专题04 反比例函数（考题猜想，易错压轴必刷57题19种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

专题04 反比例函数（易错压轴必刷57题19种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 反比例函数的相关概念 · 题型二 根据反比例函数的定义求参数 · 题型三 用反比例函数描述数量关系 · 题型四 求反比例函数的值、自变量 · 题型五 反比例函数的图象 · 题型六 反比例函数的对称性 · 题型七 反比例函数的增减性 · 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 · 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 · 题型十 根据图形面积求比例系数 · 题型十一 反比例函数解析式 · 题型十二 反比例函数与一次函数交点问题 · 题型十三 用反比例函数解决问题 · 题型十四 反比例函数的增减性探究 · 题型十五 反比例函数k值意义压轴 · 题型十六 反比例函数与一次函数综合 · 题型十七 反比例函数与几何综合 · 题型十八 反比例函数的实际问题压轴 · 题型十九 反比例函数的新定义问题 题型一 反比例函数的相关概念 1．下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如或或，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，，，能表示是的反比例函数，共3个； 故选B． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：是的反比例函数的有，． 故答案为：②⑤ 3．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求； ②是反比例函数，故符合要求； ③不是反比例函数，故不符合要求； ④不是反比例函数，故不符合要求； ⑤是反比例函数，故符合要求； ⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求； 故答案为：②⑤． 题型二 根据反比例函数的定义求参数 4．当 时，是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，根据反比例函数的性质得，且，即可求出． 【详解】解：∵是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限， ∴，且， 解得， 故答案为：2． 5．若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据自变量的次数是，系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴． 故答案为：． 6．已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：设， 则：， 由题意，得：，解得：， ∴． 题型三 用反比例函数描述数量关系 7．下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 8．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】由表中数据可得，，从而可得y关于x的函数表达式． 【详解】由表中数据可得，， ∴y关于x的函数表达式为． 故答案为： 【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键． 9．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 题型四 求反比例函数的值、自变量 10．已知反比例函数（为常数，且），则下列各点可能在该函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数图象上点的坐标特点逐一分析即可，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：、由可得：，不符合题意； 、由可得：，不符合题意； 、由可得：，不符合题意； 、由可得：，符合题意； 故选：． 11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可． 【详解】解：把和代入解析式得：，， ∴， 故答案为：． 12．已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 题型五 反比例函数的图象 13．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的函数识别，根据方体污水处理池的容积等于底面积乘深度，且容积一定，故，，即可作答． 【详解】解：由题意可知： ， ∴中，当的值一定时，是h的反比例函数， ∴函数的图象：当时是“双曲线”在第一象限的分支． 故选：C． 14．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 15．已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象，当时，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查反比例函数的图象． （1）利用待定系数法把代入反比例函数即可得到m的值； （2）根据反比例函数解析式，计算出反比例函数所经过的点，再画出图象即可； （3）根据函数的图象即可求得． 【详解】（1）解：把点代入，得 ， 解得； （2）解：由（1）反比例函数的解析式为， 列表如下， x … 1 2 4 … y … 1 2 4 … 描点，连线，该函数的图象如下， ； （3）解：由图象可知，当时，则． 题型六 反比例函数的对称性 16．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 17．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B． (1)______，______，点B的坐标为______； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)2，2，； (2)或 【分析】（1）把点代入，,可求出正比例函数和反比例函数的解析式，根据中心对称得到点； （2）观察图象可得：不等式 的解集即为一次函数图像在反比例函数图像下方的自变量的取值范围，由此即可求解； 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 把点代入，得： ， ∵关于原点中心对称，则 故答案为：2，2，；． （2）观察图象得：不等式 的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围， ∴不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，图像法求不等式解集，准确利用待定系数法求出两个函数解析式是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣3x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n） (1)求反比例函数y＝的表达式； (2)若两函数图象的另一交点为C，直接写出C的坐标． 【答案】(1) (2)（-1，3） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据中心对称的性质即可求解． 【详解】（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝﹣3x的图象上， ∴代入得：n＝（﹣3）×（﹣1）＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，3）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k＝（﹣1）×3＝﹣3． ∴反比例函数的解析式为． （2）与y＝﹣3x的图象关于原点对称轴，一次函数y＝﹣3x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为 ∴另一个交点C的坐标是（-1，3）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 题型七 反比例函数的增减性 19．若反比例函数的图象在每一象限内，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据函数的增减性得出关于m的不等式，再解不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴，解得：． 故选：B． 20．已知点和在反比例函数（为常数，）的图象上，若，则的值可以是 ．（只写一个） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质、求不等式的解集，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．分别代入和到，得出，，再结合求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：代入到得，， 代入到得，， ， ， 解得：， 的值可以是3（答案不唯一）． 故答案为：3（答案不唯一）． 21．已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可． （1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可． （2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可． 【详解】（1）解：当函数为正比例函数时， 则， 解得：， ∵随的增大而增大． ∴， ∴， ∴． （2）当函数为反比例函数时， 则， 解得：， ∵图象经过第一、三象限 ∴， ∴， ∴． 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 22．已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)若，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象． （1）将点代入，求出k的值即可； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得； （2）解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限， 当，y随x的增大而减小， ∵，是该反比例函数图象上的两点，， ∴． 23．已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函数增减性是解题的关键． （1） 把代入，运用待定系数法计算即可求解； （2）由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：， 函数图象位于第二、四象限， 点，，都在反比例函数的图象上，， ， ． 24．若点，在反比例函数（为常数，）的图象上． (1)求：反比例函数的解析式和的值； (2)填空： ①函数的图象在第________象限； ②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________； ③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________． 【答案】(1)， (2)①二，四；②增大；③ 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）①根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；②根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；③根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，反比例函数的解析式为：； （2）∵，， ∴双曲线过二，四象限，在图象的每一支上，随的增大而增大； ∵点和在双曲线上，且， ∴； 故答案为：①二，四；②增大；③． 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 25．如图，点A、B在反比例函数的图像上，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，已知．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解决此题． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴，， ∴． 26．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键． （1）将点代入中来求解； （2）根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，再利用对称轴求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解； （3）根据反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 利用图象来求解不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入得： ， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ． （2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴． ∴． （3）解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 所以根据图象得：不等式的解集为或． 27．如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．    (1)求阴影部分的面积； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)点 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可求和的面积，即可求解； （2）由平行四边形的性质可求点，点的横坐标互为相反数，可求，的长，即可求解； （3）先求出点，点坐标，由中点坐标公式可求点坐标，由平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 阴影部分的面积； （2）解：如图所示，连接交于点，   四边形是平行四边形， ，即点H为的中点， ， ，， ； （3）解：，， ∴， 在中，当时， ，， ， 点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点． 题型十 根据图形面积求比例系数 28．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据矩形对边平行和平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 29．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的意义，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，设与轴交点为，根据平行线间的距离相等得出，所以，即，然后求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ， ∵垂直于轴， ∴， ∴ ∴， ∴ 解得：， ∵ ∴， 故答案为：． 30．如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 题型十一 反比例函数解析式 31．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)面积为 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （1）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （2）分别求出、的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）把 代入 中，得，            ， 轴， ∴点的横坐标为 把代入，， ∴ ∴面积为． 32．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上的一点，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)若线段，求D点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点， 由可得，， 解得，（舍去）， ． 33．我们知道，反比例函数的图象是一个轴对称图形，如图，点在反比例函数的图象上． (1)_______； (2)这个图象的对称轴是直线_______； (3)已知直线平行于（2）中的对称轴，请求出直线的解析式． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出值即可； （2）根据反比例函数的对称性，得到对称轴为第一象限的角平分线所在的直线，作答即可； （3）根据两直线平行，自变量的系数相同，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ∴； 故答案为：2； （2）由图象可知，对称轴为直线； （3）∵直线平行于直线， ∴设直线为， 把代入，得：， ∴， ∴． 题型十二 反比例函数与一次函数交点问题 34．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过，两点． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）如图，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，可得直线的解析式为，点的坐标为，，结合图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ， 点的坐标为， ； （2）解：由（1）可得，， 如图，过点作轴的垂线，垂足为，交于点， 设直线的解析式为， 将点代入得：，， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， ， 的面积为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A的坐标代入，求出n的值，再将所得点A坐标代入，求出的值即可解决问题； （2）首先求出，，得到，再根据的面积求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ∴ 点A的坐标为， 又点A在反比例函数上， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：将代入得， 解得 ∴ ∵一次函数 ∴当时， 解得 ∴，即 ∴的面积． 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于点， 对于一次函数， 当时，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， 当时，， ∴， 将点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，解得或， 经检验，或都是原分式方程的根， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 经检验，得或都是原分式方程的根， ∵点在直线下方的反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十三 用反比例函数解决问题 37．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1)I= (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当时，，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）解：设函数表达式为 ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为； （2）解：∵中，， ∴图象在第一象限，I随R的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，． 把电阻最大值代入，得到电流的最小值，． ∴电流I的变化范围是． 38．如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】(1) (2)200度 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． （2）解：将代入，得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 39．燃气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形燃气储存室． (1)储存室的底面积与其深度之间的函数表达式是_______________． (2)公司决定把储存室的底面积S定为，施工队施工时应该向下掘进多少米？ (3)当施工队按（2）中的计划掘进到地下时，碰上了坚硬的岩石．为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？ 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）根据圆柱的体积公式，即可求解； （2）把代入，即可求解； （3）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：把代入， 得， 解得； （3）解：根据题意，把代入，得， ∴储存室的底面积应该改为 题型十四 反比例函数的增减性探究 40．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 41．已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小， ， y1＞y2， ①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时， ∵y1＞y2， 当在第一象限时， ∴，解得； 当在第三象限时， ∴，解得； 综上所述：或； ②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时， ∵y1＞y2， ∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解， 因此，本题的取值范围为或， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数k的正负对增减性的影响，当时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小． 42．已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，求反比例函数解析式和反比例函数的函数值，根据题意可得反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再由当时，y的最大值是，可得当时，，据此利用待定系数法求出函数解析式，进而求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是， ∴反比例函数的图象经过第三象限， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴当时，y的最小值为， 故答案为：． 题型十五 反比例函数k值意义压轴 43．如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上一点，将绕点O顺时针旋转得到线段． (1)若点B在反比例函数的图象上，的面积为6，求k的值． (2)若C是反比例函数的图象在第一象限的另一点，且 ，过点C作垂直x轴于点D，交于点E，求的面积（用含k的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】(1)如图，过点作轴于点，由旋转的性质证出为等边三角形，再由等边三角形的性质和反比例函数的性质证明即可得解； (2)如图，过点作轴于点，先证出，再由勾股定理和反比例函数的性质证出，进而利用三角形的面积的和差即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， 将绕点O顺时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， ， 点B在反比例函数的图象上， ， ； （2）解：如图，过点作轴于点， 双曲线的对称轴为直线， ， ，关于直线对称， ， ， ， ， ，， ，都在反比例函数图象上， ， ， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 44．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，连接．已知，的面积为．    (1)求反比例函数的解析式． (2)直接写出不等式的解集． (3)若为线段上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）过点作于点，可得，，，根据反比例函数中的几何意义，即可求得解析式； （2）根据直线与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，观察函数图像，即可得到不等式解集； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，求得直线的解析式，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：过点作于点，如解图1所示，则．    ∵， ∴． 又∵， ∴． 由反比例函数中的几何意义，可知， ∴（正值已舍去）． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：或． （3）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，如解图2所示．    把点，分别代入，得，，即点，． ∴． 易得直线的解析式为． ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，轴对称的性质，三角形的面积公式，理解函数图象所表达的信息是解决本题的关键． 45．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第二、四象限内的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．    (1)分别求出和的值； (2)结合图像直接写出的解集； (3)在轴上取一点，当取得最大值时，求点的坐标； (4)若点是双曲线上一点，且，求点的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为 (4)点的横坐标为或或或 【分析】（1）根据点的坐标可知，，根据的面积为，可求出的值，从而求出反比例函数解析式，将点的坐标代入即可求出的值； （2）由（1）求出点的坐标，代入一次函数，运用待定系数法求出一次函数解析式，及一次函数与轴的交点，根据图示，可知不同的自变量取值范围一次函数的函数值与反比例函数的函数值的大小情况不同，由此即可求解； （3）设点，作点关于轴的对称点，当点三点共线时，取得最大值，运用待定系数法求出所在直线的解析，令，即可求解点的坐标； （4）根据题意，先求出的面积，由此可得的面积，点在反比例函数图像上，设，根据图像（图示见详解），分类讨论，根据结几何图像的面积的计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：点在第二象限，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为， ∴， ∴，解得，，即， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，解得，， ∴反比例函数：， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，解得，， ∴，． （2）解：由（1）知，，且点，在一次函数的图像上， ∴，解得，， ∴一次函数解析式为， ∴令时，则，解得，即一次函数与轴的交点为， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第二、四象限内的点和点， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的解集为：． （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，    ∴，且点， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 当点三点共线时，取得最大值，且点在轴上， ∴令时，， ∴点的坐标为． （4）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，直线与轴交于点，    ∵直线的解析式为，令，则， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴设， ①如图所示，连接，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，过点作延长线于点，    设所在直线的解析式为，且，， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵，轴， ∴点的横坐标为，且点在直线的图像上， ∴当时，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，整理得，，解得，，， ∴点的坐标为或，即点的横坐标为或； ②如图所示，连接，过点作轴于点，延长交于点，过点作延长线于点，过点作于点，    设直线所在直线的解析式为，且，， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在一条直线上，且轴， ∴点的横坐标为，且点在直线的图像上， ∴当时，，即 ∴，，， ∴， ∴，整理得，，解得，，， ∴点的横坐标为或； 综上所述，点的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析，函数交点坐标的计算方法，线段最大值的计算方法，函数图像与几何图像的综合，几何图像的面积的计算方法等知识是解题的关键． 题型十六 反比例函数与一次函数综合 46．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)16； (3)点的坐标为或,或,． 【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解； （2）证明△△，则，而，点坐标为，利用，即可求解； （3）根据题意分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与坐标轴相交于点， ，解得， 一次函数为：， 一次函数的图象经过点． ， 点坐标为， 反比例函数经过点， ， 反比例函数为：； （2）作于，于， ， △△， ， ，点坐标为， ，， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入求得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ； （3）由（1）知，， ， ， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分， 有， 解得， 点的坐标为,； ②当为对角线时，对角线，且，互相平分， 有， 解得或， 点的坐标为,或； ③当为边时，对角线，且，互相平分， 有， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或,或,． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，矩形的性质，两点的距离公式等知识，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键． 47．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为：； (2)； (3)①；②存在， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）①设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可； ②按照①的解法求解即可． 【详解】（1）解：把代入线与反比例函数， 得， ∴， ∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 联立， 解得：， 经检验解成立， ∴， ∴； （3）解：①设，连接并延长交y轴于点N，如图： ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， 把点分别代入得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴ ②存在，理由如下， 作出同样辅助线， ∵点M在第一象限，且点M在点A右侧， ∴， 同理可求：直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴． 48．如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)当或时，一次函数的值小于反比例函数的值 (3)4 (4) 【分析】（1）首先可求得反比例函数解析式，即可求得点B坐标，再根据点A、B都在一次函数图象上，分别代入即可求得； （2）根据图象得出结论； （3） 记一次函数与轴的交点为，并求得点C的坐标，根据，即可求解． （4）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，得到，，根据三角形三边关系得到，当等号成立时，即、、三点共线时，值最大，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：直线的图象与双曲线的图象交于，两点． ， 即反比例函数解析式为， ， ， 将，代入直线中有， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值（即一次函数图象在反比例函数图象下方的部分）的x的取值范围未为或； （3）解：记一次函数与轴的交点为， 的坐标为， ； （4）解：点P的坐标为，理由如下： 作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接， 由对称的性质可知， ， ， 当等号成立时，即、、三点共线时，值最大， 设直线的解析式为， 有， 解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点情况，三角形三边关系，轴对称性质，解题的关键在于利用数形结合的思想解答问题． 题型十七 反比例函数与几何综合 49．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N的坐标为或或 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设，，由，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标； （3）由题意得：，，，设，分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， 则； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则， ∵ ， ∴，解得：， 则点M坐标为； （3）解：存在； 由题意得：，，，设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即， 综上，N的坐标为或或． 50．如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式； （2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：情况一：延长至，使，连接，则， 在 中，当 时，， ， ∴， 过点作直线 交直线于，则， 设直线的解析式为， 则，得 ， ， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 情况二：在上取点，使，连接，则，， 过点作直线 交直线的延长线于，则， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键． 51．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式 (2)①；②的值不发生变化，为18 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． （2）①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． 题型十八 反比例函数的实际问题压轴 52．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 53．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)元 (4)存在，不变的值为240 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； （2）解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 （4）存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 54．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)写出当月时，的取值范围； (3)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）把代入可确定反比例函数解析式，进而求得的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）观察函数图象得到当或，一次函数图象都在反比例函数图象上方； （3）先确定点的坐标是，再计算出，由可求得，可求得，则可求得的坐标，即可确定直线的解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求解即可． 【详解】（1）把代入 ∴， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得，， ∴， ∵一次函数过点和． ∴，解得， ∴一次函数解析式为； （2）由图象可知，当时，x的取值范围为或； （3） ∵， ∴点的坐标是， ∴， ∵ ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为． 由 ∴或， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，在（1）中注意函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；在（3）中求得E点的坐标是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 题型十九 反比例函数的新定义问题 55．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 56．在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． (1)已知两点，则______； (2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； (3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)点C的坐标为或 【分析】本题考查了新定义下的两点之间的“直距”定义，考查了绝对值的几何意义，解不等式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“直距”的定义即可得出答案； （2）设点M的坐标为，且，根据“直距”的定义可得，化简，即可求解； （3）设直线的解析式为，可求出直线的解析式为，设点C的坐标为，根据“直距”的定义列出等式，再分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为5． （2）∵点M在反比例函数第一象限的图像上， ∴设点M的坐标为，且． ∵， ∴， 即， 即， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． 设点C的坐标为， ∴， ①当时，， ∴， 解得，不合题意，舍去． ②当时，， ∴， 解得， ∴C； ③当时，， ∴， 解得， ∴C； 综上所述，点C的坐标为或． 57．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)①，②6 (2)①见解析②36③ 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理解题意是解答本题的关键． （1）①先判断函数的图象经过点B，求出m的值，设点D的坐标为，代入可得，从而可得点D的坐标；②求出点C的坐标为，可判断点A，点C在反比例函数图象上，从而可得结论； （2）①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形； ②由可求出点B的坐标，根据中心对称的性质可得出点C的坐标，过点A作于点E，过点B作于点F，根据可得结论； ③根据两点间距离公式求出的长，根据得出，结合求出的值即可． 【详解】（1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，； ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴； ②∵四边形是平行四边形，，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时； （2）解：①如图，即为所画；    ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ； ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得，，或（舍去） ∴． $$ 专题04 反比例函数（易错压轴必刷57题19种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 反比例函数的相关概念 · 题型二 根据反比例函数的定义求参数 · 题型三 用反比例函数描述数量关系 · 题型四 求反比例函数的值、自变量 · 题型五 反比例函数的图象 · 题型六 反比例函数的对称性 · 题型七 反比例函数的增减性 · 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 · 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 · 题型十 根据图形面积求比例系数 · 题型十一 反比例函数解析式 · 题型十二 反比例函数与一次函数交点问题 · 题型十三 用反比例函数解决问题 · 题型十四 反比例函数的增减性探究 · 题型十五 反比例函数k值意义压轴 · 题型十六 反比例函数与一次函数综合 · 题型十七 反比例函数与几何综合 · 题型十八 反比例函数的实际问题压轴 · 题型十九 反比例函数的新定义问题 题型一 反比例函数的相关概念 1．下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 3．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 题型二 根据反比例函数的定义求参数 4．当 时，是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限． 5．若函数是反比例函数，则 ． 6．已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 题型三 用反比例函数描述数量关系 7．下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 8．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 9．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 题型四 求反比例函数的值、自变量 10．已知反比例函数（为常数，且），则下列各点可能在该函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 12．已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 题型五 反比例函数的图象 13．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 14．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 15．已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象，当时，求y的取值范围． 题型六 反比例函数的对称性 16．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 17．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B． (1)______，______，点B的坐标为______； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣3x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n） (1)求反比例函数y＝的表达式； (2)若两函数图象的另一交点为C，直接写出C的坐标． 题型七 反比例函数的增减性 19．若反比例函数的图象在每一象限内，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．已知点和在反比例函数（为常数，）的图象上，若，则的值可以是 ．（只写一个） 21．已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 22．已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)若，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 23．已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 24．若点，在反比例函数（为常数，）的图象上． (1)求：反比例函数的解析式和的值； (2)填空： ①函数的图象在第________象限； ②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________； ③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________． 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 25．如图，点A、B在反比例函数的图像上，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，已知．求的值． 26．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 27．如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．    (1)求阴影部分的面积； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标． 题型十 根据图形面积求比例系数 28．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．12 29．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为 ． 30．如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 题型十一 反比例函数解析式 31．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 32．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上的一点，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)若线段，求D点的坐标； 33．我们知道，反比例函数的图象是一个轴对称图形，如图，点在反比例函数的图象上． (1)_______； (2)这个图象的对称轴是直线_______； (3)已知直线平行于（2）中的对称轴，请求出直线的解析式． 题型十二 反比例函数与一次函数交点问题 34．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过，两点． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积． 35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标． 题型十三 用反比例函数解决问题 37．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 38．如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 39．燃气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形燃气储存室． (1)储存室的底面积与其深度之间的函数表达式是_______________． (2)公司决定把储存室的底面积S定为，施工队施工时应该向下掘进多少米？ (3)当施工队按（2）中的计划掘进到地下时，碰上了坚硬的岩石．为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？ 题型十四 反比例函数的增减性探究 40．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 41．已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 42．已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为 ． 题型十五 反比例函数k值意义压轴 43．如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上一点，将绕点O顺时针旋转得到线段． (1)若点B在反比例函数的图象上，的面积为6，求k的值． (2)若C是反比例函数的图象在第一象限的另一点，且 ，过点C作垂直x轴于点D，交于点E，求的面积（用含k的式子表示） 44．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，连接．已知，的面积为．    (1)求反比例函数的解析式． (2)直接写出不等式的解集． (3)若为线段上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 45．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第二、四象限内的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．    (1)分别求出和的值； (2)结合图像直接写出的解集； (3)在轴上取一点，当取得最大值时，求点的坐标； (4)若点是双曲线上一点，且，求点的横坐标． 题型十六 反比例函数与一次函数综合 46．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 47．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 48．如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 题型十七 反比例函数与几何综合 49．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 50．如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 51．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 题型十八 反比例函数的实际问题压轴 52．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 53．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 54．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)写出当月时，的取值范围； (3)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标． 题型十九 反比例函数的新定义问题 55．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 56．在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． (1)已知两点，则______； (2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； (3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标． 57．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$