2,…5分 即4(10-e2)≥(5-e)2,…10分 40-4e2≥25-10e+e2, 即e2-2e-3≤0，所以(e+1)(e-3)≤0，…15分 故-1≤≤3.…20分 14.解：设PA=x(0<x<2),点P在AC,BC上的投影分别为D,E,点D,E在AC,B,C 上的投影分别为D,E,由三垂线定理可知PD,⊥AC,故PD,⊥A,C1,又平面ABC∥平 面A,B,C1,于是∠DPD,=a 同理可得∠EPE,=A因为P=,P=B?。 2 所以tana= DDh 2h 。EE,h DP tan B=EP 2h …5分 3x√3x 3(2-x）3(2-x) 2 2h 2h 于是tan(ax+B)= 5x3(2-x) 43h 45n 43h 1-2h 2h 3x(2-)-4折产3+2=-4 3-4h2, 3x3(2-x) 2 10分 43h 当x=1时，等号成立，则an(a+B)m=3-4, 43h 因此M=3-4h 15分 因为m(a+B2-)-<-月 43h -层且当x0'或x2时，m(a+B）一- h 所以Nn=- h 20分 高一·数学参考答案第2页（共2页） 答案详解 1.【答案】召 【解析】因为a=log7,2=5, 所以2*=7,2-24(22=7*5°=5 2.【答案】4 【解析】由已知，(2,1)在原函数y=√ax+b的图象上，所以√2a+b=1→2a+b=1. 又因为(2,1)在反函数的图象上，所以(1,2)必然在原函数的图象上，所以√a+b 2a+b=1, =2→a+b=4,联立 a+b=4, 解得=3， →a+b=4. 1b=7 3.【答案】(0,2) 【解析】由题知(x)+∫(x)可取±2,0， 若f(x）+f(x)>0,则f(x)+fn(x)=2, 即集合AnB≠②.得<2、即0<1<2，故1的取值范围为0,2. 21>0, 4.【答案】9 【解析】因为两个正实数x,y满足x+y=3,则(x+1)+y=4, 故+9+x+1)+1=六++5≥24D+5 x+l y 9,当且仅当x=子了=时取等号。 因为不等式，+≥相成立，所以m≤(+ ）,故m≤9. 5.【答案】0 【解析】函数∫(x)对任意的实数x都满足(x+4)+八x)=2八2)， 则f2)+f八-2)=2(2)，∴f(-2)=f(2). 又因为函数y=八x-2)的图象关于点(2,0)对称， 所以函数f(x)的图象关于原点对称，故f八x)为奇函数，故f代-x)=-f代x), ∴.f八-2)=-f八2)，∴f(2)=0,即f八x+4)+f(x)=0, 即fx+4)=-f八x),fx)=f(x+8), 故(x)是周期为8的周期函数 则f(2024)=f(253×8)=f(0)=0. 6.【答案】22+2 【解析】设x=x+yi(x,y∈eR),由|z-i=|x+(y-1)i=2, 则√x2+(y-1)2=2→x2+(y-1)2=4,表示的是圆心为(0,1)，半径为2的圆. 高一·数学答案详解第1页（共3页） 而z+2-3i=|(x+2)+(y-3)i=√(x+2)2+(y-3)2,表示的是圆上一点到(-2， 3)的距离， 显然最大距离是(-2,3)到圆心(0,1)的距离加上半径长， 即最大值为√(-2-0)2+(3-1)2+2=22+2. 7【答】 【解析】设AB与CD间的距离为d,夹角为a. 取AB的中点M和CD的中点N,则d≤MN≤OM+ON=2√3， 故四面体CD的体积V=石·B:Dd:血0e4点、当1CD且M,N连线过球心 时等号成立 8【答案】 【解析】如图，令AC=a,Ad=b,A店=c,则b-a=Ci,c-a=C 已知(b-a)·(c-a)=0.即CD·CB=0,所以CD⊥CB. 取BD的中点0，则有0C=2BD=2b-c, 而O1=b+c,根据三角形的三边关系可知01+0C≥AC, 则2b+c+1b-c≥a=1,所以b+c+b-c≥2，当A,0,C三点共线时取 等号 记向量b,c的夹角为0，则|b+c|=√(b+c)2=√5b+4bcos0=b|5+4cos0. 同理b-c=b1√5-4cos0, 由|b+c+|b-c|≥2，可得|b|(√5+4cos0+5-4cos0)≥2， 2 4 则b≥5+4s0+5-4os9 10+2W25-16c082010+2√25=5 当cos0=0,即b⊥c时取等号 所以b≥5，即61的最小值是要 9.【答案】3 1.sin((n+1)°-n°) 【解析】因为inn°·sin(n+l)osin 1o·sin nsin(n+)° 高一·数学答案详解第2页（共3页） =,1.sin(n+1)°cosn°-cos(n+1)sinn sin 1o sin nsin(n+1) 1 「cosn°cos(n+1)°1 1「1 sin1o 【sinn°sin(n+1)可-sin1 tan ntan(n+l)可， 所以， sin 1 sin 1 以sin30sin31o+sin31sin320++专 sin 1 'sin 89sin 90 1 1 -an30°am31o+an319an320+… 1-c0s90°-1 tan89°sin90。an300=v3 10.【答案】7 【解析】设f(x)=ax2+bx+c, 由a=t(a+6+ce)+(a-b+e)]-c=1)+f-1)]-0), b=[(a+6+c)-(a-b+c)]=21)--1)], c=f(0), 可知 21a+b+31e=22)+-1]-f)+2)--1)1+3o1 ≤2)+-)l+)--)+5o 若f(1)+f(-1)与f(1)-f八-1)同号， 则2lf1)+f(-1)|+f1)-f-1) =|2[f1)+f(-1)]+[f1)-f-1)] =3f(1)+f-1)≤4： 若f1)+f八-1)与f八1)-f(-1)异号， 则2f(1)+f(-1)|+f1)-f-1) =12[f1)+f-1)]-[f1)-f-1)]| =3f-1)+f1)≤4. 故2a+bl+3c≤3x4+5o)l≤7. 当a=2,b=0,c=-1时，2|a+|b|+3c|=2×2+0+3=7,且x≤1→-1≤2x2- 1≤2·12-1=1.故2a+b+3c的最大值为7. 高一·数学答案详解第3页（共3页）