精品解析：2025年辽宁省铁岭市铁岭县莲花第二初级中学中考二模数学试题

2025年铁岭县莲花二中中考二模 数学试卷 第一部分 选择题(共30 分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如图所示的是由3个相同的小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，根据主视图的概念找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形． 故选：D． 2. 嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（ ） A. 1700元 B. 900元 C. 400元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加减运算等知识点，理解正负数的相反意义成为解题的关键． 先根据有理数的正负数的相反意义列式，然后根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：元． 故选D． 3. 辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．年全省共接待游客万人次.将“万”用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，首先，又因为，所以用科学记数法表示万为． 【详解】解：万． 故选：B． 4. 如图，直线，四边形为平行四边形，顶点 B 恰好落在直线 n上，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握平行四边形对角相等是解题关键．由平行四边形可得，由平行线的性质可得，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，积的乘方、单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解题关键． 根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘除法、单项式乘多项式法则逐一判断即可． 【详解】A．，所以原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，所以原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，所以原式计算正确，故本选项符合题意； D．，所以原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 化学课上，李老师计划在“双氧水制氧气”“高锰酸钾制氧气”“二氧化碳的检验”“镁条燃烧”四个实验中随机选两个在课堂上给学生演示，则被选中的两个实验均为制取氧气的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，列举法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分别用表示猫耳朵，沾片子，剔尖面，刀削面，然后列举出选择两种的六种情况，其中选中猫耳朵和沾片子的结果只有一种，代入概率公式即可求解． 【详解】解：分别用表示双氧水制氧气，高锰酸钾制氧气，二氧化碳的检验，镁条燃烧， 从中任意选择两种的结果有：， ∴总共有六种情况，双氧水制氧气和高锰酸钾制氧气的结果只有一种， ∴被选中的两个实验均为制取氧气的概率是：． 故选：D． 7. 2025 乙巳蛇年春节联欢晚会的主标识是将甲骨文中的“巳”字巧妙变化为“灵蛇吐信”造型，再对称反转拼合而成，是一个典型的中心对称图形.下列甲骨文中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，将一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义进行判断即可． 【详解】解：A.不是中心对称图形，故不符合题意； B. 不是中心对称图形，故不符合题意； C. 不是中心对称图形，故不符合题意； D.是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 8. 《九章算术》“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物品价格各是多少?”设有x人，物品价格为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 9. 如图，在中，平分交于点 F，平分交于点E，与交于点O，点G为边的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义和三角形内角和定理，等角对等边，由平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可推出，则，再由，得到，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵点G为边的中点， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，先求出和坐标，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵直线的函数解析式为， ∴当时，，则； 当时，，解得，则； ∴， ∵菱形， ∴，， ∴点 C的纵坐标为， 设，则，点 C的坐标为， ∵在中， ∴， 解得， ∴点 C的坐标为， 故选：A． 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5 小题，每小题3分，共15分) 11. 分式方程 的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验，当， ∴原方程的解为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将线段先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，点P是线段上的一点，平移后点P 的对应点 Q 的坐标为，则点 P 的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的平移规律，熟知点的坐标的平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据点的坐标的平移规律进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，点P 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后对应点 Q 的坐标为，即点P的坐标为， 即． 故答案为． 13. 如图，为等腰三角形，，，D，E，F分别是，上的点，且，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，过点作于点，过点作于点，过点作于点，得出，证明四边形是平行四边形，性质可求出，根据可得结果． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 15. 如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点 N；再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；作射线交于点 D；然后分别以A，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；作直线分别交于点G，H，依据以上作图，若，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了作图——复杂作图，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接，由作法得：平分，垂直平分，可得，，从而得到，进而得到，，可证明四边形是菱形，从而得到，再由，可得，即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由作法得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. （1）计算： ． （2）化简： ． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的混合运算，灵活运用运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可． （2）原式先将括号内的通分，再把除法转换为乘法，约分后即可得答案． 【详解】解：（1） ； ； （2） ． 17. 近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A 型充电宝比2个B 型充电宝的生产成本多400元． （1）求1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． （2）该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝的数量的多1000个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的80%，公司要求生产部门生产总费用不超过500000元，那么最多可生产多少个A 型充电宝？ 【答案】（1）1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元 （2）4200 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程组和不等式是解题的关键． （1）设1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元，根据题意列出方程组求解即可． （2）设生产m个A 型充电宝，则生产个B型充电宝，根据“公司要求生产部门生产总费用不超过500000元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元， 则， 解得：， 答：1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元； 【小问2详解】 解：设生产m个A 型充电宝，则生产个B型充电宝，， 则， 解得：， 答：最多可生产4200个A 型充电宝． 18. 消防安全对于保护人民生命财产安全、维护社会稳定、促进经济发展以及遵守法律法规等方面都具有重要意义．某校为了提升学生对消防安全的认识，随机从八、九年级各抽取了40名学生参加“消防安全”知识竞赛，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．（，，，，） b．八年级学生成绩在这一组的数据如下： 75，78，76，70，75，75，71，77，72． c．九年级抽取的40名学生成绩扇形统计图如下（，，，，） 根据信息，回答下列问题： （1）补全八年级学生成绩频数分布直方图． （2）求出八年级学生成绩的中位数． （3）已知在扇形统计图中，D组对应的圆心角度数为，求出九年级学生成绩在这一组的人数． （4）若竞赛成绩在80分及以上记为优秀，九年级抽取的学生中成绩优秀的人数为18，若该校八、九年级各有1200名学生参加竞赛，请估计八、九年级成绩优秀的学生总人数． 【答案】（1）见解析 （2）75.5 （3）14人 （4）1050人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图相关知识，解题的关键是理解统计图中数据的含义并运用相应公式计算． （1）先确定这一组频数，再补图． （2）求八年级中位数，要根据数据个数确定中位数位置，再结合频数分布找对应数值． （3）求九年级人数，利用圆心角度数与的比例关系和总人数计算． （4）估计八、九年级优秀学生总数，先分别算出八年级和九年级优秀率，再根据总人数计算． 【小问1详解】 八年级学生成绩频数分布直方图如下： ； 【小问2详解】 八年级共抽取40名学生，，中位数是第、个数据的平均数， 频数为频数为8，前两组共有个数据；频数为9，前个数据，所以第20，21个数据都在这一组， 将这组数据排序后， 第20、21个数据的平均数为， 即八年级学生成绩的中位数是75.5； 【小问3详解】 九年级学生成绩在这一组的人数为人； 【小问4详解】 八年级抽取40人，频数为频数为10， 则八年级优秀人数为人，八年级优秀率为， 九年级抽取40人，优秀人数为18人，九年级优秀率为， 该校八、九年级各有1200名学生参加竞赛， 则八、九年级成绩优秀的学生总人数约为： （人）． 19. 某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. （1）求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） （2）若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 【答案】（1）y关于x的函数表达式为 （2）销售单价应为14元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题中的数量关系． （1）利用给定的两组销售单价与日销售量的值，代入一次函数表达式，通过解方程组求出函数表达式； （2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为， 把代入得， ， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设销售单价应为x元,根据题意得： ， 解得，，， ∵销售单价不得高于22元，即， ∴， ∴销售单价应为14元． 20. 某兴趣小组想利用无人机测量一座塔的高度．如图1，无人机沿着水平线飞行，飞至P点时，测得塔底A的俯角为，此时无人机位于固定点Q 的正上方，Q点到塔底A的距离为150米．