东北三省精准教学联盟2025-2026学年高三上学期10月联考数学试卷

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 2025年10月高三联考 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 数学 9.设实数a,b,e满足-3<a<l<h<2<e,则下列结论正确的有 本试卷满分150分，考试时间120分钟. A.1<2-a<7 B.ln(c2+1)<ln(b2+1) D.若e=6.则b+c2有最小值12 注意事项： C.w>0 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 10.已知平面向量a=(-1,x+1),b=(2x,1),下列说法正确的是 2.回客选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 A.若a⊥b,则x=1 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 B.存在xeR,使得ab 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 C.若x=0,则1a+b1= D者=-1，则a在b上的投影向量的坐标为刈子引 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 11.对于定义在R上的函数八x)与函数g(x),若存在非零实数a使得八x),g(x)在定义域内满足八x)+-x)= 1复数：2025+的虚部为 2-i g(x),则称g(x)为八x)的狭义对称函数，下列说法正确的是 4.2027 5 B2022 5 C4049 5 D.049 A若尺x)=2x,则y=x为fx)的狭义对称函数 5 B.若八x)=e.则y=-为风x)的狭义对称函数 C.若y=x为八x)的狭义对称函数，则八x)存在零点的充要条件为f(x)不存在极值点 到 2已知集合A=x1Ix-21≥1，则集合(C.A)门N的子集个数为 D.若y=-:'为八x)的狭义对称函数，则八x)存在零点的充要条件为(x)不存在极值点 A.1 B.2 C.4 D.8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 三设甲：0为第一象限角，乙：一>0.则甲是乙的 12△c中，设D为线段c的中点.记花=nrn位，则会 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 【e+2x+a,x>-1, C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.已知函数f八x)= 的图象恒在x轴的上方，则：的取值范围为 5--4,x-1 4.已知幂雨数x)=(。)a+2x的定义或为R,则a)= 14已知函数)=cmr+emar+）(o>0).若曲线y=x)与直线y=5在区间(0,2m)上有且仅有2个交点。 B.1 C.4 D.8 则仙的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 5设m侣则后= 15.(13分)记S.为数列1a,的前n项和.已知S,-a.=(-1)(n-6). (1)求a,并求a.|的通项公式； 9 B5 e号 (2)求1Ia.|月的前n项和T 6.某幼儿园老师为了奖励舞蹈比赛成绩前4名的小朋友，将购买的64块巧克力分给她们，使每人所得巧克力的块 数成等差数列.且使较多的两份巧克力的块数之和是最少一份巧克力的块数的12倍，则分得巧克力块数最多的 小朋友得到 A.22块 B.24块 C.28块 D.36块 7.记△ABC的内角A,B.C的对边分别为a,b,e,b=7,a=4,D为边AB上靠近点B的三等分点，若CD=19.则e= A.4 B.5 C.6 D.7 8.已知函数f八x)=x+x+b,g(x)=x-1,h(x)=2x-3x+1,若xeR,g(x)f代x)≤h(x),则a= A.4 B.I C.2 D.-1 数学第1页（共4页） 数学第2页（共4页） 16(15分)记△4C的内角A,B,C的对边分别为a,6c,且B≠2C,:C2 18.(17分)设函数八x)=ax3-x2+1,ab>0. (1)当a=b=1时，求曲线y=f八x)在点(1八1))处的切线方程： (1)证明：A=C: (2)讨论f(x)的单调性； (2)若b=3,c=2,求△4BC的而积. (3)若方程f(x)=0有且仅有三个不同的实根，且a>b,证明：八a)>f八b). .(15分)设首项为2的数列1a,满足2 19.(17分)把一列函数f(x)(x),…,f(x),按一定次序排列称为函数列，记为f(x)(n后N）.已知函数列 (1)求数列a.的通项公式： R(和G(的通项公式分别为()名m,0≤2,6（三，h2.0≤≤2 (2)若m为整数，且对任意neN,a.≥m,求m的最大值： (1)求F:(x)的零点和G(x)的最值： (3)设6，(m.+(a+la+灯求数列6，的前n项和了 （a证明：血（血学a, (3)讨论G.(x)的单调性，并证明：当n为奇数时，G(x)至少存在两个零点 数学第3页（共4页） 数学第4页（共4页）2025年10月高三联考 数学 1.A 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.c 8.D 9.AC 10.ACD 11.AD 182-6 2335 12.-2 14. 12'12 -n2+5n,n<3, 15.(1)a1=-4:an=2n-6(6分)(2)Tn= (7分) n2-5n+12,n≥3 【解析】(1)当n=2时，a1=S2-a2=1×(-4)=-4.…2分 因为Sn-an=(n-1)0n-6),所以Sn+1-a1=n(n-5),…3分 两式相减得Sn1-Sn一an+1+a,=n0-5)-(n-1)0n-6)，…5分 整理得0n=2n-6.… …6分 【另解】当n=2时，a1=S2-a2=1×(-4)=-4.… …2分 当n≥2时，Sn1=Sn-an=(n-10n-6)=n2-7n+6,Sn=Sn1-an1=n2-5n, …3分 两式相减得an=Sn-Sn1=(n2-5n)）-(n2-7n+6)=2n-6，…5分 经检验，当n=1时，g=-4,符合上式，所以an=2n-6.…6分 (2)由(1)可得数列{an}为等差数列.当n<3时，an<0,an=6-2n,…7分 此时7=n6-2+6-20=-2+5n,8分 2 当n≥3时，an≥0，Sn=an+(n-1)(n-6)=2n-6+f-7n+6=n(n-5),…10分 所以Tn=a1+a2+a3+…+an=Sn-2(a1+a2)=n2-5n+12.…12分 综上，Tn= -n2+5n,1n<3, …13分 n2-5n+12,n≥3. 第1页共10页 【另解】当n<3时，a<0,4n=6-2n,…7分 此时7=n6-2+6-20）=-n2+51, 8分 当n≥3时，an≥0， 所以Tn=a+a2+a3+…+an=-a1-a2+a3+a4+…+an= 6+m-20+2m-6）--5n+12. 12分 -n2+5n,n<3, 综上，1=2-5m+12n≥3. …13分 评分细则： (1)求出a1给2分；推导出0n=2n-6给4分 (2)推导出当n<3时，T= (6-2+6-2m=-n2+5n给2分：推导出当n≥3时， 2 -n2+5nn≤3， T=n2-5n+12给4分；下结论给1分，过程的情给分. n2-5n+12,n>3 [-n2+5n,n≤2， -n2+5n,n≤3， 或T 也给分（其他形式如果正确也给分) n2-5n+12,n≥3 n2-5n+12,n≥4 16.(1)证明见解析(7分)(2) 3V7 (8分) 4 【解析】(1）因为+05A-2,所以由正弦定理可得A+C0sA-2,…1分 c cosC sin C cosC 所以sin AcosC+cos AsinC=2 sin CcosC, 即sin(A+C)=sin2C.. …3分 又A,B,C是△ABC的内角， 所以sin(A+C)=sinB,即sinB=sin2C,…4分 而B≠2C,则B+2C=元.… …6分 又因为A+B+C=元，所以A=C.…7分 (2)由(1)可知A=C,则Q=C=2,…8分 所以由余弦定理可得cosB=Q+2-1 …12分 2ac 8 第2页共10页 所以sinB=-cos'B=37 …13分 所以SAABC=)ac sinB= 3v5 …15分 2 4 【另解】由(1)可知A=C,则a=c=2, …8分 在等腰三角形ABC中，取AC的中点D,连接BD,则BDLAC,AD= 3 …10分 在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD=√AB2-AD2 13分 1 所以S△MBC=AC·BD=×3× 万3万 …15分 2 4 评分细则： (1)推导出sinB=sin2C给4分；推导出B+2C=元给2分；推导出A=C给1分. (2)推导出a=2给1分；推导出cosB= 给4分：推导出smB=3万给1分： P 推导出S△4BC= 3给2分，过程的情给分（教导出a=2给1分：报子出4D-给2分 4 推导出D= 给3分；推导出S△ABC 35给2分) 4 2” (5分)(2)2(6分)(3)7，=32+1 1 1 17.(1)an= (4分) n 【解析】(1)因为1=，所以(n+1)a1=2n0n…2分 2nn+1 又4=2≠0，所以数列{nan}是以2为首项，2为公比的等比数列，…3分 所以nan=2”，… …4分 2" 所以数列{an}的通项公式为a,= …5分 n 2nn+7,所以2u=2n 【另解】因为a1=4,、 0n+1 …2分 由累乘法， 得4，=4×±×x×2×4-20-》x20-=2x22x2X1x2-2≥2， X an1 an-2 d2 a n n-1 3 2 n …4分 当n=1时，a,=2,也满足上式， 第3页共10页 所以数列{an}的通项公式为an= 2"” .…5分 n (2)由题意可知m≤(an)mim, …6分 由(1)可知an+1-an= 212”(n-1)2” …8分 n+1 n n2+n 易得an+≥an对neN恒成立（当且仅当n=l时取等号），即a1=a2<a3<a4<<an, 故{an}有最小值a,=2=2,…l0分 故m≤2，即m的最大值为2.… …11分 【另解】由题意可知m≤(an)min, …6分 2” 由(1)可知an=一， n 设f0=2,则f=2xn2- ,…8分 1 令f'(x)>0,则x> 、,此时f(x)单调递增… …9分 In 1 血2>故<2，故/②</3<4<<九 In 2 即a2<a3<a4<…<an,而a1=a2=2, 故{an}有最小值1=☑2=2，…10分 故m≤2，即m的最大值为2.… …11分 2 20 1 1 (3)易得6。(m,+1[0+a+可(2”+(2+可）2”+12+1' …13分 11,11 1111 所以7。=2+4+1+4+18+1++2”+12+132+打 十…十 …15分 评分细则： (1)推导出数列{nan}是等比数列给3分；推导出nan=2”给1分：推导出a, 2 n 拉导出“=2分：推子出0，≥2羚2分：推手出 2给1分) n (2)推导出m≤(an)mim给1分；推导出(an)mim=2给4分；推导出m的最大值为2给 1分 第4页共10页 (3)推导出bn= 11 2”+12"*1+1 给2分：推导出Tn= 32"1+1 给2分，过程酌情给分 18.(1)x-y=0(3分)(2)答案见解析(7分)(3)证明见解析(7分) 【解析】(1)当a=b=1时，f(x)=x3-x2+1,fI)=1,… …1分 所以f'(x)=3x2-2x,f'()）=1,…2分 故曲线y=f(x)在点(L,f(I)处的切线方程为y-1=1(x-1),即x-y=0…3分 (2)易得f'(x)=3ax2-2hx=3ax …4分 3a 令f'(x)=0,解得x=0或x= 2b >0.… …5分 3a ①若a>0,则当x∈(-0,0)时，f'(x)>0,函数f(x)在(-oo,0)上单调递增： 2b 2b 当x∈0 3a 时，f'(x)<0,函数f(x)在0， b 上单调递减；当x∈ 时， 3a 2b f'(x)>0,函数f(x)在 上单调递增… …7分 ②若a<0,则当x∈(-0,0)时，∫'(x)<0,函数f(x)在(-0,0)上单调递减； 2b 当x∈0， 上单调递增；当x∈ -0 时， 3a 时，'(x)>0,函数f()在0， 3a 2b f'(x)<0,函数f(x)在 上单调递减… …9分 2b 综上所述，当a>0时，函数f(x)在(-oo,0)和 ,+上单调递增，在 0 上单调 3a 3a 2b 递减；当a<0时，函数f(x)在(-oo,0)和 上单调递减，在 0. 上单调递增： 0 3a …10分 (3)若a<0,函数f(x)在(-o,0)上单调递减， 0 2b 上单调递增， 3a 2b 2b 所以当x∈ 时，f(x)≥f(0)=1>0,此时方程f(x)=0在 -00 3a 上无实根， 3a 第5页共10页 …11分 而当x∈ 2b 时，f(x)单调递减，且当x→+o时，f(x)→-0，故方程f(x)=0 2b 上有且仅有一个实根，不符合题意，…12分 故a>0,易知此时方程f(x)=0在(-0,0)上有一个实根，则为使方程f(x)=0在(0，+∞) 2b 上有两个不同的实根，需满足∫ …13分 3a 即a a +1<0, 27a90+1<0,即46>27a2.…15分 8b34b 27、 2.2b 由a>b>0知4b3>27a2>27b2,所以a>b> >1> …16分 4 33a 故f(x)在(b,a)上单调递增，于是有f(a)>f(b) …17分 评分细则： (1)推导出f(x)=x3-x2+1,f①)=1给1分：推导出f'(x)=3x2-2x,f'(①)=1给 1分：推导出切线方程x-y=0给1分 2b 2b (2)推导出f'(x)=3a 给1分；推导出f'(x)=0的根为x=0和x= 给 3a 1分；推导出a>0时，f(x)的单调性给2分；推导出a<0时，f(x)的单调性给2分： 下结论给1分. (3)推导出a<0时，不符合题意给2分；推导出a>0时，4b3>27a2给3分： 2b 推导出a>b> 给1分：推导出f(@)>f(b)给1分，过程酌情给分 3a 19.D的零点为0，行，誓2（度=0，=号，=元， 4π 3，x=2元)： G,(国的最小值为 &+n2,最大值为n25分 (2)证明见解析(6分)(3)答案见解析(6分) 【解析】(1)由题意可得F(x)=sinx+sin2x=sinx(1+2cosx),…1分 令FE(y=sin0+2c0sx)=0,得sinx=0或cosx=- 2” 第6页共10页 所以B在02可上的零点为0，否，，行，2m《或x=0,x- 3，t=元，x= 4π 3, x=2π)… …2分 G2(x)=cosx+cos2x+In2,G,'(x)=-sinx-sin 2x=-F(x), …3分 所以G,()在区间0,2 2π 3 上单演，在区同（小上单闲随增。在区同到 上单调 递减，在区间 3,2π上单调递增， 4 …4分 又G(0)=。+ln2, 2π）3 4π) 2 4 4 G2w-号h2. 所以a=-G0=ce-n2.a=a(）-a(}- +n2…5分 【另解】由题意可得F,(x)=sinx+sin2x=sinx(1+2cosx),…1分 令F,m)=sinx1+2cosx)=0,得sinx=0或cosx=-2 1 所以E)在2上些点为0，行，，号，2x(成=0，=号=，=号 3 X=2沉)，…2分 G,的三c0s+os2+n2=cog2x+cosx+n2=cosr+7-+h2,3分 由x∈[0,2π]，得cosx∈[-1，l], 4 (2)由积化和差公式，得sinasin=)cos(a-月)-cos(a+m], …6分 2 2 2-cos 2 2 21 …8分 再由和差化积公式，即cosa-cosB=-2sina+Bsin“-A …9分 2 2 2 2 …10分 2 2 故sin号F.(闭=sinsin+1r得i证.。 2 …11分 第7页共10页 (3)G闭∑+n2,0≤2 'i 求导得Gn'(x)=-sinx-sin2x-sin3x-…-sinnx=- ∑sinix=-Fn(x), sin sin (+)x 2 当x=0或x=2π时，G,'(x)=0,当x∈(0,2)时，由(2)知Gn'(x)=- 2 2 …12分 令G)=0,则空-x或-kaeN,解得x-2 或x=2kπ kEN"), n+1 所以G(x)在区间 0,2红）上单调递减，在区间 2π2π 上单调递增…在区间 'n+1 n+1n 2(n-1)π21π 上单调递减，在区间 2nπ ,2元 上单调递增… …13分 n n+1 n+ 置点函数值G,0=G,2m)=∑产2>0，易知直线=π为G.()图象的对称轴， 函数的对称性和单调性，可考虑证明G(π)<0，根据函数零点存在定理，此时G(x)至少存 在关于直线x=元对称的两个零点，从而只需证明G,()=2少+n2<0,即证当n为奇数 时，1-+1++5>n2. …14分 234 令”=2k+1∈)，则只需证明对任意的keN,都有1-+} 1 234 >ln2. 2k+1 由于1-411 234 2k+1( 1 k+2 2k+1’ 因此对任意的k∈N,只需证明， >n+2 k+1 血+，即可证明不等式.…15分 构造函数f)=1n1+)-x(x≥0)，则f'(x)=,-X<0(x≥0)，当且仅当x=0时取等号，则 1+x V)在0+o)上单调递减，从面0)=0≥0)，取x>0,得到 k+2 到+>血+ …16分 从而1-1+11 1 1 1 1 234 2k+1k+1k+2+…+2 )>h+ +h3 +…+ 2k+1“k+1k+2 n2k+2=n2, 2k+1 再根据函数零点存在定理及上述分析，G(x)至少存在两个零点，得证.…17分 评分细则： 第8页共10页 (1)推导出F(x)的零点给2分；推导出G(x)的最值给3分 (2n+1)x (2)推导出F(x)sin 22 给3分；推导出 2 2 1 2n+1)x nx (n+1)x sin-sin- 2 2 -COS- 2 2 给2分：下结论给1分 sin sin )x (3)推导出G'(x)= 2 (x∈(0,2π》给1分：推导出G,(x)在[0,2π]上 sin 2 的单调性给1分：转化为当n为奇数时，1 234 L>n2给1分：最终证明G() n 至少存在两个零点给3分，过程的情给分 第9页共10页 数学考点细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 单选 复数的概念、复数的除法运算 易 绝对值不等式的解法，集合的交、补运算，子 2 单选 5 易 集的个数问题 3 单选 充分、必要条件的判断，诱导公式的应用 易 4 单选 幂函数的概念、求函数值 易 5 单选 5 同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式 易 6 单选 5 等差数列基本量的计算 中 > 单选 5 利用余弦定理解三角形 中 8 单选 J 函数与不等式综合 中难 9 多选 不等式的性质、基本不等式的应用 易 平面向量坐标运算、模的运算、求投影向量坐 10 多选 标 必 11 多选 6 新定义、函数与导数综合 中难 12 填空 平面向量的线性运算 易 根据分段函数的单调性与最值求参数的取值范 13 填空 围 公 两角和公式、辅助角公式及利用三角函 14 填空 5 中难 数的图象与性质，求⊙的取值范围 15 解答 13 已知a,与Sn的关系求通项公式、数列求和 易 16 解答 15 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用 易 构造等比数列求通项公式、利用作差法解决恒 17 解答 15 中 成立问题、裂项相消法求和 18 解答 三次函数切线方程、讨论函数单调性、利用方 17 中 程根的个数证明不等式 以三角函数为载体的导数应用以及积化和差、 19 解答 17 难」 和差化积公式的应用 第10页共10页2025年10月高三联考 数学 1.A 【解析】因为复数z= 2t'=2025+i02+i0_4049+2027 一i,所以复数z的虚部 2-i(2-i0(2+i) 5 为2027 5 故选A. 2.B 【解析】由x-2≥1，得x-2≥1或x-2≤-1，解得x≥3或x≤1，所以A={x≤1或x≥3}，所 以CA={x<x<3},所以(C①∩N={2},故其子集个数为2.故选B. 3.A sin (3r-0 2 【解析】当O为第一象限角时，tan 30 >0,故甲是 sin tan cos 2 3元 乙的充分条件；当tan >0,即 >0时，日为第一象限角或者第三象限角，故 2 tan 甲不是乙的必要条件，因此甲是乙的充分不必要条件.故选A. 4.c 【解折1由琴药数的概念可得。-a+2=1,解附a=25或u=)当a=时，=。 21 2 定义域为[0，+o),不符合题意，舍去；当a=2时，f(x)=x2,定义域为R,符合题意， 所以a=2,所以f(a)=2=4.故选C. 5.D 【解析】由=倍角的余弦公式可得o。-君}-2oms台司}1写，所以 ma-cos口君=，所以g小-a-引±g5成选n 第1页共14页 6.C 【解析】由题可设4名小朋友每人所得的巧克力块数按从小到大的顺序排列为a,a2,a, a1+a2+a3+a4=64,m4a,+6d=64, a1=4, a4,公差为d,根据题意可得 即 a3+a4=12av 2a1+5d=12a, 解得d=8女 a4=41+3d=28.故选C. 7.C 【解析】设BD=x,则AD=2x,在△ADC中，由余弦定理得 COS ZADC=4D'+CD2-AC24x+19-49 ,同理在△BDC中，可得 2AD·CD 2.2x√19 cos∠BDC=x2+19-16 因为∠ADC+∠BDC=元，所以coS∠ADC+cos∠BDC=0,即 2xV19 4+19-49++19-16=0,解得x=2或x=-2(舍)，所以c=3x=6.故选C. 2.2xV192xV19 8.D 【解析】因为x∈R,g(x)≤f(x)≤h(x),且g(I)=h(I)=0,则必然有fI)=0,所以 1+a+b=0,即b=-a-1,所以f(x)=x2+ax-a-1=(x+a+1)(x-1)·又因为 h(x)=(2x-1)(x-1),故x-1≤(x+a+1)x-1)≤(2x-1)(x-1),可得 (x+a)(x-1)≥0， 均在R上恒成立，则-a=1且a+2=1,所以a=-1(快解：由 1(x-a-2)(x-1)0 g(I)=f(I)=0且g(x)≤f(x)在R上恒成立，结合图象可知，直线g(x)为f(x)在x=1处 的切线，所以f'()=2+a=1,所以a=-1,经检验，当a=-1时， x∈R,g(x)≤f(x)≤h(x),符合题意).故选D. 9.AC 【解析】对于A,由题意可得-1<-a<3,2<2b<4,故1<2b-a<7,A正确；对于B, 由复合函数单调性可得函数y=ln(x2+1)在(0，+o)上单调递增，且c>b>0,故 ln(c2+1)>ln(b2+1),B错误；对于C,易得bc>2>a,C正确；对于D,由基本不等式可 得b2+c2≥2bc=12,当且仅当b=c时等号成立，但b<c,故b2+c2无最小值，D错误 第2页共14页 10.ACD 【解析】对于A,若a⊥b,则a·b=0,即-2x+x+1=0,解得x=1,A正确；对于B, 若a∥b,则-1×1=2x(x+1),整理得2x2+2x+1=0,4=22-4×2×1<0,此方程无解，故 不存在xeR,使得a∥b,B错误；对于C,若x=0,则a+b=(-l,2),所以a+b=√5， C正确：对于D,若x=-1,则a=(-1,0),b=(-2,1),则ab=2,b=√5，所以a在b上 的数能向为o的合价合子-（引D正疏 11.AD 【解析】若f=2x,则f+af(-0)=2x+a-2-)=(2-2ax,当2-2a=1,即a=时， (2-2ax=x,满足条件，A正确：若f(x)=e*,则f(x)+af(-x)=e+aex=1+a·e2)e, 令1+a·e2r=-1,得a=-2e2,但-2e2r随x变化，故不满足条件，B错误；若y=x为f(x) 的狭义对称函数，则存在非零实数a,使得f)+f-)=x,取a=-1,f)=+x2, 2 则了)--)=+）（2+=x,满足条件，但了)=+2同时存在零点与极值点， ● C错误；若y=-e为f(x)的狭义对称函数，则存在非零实数a,使得f(x)+af(-x)=-e“, 将x替换为-x,得f(-x)+af(x)=-e,解方程组 f)+a时(-)=-e,当a=士1时，方程 f(-x)+af(x)=-e, 组无解，当a≠±1时，f=-e+ae-e-ae ,令f(x)=0,则e2x=a,故当a>0(a≠1) 1-a2 a2-1 时，函数f()存在零点，求导得f')=e+a a2-1 -,令f'(x)=0,则e2r=-a,故当a<0(a≠-l) 时，函数f(x)存在极值点.因此，f(x)存在零点的充要条件为f(x)不存在极值点，D正确. 12.-2 【解析】由题意可得AC=AB+BC=AB+2BD=AB+2(AD-AB)=2AD-AB,所 以m=2,n=-1,所以m=2=-2 n-1 【另解】因为D为线段BC的中点，则D=B+AC), 即AC=2AD-AB，所以 m=2,n=-1,所以m=2 =-2 n-1 第3页共14页 132-6 【解析】当x>-1时，e+2x+a>0恒成立，易知函数y=e+2x+a为增函数，则 2+u≥0，解得a≥2-：当≤-1时，-a+5-x>0恒成立，即(-a+5-)m>0, e e 因为y=-a+V5-x在(o,-1上单调递减，所以当x=-1时，y=-a+√5-x取得最小值 -a+√6，由-a+√6>0，解得a<√6.综上，a的取值范围为 2-6) 2335 1412'12 解折】因为fd=cosx+cosx+-3 -cos@x+-cOSa-3inam 2 o-5x+引ar+引-，6mor+-l 2 即0x+-2a,eZ,可符x=2k- 6 6,k∈Z. 由题意可得， 2k-1)元-π2km-刀2k+10m-元2+2)m-π 6≤0<— 6 6<2π≤ 6,k∈Z, 2k--1<0<2k-2,kez0, 6 h 即 2+0.202+2名ez@, 6 23 2335 由①可得k=1,代入②可得 <20535,解得0∈ 6 6 12'12 【另解)f)=c0sor+cosr-5si 3 -sin @x π 2 2 cos ox- 2 2 sin ox=cos ox+ 6 令t=ox+ 6 （正，20m+ （6 6 因为曲线y=f(x)与直线y=√5在区间(0,2π)上有且仅 有2个交点，则曲线y=√5cost与直线y=√3在区间 2x+ 上有且仅有2个交点， 易知这2个交点的横坐标分别为2元，4r,则4红<20m+刀≤6m,解得0∈ 2335 6 12’12 第4页共14页 [-n2+5n,n<3, 15.(1)a=-4;a,=2n-6(6分)(2)Tn= (7分) n2-5n+12,n≥3 【解析】(1)当n=2时，a=S2-a2=1×(-4)=-4.…2分 因为S-an=(n-l)0n-6),所以Sn1-+1=nn-5),…3分 两式相减得Sn1-Sn-an41+a,=n0-5)-n-1)0n-6),…5分 整理得4n=2n-6.… ……6分 【另解】当n=2时，41=S2-a2=1×(-4)=-4.… …2分 当n≥2时，Sn1=Sn-an=(n-1)0n-6)=n2-7n+6,Sn=Sn1-an1=n2-5n, …3分 两式相减得an=Sn-Sn-1=(n2-5n)）-（(n2-7m+6)=2n-6,…5分 经检验，当n=1时，41=-4，符合上式，所以an=2n-6.…6分 (2)由(1)可得数列{an}为等差数列.当n<3时，an<0,an=6-2n,…7分 此时7=n6-2+6-20=-2+5n,8分 2 当n≥3时，an≥0，Sn=an+(n-l)(n-6)=2n-6+f-7n+6=(n-5),…10分 所以Tn=a1+a2+a3+…+an=Sn-2(a,+a2)=n2-5n+12.…12分 -n2+5n,n<3, 综上，工= …13分 n2-5n+12,n≥3. 【另解】当n<3时，an<0,an=6-2n,…7分 此时7=6-2+6-20）-m2+50, 2 …8分 当n≥3时，an≥0， 所以Tn=a1+a2+a3+…+an=-a1-a2+a3+a4+…+an= 6+a-20+2m=6）-2-5n+12. …12分 2 第5页共14页 -n2+5n,n<3, 综上， …13分 n2-5n+12,n≥3. 评分细则： (1)求出a,给2分；推导出an=21-6给4分 (2)推导出当n<3时，T,= (6-2+6-2n) =-n2+5n给2分：推导出当n≥3时， 2 -n2+5n,n≤3， T,=n2-5n+12给4分；下结论给1分，过程的情给分. n2-5n+12,n>3 -n2+5n,n≤2， 或T -n2+5n,n≤3， 也给分（其他形式如果正确也给分） n2-5n+12,n≥3 n2-5n+12,n≥4 16.(1)证明见解析(7分)(2) 3V7 (8分) 4 【解析】()因为9+c0sA=2,所以由正弦定理可得A+co5A=2,…1分 c cosC sin C cos C 所以sin AcosC+cos Asin C=2 sin CcosC, 即sin(A+C)=sin2C.… …3分 又A,B,C是△ABC的内角， 所以sin(A+C)=SinB,即sinB=sin2C,…4分 而B≠2C,则B+2C=元.… …6分 又因为A+B+C=π，所以A=C.… …7分 (2)由(1)可知A=C,则Q=C=2,…8分 所以由余弦定理可得cosB=+2-B2 1 …12分 2ac 所以sinB=-cos'B=3V7 8 …13分 所以S△HBc=)acsin B= 3√7 …15分 2 4 【另解】由(1)可知A=C,则a=c=2, …8分 在等腰三角形ABC中，取AC的中点D,连接BD,则BDLAC,AD=3 …10分 在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD=√AB2-AD V7 …13分 所以5a版-4C-Bn=×3x万35 15分 2 2 第6页共14页 评分细则： (1)推导出sinB=sin2C给4分；推导出B+2C=元给2分：推导出A=C给1分. (2)推导出a=2给1分；：推导出cosB=-。给4分；推导出sinB 8 3万给1分： 8 推导出S△ABC= 35给2分，过程的情给分（推导出4=2给1分：推导出D=给2分 4 2 推导出D-给3分：推导出5Ac 35给2分) 2” (5分)(2)2(6分)(3)7，=32+ 1 1 17.