精品解析：2025届吉林省吉林市东北三省教育教学联合体5月联考模拟预测数学试题

高三数学 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以，则. 故选：B 2. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对化简后，再利用模的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 3. 样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第75百分位数为（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 23.5 【答案】D 【解析】 【分析】数据从小到大排列，再根据百分位数的概念求解即可. 【详解】样本数据从小到大排列为13，16，19，20，21，23，24，28，共8个数据， 所以，则第75百分位数为. 故选：D. 4. 已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设球的半径为，三棱锥的表面积为，根据体积分割法，求得，设在底面内的射影为，在上取点，使得，过作平面的平行平面，求得，设球的半径为，求得，进而求得的长. 【详解】设球的半径为，三棱锥的表面积为， 则， 解得， 又由，且， 可得， 设在底面内的射影为， 因为在上，在上取点，使得， 过作平面的平行平面，交，，于点G，T，H， 如图所示，则也是正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球， 又因为， 设球的半径为，则，所以， 所以. 故选：B. 5. 已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数定义化简解出得值，将得值代入，通过三角恒等式展开并化简，利用余弦函数的有界性求出最大值. 【详解】由是偶函数，得， 展开并整理得：， 根据二倍角公式得：， 整理得：，结合，得， 代入，，则 ， 利用积化和差公式： 化简得：， 当时，取得最大值. 故选：B 6. 函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【详解】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 8. 莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现. 就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是（ ） A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm就能回到原处 B. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分 C. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），最终得到纸带的边缘周长为120cm D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：根据题意，想想小虫行进的情况，可以判断AD；设想从白线的一侧某处出发，并且永远在这一侧，向着一个方向前进，想想其前进行走情况，可以推测出剪开之后的形状，进而判定BC. 解法二：可以用平面图示法理解转化分析. 【详解】 解法一 对于选项 A：一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面走 30 cm ，则会发现小虫来到“另一面”，需要在继续前进30cm，才能回到原处，也就是说至少要走60cm才能回到原处，故 A 错误; 对于选项 B：设想从白线的一侧某处出发，并且永远在这一侧，向着一个方向前进，走完30cm到达了背面的白线的对侧，需要再前进30cm刚好回到原点，因此剪开后得到的仍然是一个环带，没有分成两部分，把莫比乌斯带沿中线剪开后不会分成两个独立部分，而会得到一个长度加倍且360°扭转对接的环带，故 B 错误; 对于选项 C：沿中线剪开后得到的环带长是 60 cm，其边缘周长是 60cm2＝120 cm，故 C 正确; 对于选项 D：实际走一走，可以看出小虫在不跨越边缘的情况下可以爬遍整个曲面，故 D 错误. 故选：C. 解法二 如图1标记原纸带的正面的四个角,起始端线和终止端线的中点分别记做, 其背面的相应点依次记做小写的字母表示相应的线段. 图2是第一次扭转180°粘接后的莫比乌斯环的两面沿剪断后展开图，图3是从中间白线剪开后的纸环沿剪断后的展开图， 从图可以看出，小虫在不跨越它的边缘的情况下沿表面至少要走60cm才能回到原处，此时也正好爬遍整个曲面； 沿中间线剪开后的纸带是如图3所示的矩形，扭转2个180°的环，其周长为矩形的上下两边线的和，总长为120cm； 故选：C. 故选：C. 二、多选题（共18分） 9. 我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（ ） A. 2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量 B. 2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4% C. 2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数 D. 2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍 【答案】AB 【解析】 【分析】结合图象对选项逐一分析即可判断. 【详解】2000年—2005年高中阶段毛入学率增量为， 1995年—2000年高中阶段毛入学率增量为，故A正确； 2015年—2020年高等教育毛入学率增加了，故B正确， 由图中只能知道入学率，没有人数基数，故CD错误. 故选：. 10. 某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据所给空间几何体的形状，逐项判断即可. 【详解】根据所给空间几何体的形状， 可得空间几何体利用现在放置方式能通过C，现在放置方式由在向物体后方旋转90度可通过B， 由现在位置向右旋转90度再向后方旋转180度可通过A， 以任何方式均不能通过D. 故选：ABC. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于32 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，当抛物线在点处的切线与直线垂直，且抛物线在点处的切线与直线垂直时，最大，可判断C；对于D，求出抛物线在点处的切线，并求出切线与轴的交点的坐标，可知半个花瓣的面积小于的面积，可判断D. 【详解】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，故A正确； 对于B，根据A项分析，由，解得或，即， 代入可得，即 由图象的对称性，可得，所以，故B错误； 对于C， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由，可得，且方程即为， 解得，，此时切点坐标为， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由，可得，此时方程即为， 解得，，此时切点坐标为， 两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线平行或重合， 故当、时，取最大值， 且其最大值为，即直线截第一象限花瓣的弦长最大值为，故C正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为， 所以抛物线在点处的切线方程为，即， 令，可得， 该切线交轴于点， 所以半个花瓣的面积必小于， 故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共15分） 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】通过赋值法即可求解. 【详解】令，可得：， 令，可得：， 所以， 所以， 故答案为： 13. 已知圆锥与圆柱的底面半径相等，它们的高也相等，若圆柱的底面积为，侧面积为，则圆锥的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱、圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为， 则由，得， 又由，得， 所以圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积， 则圆锥的表面积. 故答案为：. 14. 已知，，且动点满足.则的取值范围为__________；若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，则的正切值的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】建立适当坐标系，设，利用向量模长的坐标运算求出点P轨迹方程，再利用数量积定义即可求解空1；由题设结合椭圆定义得到Q点的轨迹，再根据图形特征得到当QB与椭圆相切时，的正切值最大，接着设直线方程，联立椭圆，利用判别式求出直线即可进一步求解. 【详解】，，，. 以中点为原点，所在直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系， 则，设， 则 因为，所以，整理得， 点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆. ； 线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，， 点的轨迹是以A，M为焦点、长轴长为2、短轴长为的椭圆， 所以该椭圆的方程为，当QB与椭圆相切时，的正切值最大， 设直线的斜率为k，则，直线的方程为， 联立， 令，即， 所以的正切值最大为. 故答案为：； 四、解答题（共77分） 15. 已知、、分别为斜中角、、的对边，． （1）求； （2）已知的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，由已知条件及正弦定理化简得出，再利用正弦定理可求得的值； （2）由三角形的面积公式结合同角三角函数的基本关系可求出、的值，利用余弦定理可得出，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 即， 因为为斜三角形，所以，故， 由正弦定理可得． 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 所以， 即， 因为，则，故，所以， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时，取最小值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 是菱形，是对角线， ， 又平面平面， ， 又平面平面， 平面， 又平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直以及线面垂直的性质，通过线面垂直的判定定理证明平面，进而得到； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及向量，再根据线面角的向量公式（其中为直线的方向向量，为平面的法向量，为直线与平面所成角）求出线面角的正弦值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量为， 由，得，得， . 17. 2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）： 航天爱好者 非航天爱好者 合计 女 40 60 100 男 70 30 100 合计 110 90 200 （1）能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？ （2）现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望. 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关 （2） 1 2 3 ， 【解析】 【分析】（1）由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断； （2）按分层抽样得到A、B组的男女生人数，则A组中女生人数的可能值为1，2，3，从而求出取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 所以有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关. 【小问2详解】 按分层抽样，100名男生中，抽取“航天爱好者”有7人，“非航天爱好者”有3人， 100名女生中，抽取“航天爱好者”有2人，“非航天爱好者”有3人. 故A组有男生7人，女生2人，B组有男生3人，女生3人. 从这两组中各任意选取一人进行交换，经过一次交换后， A组中女生人数为，则的可能值为1，2，3. ，，. X的分布列如下表： 1 2 3 . 18. 已知函数，． （1）当时，求在上的值域； （2）证明：曲线与在点处存在公切线. 【答案】（1）； （2）证明：由，得，则， 又，故在点处的切线方程为． 同理，由，得，则， 又，故在点处的切线方程为， 所以与在处存在公切线． 【解析】 【分析】（1）当时，则，通过求导判断函数的单调性，即可求解； （2）根据导数的几何意义，分别求出与在点处得切线方程，即可证明. 【小问1详解】 若，则，得， 令，解得， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有最大值，， 当时，，当时，， 故在上的值域为． 【小问2详解】 略 19. 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． （1）根据牛顿迭代法，求； （2）求与的关系式； （3）牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由（1）知，函数在处的切线方程为. ①先证：当的图象恒在切线的上方， 即当时，，即. 令，则， 易知，令， 可得，易知， 在单调递减，在单调递增， 又，，， 存在使得， 在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又， 当时，，即，即. ②下证：. 即，即. 令， 则，则在单调递减，在单调递增， 又， 显然当时，恒成立，即恒成立， 由①②可得. 【解析】 【分析】（1）求得在处的切线方程，计算切线与轴交点的横坐标即可求得； （2）求出函数在处的切线方程，再求出切线与轴交点的横坐标即可得与的关系式； （3）根据题意求出函数在处的切线方程为，即证明可得出结论. 【小问1详解】 ，，， 当时，，， 因此切线， 当时，可得； 【小问2详解】 当切点为时切线方程为：. 当时，可得： ， 即； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用牛顿迭代法中蕴含的“以直代曲”的数学思想，求出函数在处的切线方程，分别证明在切线的两侧即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第75百分位数为（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 23.5 4. 已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现. 就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是（ ） A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm就能回到原处 B. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分 C. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），最终得到纸带的边缘周长为120cm D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面 二、多选题（共18分） 9. 我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（ ） A. 2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量 B. 2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4% C. 2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数 D. 2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍 10. 某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（ ） A. B. C. D. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于32 三、填空题（共15分） 12. 若，则______. 13. 已知圆锥与圆柱的底面半径相等，它们的高也相等，若圆柱的底面积为，侧面积为，则圆锥的表面积为__________. 14. 已知，，且动点满足.则的取值范围为__________；若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，则的正切值的最大值为__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知、、分别为斜中角、、的对边，． （1）求； （2）已知的面积为，求的最小值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）： 航天爱好者 非航天爱好者 合计 女 40 60 100 男 70 30 100 合计 110 90 200 （1）能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？ （2）现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望. 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数，． （1）当时，求在上的值域； （2）证明：曲线与在点处存在公切线. 19. 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． （1）根据牛顿迭代法，求； （2）求与的关系式； （3）牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $