广东省广州市白云区2023-2024学年高一下学期数学强基竞赛（决赛）试题

第 1页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024学年白云区数学强基竞赛（决赛）试题 高一数学（参考答案） 本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用 2B 铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不 按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．（必修一第一章第 13页练习 3改编）若全集U，集合 ,A B及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示 为（ ） A．  BACU  B．  BACU  C．  BACU  D．  BCA U 答案：C 解析：图中阴影表示的集合的元素属于集合 B，但是不属于集合 A． 2.（必修二第七章第 81 页第 7 题改编）已知 3 2i  是关于 x的方程 22 0x px q   的一个根，则 q p  （ ） A. -5 B. -1 C. 12 D.14 【答案】 D 【解析一】∵ 3 2i  方程 22 0x px q   的一个根，∴    22 3 2 3 2 0i p i q       即    10 3 2 24 0p q p i     ∴ 10 3 0 2 24 0 p q p       ，解得 12 26 p q    【解析二】用实系数二次方程根成对出现，结合韦达定理求解。 3．（必修一第一章第 35页复习参考题 1第 11题改编）学校举办运动会时，高一（1）班共有 28名同学参 第 2页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 加游泳、田径、球类三项比赛，有 15人参加游泳比赛，有 8人参加田径比赛，有 14人参加球类比赛，同 时参加游泳比赛和田径比赛的有 3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3人，没有人同时参加三项比赛， 则只参加游泳一项比赛的有（ ） A．3人 B．6人 C．9人 D．10人 答案：C 【分析】运用韦恩图分析问题. 【详解】由题意只参加游泳比赛的人数 15 3 3 9    ；故选：C. 4．（必修二第九章第 225页第 9题改编）一家水果店的店长为了了解本店苹果的日销售情况，记录了过去 100天苹果的日销售量（单位：kg）按[ )50,60 ，[ )60,70 ，[ )70,80 ，[ )80,90 ，[ ]90,100 分为 5组，并绘制出 频率分布直方图，如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 0.015a= B. 估计这 100 天中苹果日销售量的90%分位数为 85 C. 这 100 天中苹果日销售量的平均数为 75 D. 若采用分层随机抽样从苹果日销售量在[ )50,60 ，[ ]90,100 内的天数抽 取 8 天，则抽取的这 8 天的苹果日销售量在[ )50,60 的天数为 6. 答案：C 解析：对于 A选项，由 ( 0.035 0.035 0.010 0.005) 10 1a+ + + + ´ = ，解得 0.015a= ，A 正确. 对于 B 选项，设这 100 天中苹果日销售量的90%分位数为 m，则 (0.015 0.035 0.035) 10 0.010 ( 80) 0.9m+ + ´ + ´ - = ，解得 85m= ，B 正确. 对于 C 选项，这 100 天中苹果日销售量的平均数为 55 0.15 65 0.35 75 0.35 85 0.10 95 0.05 70.5´ + ´ + ´ + ´ + ´ = ，C 错误. 对于 D选项，根据频率分布直方图可得抽取这 8 天的苹果日销售量在[ )50,60 的天数为 0.015 108 6 0.015 10 0.005 10 ´ ´ = ´ + ´ ，D正确. 5．（必修一第五章第 212 页例 6 改编）已知函数 π( ) tan( 3 ) 2 f x x  ，则（ ） A． ( )f x 的最小正周期是 4 B． ( )f x 的定义域是{ | 4 , Z} 3 1x x k k   C． ( ) 3f x  的解集是 { | 2 , }x x k k Z  D． ( )f x 在 1 7( , ) 3 3 上单调递增 答案：D 对于 A,. 第 3页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 设 π π 2 3 z x  ，又 tan( π) tanz z  ， 所以 π π π πtan π tan 2 3 2 3 x x                ， 即  π π π πtan 2 tan 2 3 2 3 x x            . 因为 12 , 3 x x x k k         Z 都有  π π π πtan 2 tan 2 3 2 3 x x            ， 所以，函数的周期为 2, A 错 对于 B,自变量 x 的取值应满足 π π ππ 2 3 2 x k   ， kZ， 即 12 3 x k  ， kZ . 所以，函数的定义域 12 , 3 x x k k       Z B 不正确 对于 C,当由 ( ) 3,f x  得， 5, 2 2 , 2 2 3 3 3 k x k k x k k Z               时，可得 ( ) 3,f x  的解集是 5{ | 2 2 , } 3 x k x k k Z     ，所以 C 不正确； 对于 D，由 π π π ππ π 2 2 3 2 k x k      ， kZ解得 5 12 2 3 3 k x k     ， kZ . 因此，函数在区间 5 12 , 2 3 3 k k       ， kZ上都单调递增.当 1k  时，成立。D正确 故选：D. 6．（必修二第六章第 52页习题 6.4第 1题改编）已知非零向量 AB  与 AC  满足 0 AB AC BC AB AC                ，且 1 2 AB AC AB AC       ，则向量CA  在向量CB  上的投影向量为（ ） A． 3 2 CB  B． 1 2 CB  C． 3 2 CB  D． 1 2 CB  答案：B 解析：因为 | | AB AB   和 AC AC uuur uuur 分别表示向量 AB  和向量 AC  方向上的单位向量， 由 0 AB AC BC AB AC                ，可得 A 的角平分线与 BC垂直， 第 4页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 所以 ABC 为等腰三角形，且 AB AC ， 又 1 2 AB AC AB AC       ，得 1cos 2 AB AC AB AC AB AC          , ，所以 1cos , 2 AB AC    ， 又  , 0, πAB AC    ，所以 π 3 A AB AC    , , 所以 ABC 为等边三角形， 所以向量CA  在向量CB  上的投影向量为 2 2 1 | | 12 2| | CBCB CA CB CB CB CBCB CB             . 7．（必修一第五章第 240 页第 1 题改编）已知函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图 所示，若将函数  f x 的图象向右平移 π 6 个单位，得到函数  g x 的图象，则（ ） A． π( ) sin 2 3 g x x      B． π( ) sin 2 6 g x x      C． ( ) sin 2g x x D． π( ) sin 2 6 g x x      【答案】C 【分析】利用函数图象可求出  f x 的解析式为 π( ) sin 2 3 f x x      ，再根据平移规则可得 ( ) sin 2g x x . 【详解】由图象可知， 3 3π 5π π 4 2ω 6 12 T = = - ，解得ω 2= ； 由振幅可知 1A  ； 将 5π ,0 6       代入可得 5π 5πsin 2 0 6 6 f A               ，又 π 2   ，即可得 π 3 = ， 因此 π( ) sin 2 3 f x x      ， 易知 π π π( ) ( ) sin 2 sin 2 6 6 3 g x f x x x÷ç= - = - + =÷÷ç ç ÷÷çç ÷ ， 故选：C. 8．（必修一第四章第 161页第 11题改编）已知函数 )(2)1ln()( 32 xgxxxxf ， 是定义在 R上的偶 函数，且 )(xg 在 ]0，（  上单调递增，则下列判断正确的是（ ） 第 5页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 A． |)(|)( xgxf  是偶函数 B． )(|)(| xgxf  是奇函数 C． ))2024(())2023(( gfgf  D． ))2024(())2023(( fgfg  【答案】D 【详解】易知 2 1 0x x   恒成立，所以  f x 的定义域为R， 因为 lny t 单调递增， 2 1t x x   在  0,  上单调递增， 所以  2ln 1y x x   在  0,  上单调递增， 又 3y x 在 0,  上单调递增，所以  f x 在 0,  上单调递增. 因为        2 3 2 3ln 1 2 ln 1 2 0f x f x x x x x x x           ， 所以  f x 为奇函数，所以函数  f x 在  ,  上单调递增． 因为  g x 是定义在R上的偶函数，且在  , 0 上单调递增， 所以  g x 在 0,  上单调递减． 选项 A：因为        f x g x f x g x      ，所以    f x g x 是奇函数，A正确； 选项 B：因为        f x g x f x g x     ，所以    f x g x 是偶函数，B错误； 选项 C：因为    2023 2024g g ，所以      2023 2024f g f g ，所以 C错误； 选项 D：因为      0 0 2023 2024f f f   ， 所以      2023 2024g f g f ，D正确． 故选：D 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对按能力得分，有选错的得 0分． 9．（必修二第 61页第 13题第（4）题改编）下列说法正确的有（ ） A. 已知  1,2a    ，  2,b x  ，若 a b   ，则 1x  B. 已知 0b    ，若 a b∥   ，b c∥   ，则 a c∥   C. 若 a b   ，则 a  一定不与b  共线 D. 若  3,1AB   ，  1,AC m m   ， BAC 为钝角，则实数m的范围是 3 4 m  【答案】A、B 第 6页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 解：对于 A，根据向量垂直的充要条件  1 2 2 0b xa        ，解得 1x  ，故 A正确； 对于 B，因为有 0b    条件，若a b∥   ，b c∥   ，则根据两个向量的共线定理，当 0a   或 0c   时，a c∥   显 然成立；当 0a   且 0c   时，则存在唯一的实数 ,  ，使得 a b r r = ， c b   ，则 a c      ，所以 a c∥   . 故 B正确 对于 C， a b   ，没有限制两个向量的方向，所以 a  可以b  共线，故 C错误； 对于 D， BAC 为钝角，则 0AB AC    ，且 AB  与 AC  不反向，即  3 1 0m m   ，且  3 1 0m m   ， 得 3 4 m  且 1 2 m   .故 D错误. 故选：A、B. 10．（必修二第八章第 170 页复习参考题 8 第 10 题改编）如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 则（ ） A．直线 1BC， BD为异面直线，且两直线的夹角是 060 。 B． 1BC 与平面 1BCD 所成角大小为60 C．平面 1A BD与平面 ABD所成二面角的正切值为 2 2 D．平面 1ACD 与平面 1BCD 所成二面角的余弦值为 6 3 【答案】AD 【分析】【详解】对于 A：因为 1AD 1//BC ,异面直线 1BC，BD所成角就是 1AD与 BD所成角。而三角形 1A BD 为等边三角形，所能两直线的夹角是 060 ，所以 A答案正确。 对于 B：设 1 1DC DC E ，连接 BE，因为 1DC 平面 1BCD ， 所以 1C BE 即为直线 1BC 与平面 1BCD 所成角，又 1 1 1 1sin 2 ECC BE BC    ， 所以 1 30C BE   ，即直线 1BC 与平面 1BCD 所成角为30，故 B错误； 第 7页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 对于 C：平面 1A BD与平面 ABD所成二面角的正切值为 2 ，扭以 C错 对于 D：设 1 1DC DC E ，取 1BD 的中点 F ，连 AF， EF ， AE， 则 //EF BC， 1AE DC ，又BC 平面 1 1CDDC ， 1DC 平面 1 1CDDC ， 所以 1DC BC ，所以 1DC EF ，所以 AEF 为平面 1ACD 与平面 1BCD 所成的角， 又 1 1 2 2 EF BC  ， 2 2 2 1 1 61 2 2 2 AE               ， 2 2 21 1 1 3 2 2 2 2 AF                     ， ∴ 2 22 2 2 2 6 1 3 2 2 2 6cos 2 36 12 2 2 AE EF AFAEF AE EF                        ， 所以平面 1ACD 与平面 1BCD 所成二面角的余弦值为 6 3 ，故 D正确； 故选：AD 11．（必修一第四章第 160 页第 4 题改编） 已知函数   2 2 3, 0 2 ln , 0 x x x f x x x          ，求使若关于 x 的方程      2 2 2 0f x a f x a    ,下列说法正确的是（ ）（ ） A. 方程有 6 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为    1,2 2,3 B. 方程有 5 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 ( 4a  ，-3] C. 方程有 4 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 3a  （ ， ） D. 方程有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 a （ ，-4） 【答案】BD 【解析】 【分析】因为      2 2 2 0f x a f x a    ，所以 ( ) 2f x  或 ( )f x a ，只需解决 ( )f x 的图象与直线 y a 的交点问题，据此即可求解. 第 8页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】因为      2 2 2 0f x a f x a    ， 所以 ( ) 2f x  或 ( )f x a ， 如图 ( )f x 的图象与直线 2y  有 2个交点， 因为关于 x的方程      2 2 2 0f x a f x a    最多有 5个不同的实数根，，所以 A答案错误。 因为关于 x的方程      2 2 2 0f x a f x a    有 5 不同的实数根， E. 以 ( )f x 的图象与直线 2y  和直线 y a 有 5个不同的交点，所以只需 ( )f x 的图象与直线 y a 有 3个交 点，所以实数 a的取值范围为 ( 4a  ，-3]所以 B正确. 因为关于 x的方程      2 2 2 0f x a f x a    有 4 不同的实数根， 以 ( )f x 的图象与直线 2y  和直线 y a 有 4个不同的交点，所以只需 ( )f x 的图象与直线 y a 有 2个交点， 所以 4a   ， 3a   且 2a  所以 C错误。. 因为关于 x的方程      2 2 2 0f x a f x a    有 3 不同的实数根， 以 ( )f x 的图象与直线 2y  和直线 y a 有 3个不同的交点，所以只需 ( )f x 的图象与直线 y a 有 1个交点， 所以 4a   .所以 D正确。 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于因为      2 2 2 0f x a f x a    ，所以 ( ) 2f x  或 ( )f x a ，只需 ( )f x 的图象与直线 y a 的交点个数进行分析. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．（必修一第四章第 120 页第 9 题）已知函数   | |1 2 x f x a b      的图象过原点，且无限接近直线 2y  但 又不与该直线相交，求该函数的解析式__________ 答案: 2) 2 1(2  xy 解析：依题意得 2b  ,而 (0) 0f a b   ，则 2a   第 9页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 13．（必修二第八章第 144 页习题 8.5 第 12 题改编）正四棱柱底面边长为 2，高为 3；若有以底面一顶点为 球心，作半径为 22 的球，求正四棱柱表面与球面的交线长为 . 【答案】 ）（ 22  【解析】以 O 为球心，半很为 22 的球过底面对角线的 A 点， y 轴 上（0，，0， 22 ）及（2，0，2）及（0，2，2）点，所以与 正 四面体的正前面的交线是大圆的一部分，圆心角为 4  ，交线长 为 2 2 ，同理左面交线长也为 2 2 ，右平面与圆的交线是一个 小 圆，因为截面不过圆心，所以截面是小圆的一部分，而过球心作平面的垂线就是 X 轴，所以球心到小圆圆 心距为 2，小圆半径为 2，圆心角为 2  ，交线长为 ，同理后面与球的交线也是 ，上表面到球心距离大于 球半径，所以上表面与球没有交点，而下底面除 A 点外都在球内部，也没有交线，所以交线长为 2 2 + 2 2 + + = ）（ 22  14．（必修二第九章第 213 页例 6 改编）在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的 分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生 20 人,其平均数和方差分别为 170和 13,抽取了女 生 30 人,其平均数和方差分别为 160和 40.根据这些数据请计算出总样本的方差为 。 解:把男生样本平均数记为�,方差记为��2;把女生样本平均数记为�,方差记为��2;把总样本数据的平均数 记为�,方差记为�2，根据分层数据方差计算公式可得. �2 = 1 50 �=1 20     �� − � 2 + �=1 20    (�− �)2 + �=1 30     �� − � 2 + �=1 30    (�− �)2 = 1 50 20 ��2 + (�− �)2 + 30 ��2 + (�− �)2 . 由�= 170.5, �= 160.5,根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系,可得总 样本平均数为 � = 20 20 + 30 �+ 30 20 + 30 � = 20 × 170 + 30 × 160 50 = 164 把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代人,可得�2 = 1 50 20 × 13 + (170 − 164)2 + 30 × 40 + (160 − 164)2 = 53.2. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题 13分）（必修一第五章第 255页 22题，205页例 5改编） 已知函数 第 10页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 2 3( ) 3 cos (2sin cos ) 3 f x x x x m   在区间 0, 2      上的最小值为 3， （1）求常数m的值；求函数 ( )f x xR时的最大值，以及相应 x的集合； （2）求函数 ( ), [0,2 ]y f x x   的单调递增区间. 解：（1） 2 3( ) 3 cos (2sin cos ) 3 f x x x x m   23 sin 2 2cosx x m   ..............................1 分 3 sin 2 1 cos2x x m    （注：降幂公式对一个得 1 分，两个也是 1 分） 2sin 2 1 6 x m        ..............................2 分（合一无误得 2分，前面没有写） 0, 2 x      72 , 6 6 6 x          1 sin 2 1 2 6 x       „ „ ..............................3 分 所以函数 ( )f x 的最小值为 1 1 3m    ， 3m  ，（注：无范围表达，写出最小值扣 1 分） 得 ( ) 2sin 2 4 6 f x x        ，.......................4 分 当 xR 时，函数 ( )f x 的最大值为 6，..............................5 分 此时 2 2 6 2 x k     ，解得 6 ( )x k k Z    .............................6 分 当 xR 时，函数 ( )f x 的最大值为 6，相应 x的集合为 | , 6 x x k k Z        .............................7 分 （注：没写成集，这 1分不给） （2）由(1)可得 ( ) 2sin 2 4 6 f x x        ∵ 2 2 2 2 6 2 k x k       由 ( )kZ ...................8 分（注：没有等号也给 1分） ∴ 3 6 k x k      ( )kZ .............................9 分（注：只要解出来就给 1分，端点错 一个也 0 分） 第 11页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 当 0k  ： [0, ] [0, 2 ] 6 x    ；..................10 分 当 1k  ： 2 7[ , ] [0,2 ] 3 6 x     ；..................11 分 当 2k  ： 5[ ,2 ] [0,2 ] 3 x     ..................12 分（注：每解对一个得 1 分，错一个扣 1分） ∴ ( ) 2sin 2 4 6 f x x        [0,2 ]x  的单调递增区间为：[0, ] 6  和 2 7[ , ] 3 6   和 5[ ,2 ] 3   .......13 分 （注：用或与并的都不得分） 16．（本题 15分）（必修二第六章第 54 页练习 22 题改编）. 在 ABC 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 a， b， c，设  2 cos cosb c a B C   . （1）求角A； （2）若BD DC   ，且 2AD  ，求 ABC 面积的最大值. 解（1）：因为  2 cos cosb c a B C   ，由正弦定理得：  sin sin 2sin cos cosB C A B C   ，...................2 分（注：正弦化为角或余弦化为边都得 2 分） 但化简中有角、还有边则不得分。） ∴      sin sin 2sin cos cosA C A B A B C     ，........3 分（注：关键是化为齐次 1分 所以 sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cosA C A C A B A B A B A C     整理得， cos sin cos sin sin cos sin cosA C A B A B A C   ， 即 cos sin sin cos sin cos cos sinA C A C A B A B   所以    sin sinC A A B   ，又  π, πC A   ，  π,πA B   ............4 分（注：结果正确得 1分） 所以C A A B   或者 πC A A B    （舍）或者 πC A A B     （舍）， 所以 2C B A  ，又 πA B C   ，所以 π 3 A  ；........................7 分（注：讨论说理正确得 3 分，但要合理的排除另外 2 种，没有排除各扣 1分） 解（2）：在 ABC 中，由余弦定理得： 2 2 21cos 2 2 b c aA bc     ， 得 2 2 2b c a bc   ，①..............................9 分（注：只要化正确就给 1分） 第 12页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 又因为 BD DC   ，所以 2 aBD DC  ，且 πADB ADC   ， 即 cos cos 0ADB ADC    ，△ADB和△ADC中， 由余弦定理得 2 2 218 2 b c a   ，②...............................11 分 联立①②消去 2a 得 2 2 1616 2 3 b c bc bc bc      （当且仅 4 3 3 b c  时等号成立................13 分 （注：没有写出等号成立条件扣 1 分） 所以 ABC 的面积 1 3 4 3sin 2 4 3 S bc A bc   . 所以 ABC面积最大值为 4 3 3 ...............................15 分（注：只要写对就得 2 分） 17．（本题 15分）（必修一第二章第 48页习题 2.2第 1题改编）设 2 (1 ) 2y mx m x m     ． (1)若不等式 2y   对一切实数 x恒成立，求 2 2 5 1 m m m    的最小值； (2)解关于 x的不等式 2 (1 ) 2 1mx m x m m      ． (1) 1 , 3    最小值为 4 (2)答案见解析 【分析】（1）分 0m  和 0m  讨论，当 0m  时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； 变形为 41 1 m m    ，利用基本不等式求解可得； （2）整理得 ( 1)( 1) 0mx x   ，根据二次系数是否为 0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论 即可. 【详解】（1）由 2y   恒成立得： 2 (1 ) 0mx m x m    对一切实数 x恒成立. 当 0m  时，不等式为 0x  ，不合题意； .....................1 分 当 0m  时，  2 2 0 Δ 1 4 0 m m m       ，解得： 1 3 m  ； ..........................2 分 综上所述：实数 m的取值范围为 1 , 3    ..............3 分（注：第二步不求解，直接写出也 2分） 1 3 m  ， 41 3 m   ， .............................4 分 2 22 5 ( 1) 4 4 41 2 ( 1) 4 1 1 1 1 m m m m m m m m m                  ， （当且仅当 41 1 m m    ，即 1m  时取等号）........6 分（注：不管是否换元，无等号成立条件扣 1分） 第 13页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 ， 2 2 5 1 m m m     的最小值为 4．.............7 分 （2）由 2 (1 ) 2 1mx m x m m      得： 2 (1 ) 1 ( 1)( 1) 0mx m x mx x       ；.............8 分（注：写了 给分，不写不扣分） ①当 0m  时， 1 0x   ，解得： 1x  ，即不等式解集为 ( ,1) ； ................9 分 ②当 0m  时，令 2 (1 ) 1 0mx m x    ，解得： 1 1x  ， 2 1x m   ； ................11 分 1）当 1 0 m   ，即 0m  时，不等式解集为 1 ,1 m      ； ................12 分 2）当 10 1 m    ，即 1m   时，不等式解集为 1, (1, ) m          ； ................13 分 3）当 1 1 m   ，即 1m   时，不等式可化为 2 22 1 ( 1) 0x x x     ， 1x  ，不等式解集为 ( ,1) (1, )   ； ................14 分 4）当 1 1 m   ，即 1 0m   时，不等式解集为 1( ,1) , m          ；．..................15 分 （注：每一类给 1 分，要求解成集合或区间），如果在每小类中不写，最后写综上所述每一类再写一次用集 合或区间得全部分，如果没有写只写成不等式，总共扣 2分。 18．（本题 17 分）（注意：本题用空间向量求解得 0 分） （必修二第八章第 152 页例 4、第 165 页习题 8.6 第 21 题改编）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA底面 ABCD，PA AB ，E 为线段 PB的中点， F 为线段 BC上的动点 （1）平面 AEF与平面 PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由； （2）若直线PD与平面 AEF 平行，请确定点F 的位置； （3）求直线PB与平面PDC所成角的大小． 【解析】 （1）平面 AEF与平面PBC互相垂直 ......................1 分（注：不回答不给分，后面答也不给 这 1 分） 证明如下： PA  底面 ABCD，BC 平面 ABCD， PA BC  ...................................2 分 第 14页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 底面 ABCD为正方形， AB BC  ，而 PA AB A . BC 平面 PAB AE  平面 PAB， BC AE  . ..................................3 分 PA PB ， E为线段PB的中点， AE PB  .而 PB BC B  , AE 平面 PBC ..................................4 分（注：一个垂直 1分， 相交 1分，缺少一个条件扣 1分） AE  平面 AEF， ∴平面 AEF 平面 PBC ................................5 分 （2）连接 BD交 AF 于点M ，连接 EM ................................6 分 / /PD 平面 AEF， PD平面 PBD，平面 AEF 平面 PBD EM / /PD EM .................8 分（注：没有线面平行，扣 2分） E 为线段 PB的中点， M 为线段BD的中点 ....................................9 分  / /AD BC AMD FMB   BF AD  ....................................10 分 ∴若直线 PD与平面 AEF平行，点 F 与点C重合 .....................11 分 （3）由已知条件可得，四棱锥P ABCD 是正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的一部分， 如图所示，点 P与点 1A重合 .............................11 分 连接 1BC ， 1BC， 1BC 与 1BC相交于点O，连接 PO . 设正方体的棱长为 a . CD  平面 1 1BCC B . ∴ 1CD BC . 又 1 1 1,BC BC CD BC C  ， ∴ 1BC 平面 1PDCB ...........................13 分 ∴ PO为斜线 PB在平面 PDC上的射影， BPO 为 PB和平面PDC所成的角.................................14 分（注：没有证明是线面角的 过程扣 3 分，） 在 Rt PBO 中， 2PB a ， 2 2 BO a ∴ 1 2 BO PB ∴ 30BPO   ...............................16 分 ∴直线 1A B和平面 1 1ADCB 所成的角为 30° .......17 分（注：如果没有作图和证明，只有计算得 3 分） 第 15页/共 15页 学科网（北京）股份有限公司 19.（本题 17 分）(必修一第四章第 161 页第 12 题改编)设函数 1 2 2)(  x x axf ( a为实数). （1） 当 0a 时，求方程 2 1|)(| xf 的实数解； （2） 当 1a 时， （ⅰ）存在 ]2,1[t 使不等式 0)2()2( 22  ktfttf 成立，求 k的范围； （ⅱ）设函数 bxxg  2)( 若对任意的 ]1,0[1x ，总存在 ]1,0[2 x 使 )()( 21 xgxf  ，求实数b的取值范围. 【答案】(1) = 1x  或 2 3log 2 x  (2)（ⅰ） (3, ) ；（ⅱ） 3[ , 1] 2   【详解】（1）当 0a  时， ( ) 2 1xf x   ， ...............1分 则 1| ( ) | 2 f x   12 1 2 x    或 12 1 2 x    = 1x  或 2 3log 2 x  . ................3分（注：只计算正确得 3 分） （2）当 1a   时， 1( ) 2 1 2 x xf x    . ................4分 因为 2xy  在 ( , )  上单调递增， 1 2x y  在 ( , )  上单调递减， 所以 1( ) 2 1 2 x xf x    在R 上单调递增. ..............6分（注：判断出函数单增不得满分） （ⅰ）因为存在 [1, 2]t ，使不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    成立， 所以 2 2( 2 ) (2 )f t t f t k   ，所以 2 22 2t t t k   ，所以只需  2 min2k t t  ，.....8分（注：写出等价条件得 2 分） 又当 [1, 2]t 时，  2 min 2 3t t  ，所以 3k  ，即 k的取值范围为 (3, ) . ................10分 （ⅱ）当 [0,1]x 时， ( ) 2g x x b  的值域为 [ , 2 ]b b ； ................11分 当 [0,1]x 时， 1( ) 2 1 2 x xf x    的值域为 1[ 1, ] 2  . ................13分 因为对任意的 1 [0,1],x  总存在 2 [0,1],x  使 1 2( ) ( )f x g x ， ................14分（注：不写不扣分） 所以 11, [ , 2 ] 2 b b      ，所以 1 12 2 b b       ，解得 3 1 2 b    ， ................16分 所以实数b的取值范围为 3[ , 1] 2   . ................17分 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024学年白云区数学强基竞赛（决赛）试题 高一数学 本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟． 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．若全集U，集合 ,A B及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（ ） A．  BACU  B．  BACU  C．  BACU  D．  BCA U 2.已知 3 2i  是关于 x的方程 22 0x px q   的一个根，则 q p （ ） A. -5 B. -1 C. 12 D.14 3．学校举办运动会时，高一（1）班共有 28名同学参加游泳、田径、球类三项比赛，有 15人参加游泳比 赛，有 8人参加田径比赛，有 14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3人，同时参加游泳 比赛和球类比赛的有 3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有（ ） A．3人 B．6人 C．9人 D．10人 4．一家水果店的店长为了了解本店苹果的日销售情况，记录了过去100天苹果的日销售量（单位：kg）按 [ )50,60 ，[ )60,70 ，[ )70,80 ，[ )80,90 ，[ ]90,100 分为 5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结 论错误的是（ ） A. 0.015a= B. 估计这 100 天中苹果日销售量的90%分位数为 85 C. 这 100 天中苹果日销售量的平均数为 75 D. 若采用分层随机抽样从苹果日销售量在[ )50,60 ，[ ]90,100 内的天数抽 取 8 天，则抽取的这 8 天的苹果日销售量在[ )50,60 的天数为 6. 5．已知函数 π( ) tan( 3 ) 2 f x x  ，则（ ） A． ( )f x 的最小正周期是 4 B． ( )f x 的定义域是{ | 4 , Z} 3 1x x k k   C． ( ) 3f x  的解集是 { | 2 , }x x k k Z  D． ( )f x 在 1 7( , ) 3 3 上单调递增 6．已知非零向量 AB  与 AC  满足 0 AB AC BC AB AC                ，且 1 2 AB AC AB AC       ，则向量CA  在向量CB  上的投影向 量为（ ） A． 3 2 CB  B． 1 2 CB  C． 3 2 CB  D． 1 2 CB  7．已知函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图所示，若将函数  f x 的图象向右平 移 π 6 个单位，得到函数  g x 的图象，则（ ） A． π( ) sin 2 3 g x x      B． π( ) sin 2 6 g x x      C． ( ) sin 2g x x D． π ( ) sin 2 6 g x x      A． |)(|)( xgxf  是偶函数 B． )(|)(| xgxf  是奇函数 C． ))2024(())2023(( gfgf  D． ))2024(())2023(( fgfg  8．已知函数 )(2)1ln()( 32 xgxxxxf ， 是定义在 R上的偶函数，且 )(xg 在 ]0，（  上单调递增， 则下列判断正确的是（ ） 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对按能力得分，有选错的得 0分． 9．下列说法正确的有（ ） A. 已知  1,2a    ，  2,b x  ，若 a b   ，则 1x  B. 已知 0b    ，若 a b∥   ，b c∥   ，则 a c∥   C. 若 a b   ，则 a  一定不与b  共线 D. 若  3,1AB   ，  1,AC m m   ， BAC 为钝角，则实数m的范围是 3 4 m  10．如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中则（ ） A．直线 1BC， BD为异面直线，且两直线的夹角是 060 B． 1BC 与平面 1BCD 所成角大小为60 C．平面 1A BD与平面 ABD所成二面角的正切值为 2 2 D．平面 1ACD 与平面 1BCD 所成二面角的余弦值为 6 3 11．已知函数   2 2 3, 0 2 ln , 0 x x x f x x x          ，求使若关于 x 的方程      2 2 2 0f x a f x a    ,下列 说法正确的是（ ） A. 方程有 6 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为    1,2 2,3 B. 方程有 5 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 ( 4a  ，-3] C. 方程有 4 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 3a  （ ， ） D. 方程有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 a （ ，-4） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知函数   | |1 2 x f x a b      的图象过原点，且无限接近直线 2y  但又不与该直线相交，求该函数的 解析式__________ 13．正四棱柱底面边长为 2，高为 3；若有以底面一顶点为球心，作半径为 22 的球，求正四棱柱表面与 球面的交线长为 . 14．在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只 知道抽取了男生 20 人,其平均数和方差分别为 170和 13,抽取了女生 30 人,其平均数和方差分别为 160和 40.根据这些数据请计算出总样本的方差为 。 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题 13分）已知函数 2 3( ) 3 cos (2sin cos ) 3 f x x x x m   在区间 0, 2      上的最小值为 3， （1）求常数m的值；求函数 ( )f x xR时的最大值，以及相应 x的集合； （2）求函数 ( ), [0,2 ]y f x x   的单调递增区间. 学科网（北京）股份有限公司 16．（本题 15分）在 ABC 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 a，b， c，设  2 cos cosb c a B C   . （1）求角A； （2）若BD DC   ，且 2AD  ，求 ABC 面积的最大值. 17．（本题 15分）设 2 (1 ) 2y mx m x m     ． (1)若不等式 2y   对一切实数 x恒成立，求 2 2 5 1 m m m    的最小值； (2)解关于 x的不等式 2 (1 ) 2 1mx m x m m      ． 18．（本题 17 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA底面 ABCD，PA AB ， E为线段 PB的中点， F 为线段 BC上的动点 （1）平面 AEF与平面 PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由； （2）若直线PD与平面 AEF 平行，请确定点F 的位置； （3）求直线PB与平面PDC所成角的大小． 19.（本题 17 分）设函数 1 2 2)(  x x axf ( a为实数). （1） 当 0a 时，求方程 2 1|)(| xf 的实数解； （2） 当 1a 时， （ⅰ）存在 ]2,1[t 使不等式 0)2()2( 22  ktfttf 成立，求 k的范围； （ⅱ）设函数 bxxg  2)( 若对任意的 ]1,0[1x ，总存在 ]1,0[2 x 使 )()( 21 xgxf  ，求实数b的取值范围.