如图2，当无人机飞到C点时，测得塔尖B的俯角为，无人机继续向前飞行了52米到达D点，此时测得塔底A的俯角为(已知上述所有点均在同一平面内)． （1）求无人机飞行的高度．(结果保留根号) （2）求塔高．(结果精确到0.1米，参考数据： ， 【答案】（1）米 （2）约35.5米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． （1）直接利用正切定义求解即可； （2）延长交直线于H，则米，分别在和中，利用锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，，米， ∴（米）， 答：无人机飞行的高度是米； 【小问2详解】 解：延长交直线于H，则米， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：塔高约为35.5米． 21. 如图1，是的直径，是 的弦，点是 的中点，连接，与交于点，点在的延长线上，满足． （1）求证：为 的切线． （2）如图2，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据等腰三角形的性质得到，，再根据，可得，于是得到结论； （2）连接，，设的半径为，根据勾股定理可得，即，在证得，可得，在根据勾股定理可求得的值． 【小问1详解】 证明：连接，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴为 的切线． 【小问2详解】 解：连接，， ∵，， ∴， ∵为 的切线， ∴， 设的半径为， 在中，，即， 解得：， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 在中，，即， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，熟练应用以上性质和定理是解题的关键． 22. 在 中，， ，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，交于点，交直线于点，连接． （1）如图1，当时， ①说明线段与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当，时，求线段的长． （3）在线段旋转的过程中，当 时， 的面积为，求线段的长． 【答案】（1）①，证明见解析；②，证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，垂直平分，利用垂直平分线的性质，可得；②作于点，交于点，先证明为等边三角形，不妨设，，则，可利用勾股定理和解直角三角形，分别表示出，，，，从而得出三者之间关系； （2）先利用勾股定理求得，再证明，从而得到，由（1）可知，，，，，接着在中，利用算得，得到； （3）由（1）可知，时，，同理可证，时，， 由（1）可知，设，，则，，，，过点作，先利用勾股定理，表示出，接着利用，以及，算得、，最后得出；当时，同理可证是等边三角形，先算出，过点作于， 同理可算得，通过，可知不符合题意，综上可得出答案． 【小问1详解】 解：①， 证明：将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ， 又， 垂直平分， ； ②， 证明：作于点，交于点，如图所示， 则，， 由①可知， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 由①可知， 为等边三角形， ； 不妨设，，则 在和中， ，， ， ， ， 在中，， ， ，， ； 【小问2详解】 解：作于点，如图所示： ，，，， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，，，，， ， 在中，， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）可知，时，， 同理可证，时，，如下图所示： 由（1）可知，设，，则，， ，， 过点作，如下图所示： ，， ，， ， 当 时， ， 的面积为，， ， 联立，解得， 此时、重合，、、三点共线，如下图所示： ； 当时，如下图所示： 同理可证是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 过点作于，如图所示： 同理可证， ， 的面积为， ， 不符合题意； 综上：线段的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识点数形结合，作出合适的辅助线是解题的关键． 23. 已知是的函数，其图象记为，定义函数为的级“递美函数”， 的函数图象是将函数的图象整体向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，图象记为，其中叫作“递美级数”．例如：函数，其1级“递美函数”为 ，“递美级数”为1． （1）求函数的2级“递美函数”的解析式． （2）判断是否存在函数的“递美函数”的函数图象经过原点．若存在，求出“递美级数”的值；若不存在，请说明理由． （3）已知函数 的图象经过点，其5级“递美函数” 的图象经过点， ①求的函数解析式； ②若记函数，且满足，求的值； ③在②的条件下，函数与函数的图象交于三点，从左到右依次记为，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）不存在函数的“递美函数”，满足的图象经过原点，理由见解析 （3）①；②或；③或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，新定义函数，掌握新定义函数的概念和数形结合思想是解题的关键． （1）根据“递美函数”的定义直接求解即可； （2）先求出函数的“递美函数”，把原点代入函数分析即可； （3）①根据“递美函数”的定义和待定系数法求解即可； ②先求出的函数式，联立得出其交点，画出函数与的图象，根据图象，联立求函数与分析求解即可； ③根据函数与函数的图象交于三点，画出符合要求的图象，分情况分析，求出函数与函数，联立函数，求出交点坐标，再根据勾股定理求出线段的长度，即可求解． 【小问1详解】 解∶ 根据题意，得， 即． 【小问2详解】 解∶ 不存在．理由如下： 由，得， 若的图象经过原点，则，即，此时方程无解， 不存在函数的“递美函数”，满足的图象经过原点． 【小问3详解】 ①解∶ 将点代入，得， ， 由题意，得，将点代入，得，解得， 函数的表达式为； ②解∶ 由①，得， 联立，解得， 函数，的交点的坐标为， 作出函数与的图象，如图 1 所示， 联立，得， 解得， 由图象可知交点在直线的左侧， ， 联立， 得，解得， 由图象可知交点在直线的右侧， ， 的值为或； ③解：当函数的图象经过点时，作出函数与函数的图象如图 2 所示，此时函数的表达式为，联立， 得，解得，， ， 根据勾股定理，得， ，； 当函数与函数只有一个交点时，作出函数与函数的图象，如图 3 所示． 联立，得，令，得， 此时方程有两个相等的根，即， ， 联立，得，解得，，， 由勾股定理，得，， 同理，， ，， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年铁岭县莲花二中中考二模 数学试卷 第一部分 选择题(共30 分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如图所示的是由3个相同的小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（ ） A. 1700元 B. 900元 C. 400元 D. 元 3. 辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．年全省共接待游客万人次.将“万”用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，四边形为平行四边形，顶点 B 恰好落在直线 n上，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 化学课上，李老师计划在“双氧水制氧气”“高锰酸钾制氧气”“二氧化碳的检验”“镁条燃烧”四个实验中随机选两个在课堂上给学生演示，则被选中的两个实验均为制取氧气的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 2025 乙巳蛇年春节联欢晚会的主标识是将甲骨文中的“巳”字巧妙变化为“灵蛇吐信”造型，再对称反转拼合而成，是一个典型的中心对称图形.下列甲骨文中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物品价格各是多少?”设有x人，物品价格为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分交于点 F，平分交于点E，与交于点O，点G为边的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5 小题，每小题3分，共15分) 11. 分式方程 的解是_______． 12. 在平面直角坐标系中，将线段先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，点P是线段上的一点，平移后点P 的对应点 Q 的坐标为，则点 P 的坐标为________． 13. 如图，为等腰三角形，，，D，E，F分别是，上的点，且，，则四边形的面积为________． 14. 如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为________． 15. 如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点 N；再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；作射线交于点 D；然后分别以A，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；作直线分别交于点G，H，依据以上作图，若，则的长是________． 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. （1）计算： ． （2）化简： ． 17. 近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A 型充电宝比2个B 型充电宝的生产成本多400元． （1）求1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． （2）该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝的数量的多1000个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的80%，公司要求生产部门生产总费用不超过500000元，那么最多可生产多少个A 型充电宝？ 18. 消防安全对于保护人民生命财产安全、维护社会稳定、促进经济发展以及遵守法律法规等方面都具有重要意义．某校为了提升学生对消防安全的认识，随机从八、九年级各抽取了40名学生参加“消防安全”知识竞赛，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．（，，，，） b．八年级学生成绩在这一组的数据如下： 75，78，76，70，75，75，71，77，72． c．九年级抽取的40名学生成绩扇形统计图如下（，，，，） 根据信息，回答下列问题： （1）补全八年级学生成绩频数分布直方图． （2）求出八年级学生成绩的中位数． （3）已知在扇形统计图中，D组对应的圆心角度数为，求出九年级学生成绩在这一组的人数． （4）若竞赛成绩在80分及以上记为优秀，九年级抽取的学生中成绩优秀的人数为18，若该校八、九年级各有1200名学生参加竞赛，请估计八、九年级成绩优秀的学生总人数． 19. 某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. （1）求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） （2）若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 20. 某兴趣小组想利用无人机测量一座塔的高度．如图1，无人机沿着水平线飞行，飞至P点时，测得塔底A的俯角为，此时无人机位于固定点Q 的正上方，Q点到塔底A的距离为150米．如图2，当无人机飞到C点时，测得塔尖B的俯角为，无人机继续向前飞行了52米到达D点，此时测得塔底A的俯角为(已知上述所有点均在同一平面内)． （1）求无人机飞行的高度．(结果保留根号) （2）求塔高．(结果精确到0.1米，参考数据： ， 21. 如图1，是的直径，是 的弦，点是 的中点，连接，与交于点，点在的延长线上，满足． （1）求证：为 的切线． （2）如图2，连接，若，求的长． 22. 在 中，， ，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，交于点，交直线于点，连接． （1）如图1，当时， ①说明线段与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当，时，求线段的长． （3）在线段旋转的过程中，当 时， 的面积为，求线段的长． 23. 已知是的函数，其图象记为，定义函数为的级“递美函数”， 的函数图象是将函数的图象整体向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，图象记为，其中叫作“递美级数”．例如：函数，其1级“递美函数”为 ，“递美级数”为1． （1）求函数的2级“递美函数”的解析式． （2）判断是否存在函数的“递美函数”的函数图象经过原点．若存在，求出“递美级数”的值；若不存在，请说明理由． （3）已知函数 的图象经过点，其5级“递美函数” 的图象经过点， ①求的函数解析式； ②若记函数，且满足，求的值； ③在②的条件下，函数与函数的图象交于三点，从左到右依次记为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $