2025届吉林省吉林市东北三省教育教学联合体5月联考模拟预测数学试题

高三数学 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第75百分位数为（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 23.5 4. 已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现. 就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是（ ） A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm就能回到原处 B. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分 C. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），最终得到纸带的边缘周长为120cm D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面 二、多选题（共18分） 9. 我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（ ） A. 2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量 B. 2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4% C. 2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数 D. 2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍 10. 某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（ ） A. B. C. D. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于32 三、填空题（共15分） 12. 若，则______. 13. 已知圆锥与圆柱的底面半径相等，它们的高也相等，若圆柱的底面积为，侧面积为，则圆锥的表面积为__________. 14. 已知，，且动点满足.则的取值范围为__________；若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，则的正切值的最大值为__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知、、分别为斜中角、、的对边，． （1）求； （2）已知的面积为，求的最小值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）： 航天爱好者 非航天爱好者 合计 女 40 60 100 男 70 30 100 合计 110 90 200 （1）能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？ （2）现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望. 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数，． （1）当时，求在上的值域； （2）证明：曲线与在点处存在公切线. 19. 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． （1）根据牛顿迭代法，求； （2）求与的关系式； （3）牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 高三数学 一、单选题（共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（共18分） 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ## 四、解答题（共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 证明：连接， 是菱形，是对角线， ， 又平面平面， ， 又平面平面， 平面， 又平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1）有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关 （2）分布列见解析， 【18题答案】 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $