广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高一下学期竞赛数学试题

汕头市潮阳实验学校 2023-2024 学年度第二学期 高一数学竞赛试题 考试时问:60分钟 （2024.6.19 18:50—19:50） 满分:100分 一、填空题(每小题 8 分, 共 64 分) 1. 设复数 满足 ，则 . 2. 已知 中， 分别为边 上的点，且 与 的交点为 ，若 ，则 . 3. 若 为正实数，且 恒成立，则实数 的最小值为 . 4. 已知三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ，则该三棱锥的内切球的半径为 . 5. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的 倍角公式，即 , ，则 . 6. 已知 ，且 ，则 . 7.一个正整数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个正整数为 “P 数”. 现从 中任取 1 个数，取到“P 数”的概率为 . 8. 棱长为 的密闭正四面体容器内，装有体积为 的水，翻转容器，使得水面至少与 2 条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为_______ . 二、解答题(16 分+20 分= 36 分) 9. 在 中， . （1）求角 的大小； （2）求 的取值范围. 10. 在数学中， 双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数： ，双曲余弦函数； . ( 是自然对数的底数， ). （1）计算 的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ___，并加以证明； （3）若对任意 ，关于 的方程 有解，求实数 的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$