(1)an= (4分) n 【解析】(1)因为=，所以(n+1)a41=2n0 …2分 2nn+1 又4=2≠0，所以数列{nan}是以2为首项，2为公比的等比数列，…3分 所以nan=2”,… …4分 所以数列{an}的通项公式为an= 2” …5分 【另解】网为所以之升 an n+1 …2分 由累乘法， 得a,=×8L×x9×2×4-2-》x2n-2xx2x2x2X1×2-26m≥2. an-1 an-2 a241 n-1 3 2 …4分 当n=1时，a1=2,也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an= 2 …5分 n (2)由题意可知m≤(an)min,… …6分 2m+12”(n-1)·2” 由(1)可知a1-a.=n+1n+n ,…8分 易得ant≥an对neN恒成立（当且仅当n=1时取等号），即a1=a2<a3<a4<…<an, 故{an}有最小值a1=a2=2,… …10分 第7页共14页 故m≤2，即m的最大值为2.…11分 【另解】由题意可知m≤(an)min,…, 6分 由(1)可知an= 2" n 设f0=3,则∫)-2xn2-山 …8分 x2 令'(x)>0,则x> D)此时/)单调递增 …9分 又n2s1, 5故<2，故f2<f)</4<<f0 In 2 即a2<a3<a4<…<an,而a1=a2=2, 故{an}有最小值4=a2=2,… …10分 故≤2，即m的最大值为2…11分 2” 2" 11 (3)易得，(a,+10+1)a1+可(2+1(2+可2+12+1' …13分 11,11 1111 所以7。=2+4++4中8++…+ 2”+12n*1+132n+1+1 …l5分 评分细则： 2 (1)推导出数列{a,}是等比数列给3分；推导出nan=2”给1分；推导出a,= 一给 n l分(a等出22分：导出，三阅给2分：教导出0之给1分》 n n (2)推导出m≤(a,n)min给1分：推导出(a,)min=2给4分；推导出m的最大值为2给 1分 ⑧物学出线2外鲜去万-合 11 ,给2分，过程的情给分 18.(1)x-y=0(3分)(2)答案见解析(7分)(3)证明见解析(7分) 【解析】(1)当a=b=1时，f(x)=x3-x2+1,f()=1,…1分 所以f'(x)=3x2-2x,f'(I)=1,…2分 故曲线y=f(x)在点(I,f(I)处的切线方程为y-1=1(x-1),即x-y=0.…3分 第8页共14页 (2)易得f'(x)=3ax2-2bx=3ax 2b …4分 Ba 2b 令'(x)=0,解得x=0或x= >0.… …5分 3a ①若a>0,则当x∈(-0,0)时，f'(x)>0,函数f(x)在(-o0,0)上单调递增： 2b 2b 当x∈0 2 时，f'(x)<0,函数fx)在 0, 上单调递减；当x∈ ,+0时， 3 3a 2b f'(x)>0,函数f(x)在 上单调递增 …7分 ②若a<0,则当x∈(-0,0)时，f'(x)<0,函数f(x)在(-0,0)上单调递减； C时，四>0，函数了准0 2b 当x∈0， 上单调递增：当x∈ ,+0时， 3a f'(x)<0,函数f(x)在 2b 上单调递减 。。。... …9分 2b 综上所述，当a>0时，函数f(x)在(-o0,0)和 2b 30 上单调递增，在0， 3a 上单调 2b 2b 递减；当a<0时，函数f(x)在(-oo,0)和 上单调递减， 在0， 上单调递增， 3a …10分 2b (3)若a<0,函数f(x)在(-o,0)上单调递减， 0 上单调递增， 3a 2b 所以当x∈ 2b 00, 时，f(x)≥f(0)=1>0,此时方程f(x)=0在 -00, 上无实根， 3a 3a …11分 而当x∈ 2b 时，(x)单调递减，且当x→+0时，f(x)→-o,故方程(x)=0 在 上有且仅有一个实根，不符合题意，… …12分 故a>0,易知此时方程f(x)=0在(-0,0)上有一个实根，则为使方程f(x)=0在(0，+o) 第9页共14页 2b 上有两个不同的实根，需满足∫ <0,…13分 3a 即a 26 2b +1<0, 27a97+1<0,即462>27a2.…15分 8b34b 由a>b>0知46>27a2>27b2,所以a>b> 27 2.2b >1> …16分 4 33a 故f(x)在(b,a)上单调递增，于是有f(a)>f(b) ·17分 评分细则： (1)推导出f(x)=x3-x2+1,f(①=1给1分：推导出'(x)=3x2-2x,f(①=1给 1分：推导出切线方程x-y=0给1分 (2)推导出f'(x)=3a 给1分；推导出f'(x)=0的根为x=0和x= 26 给 Ba 3a 1分：推导出a>0时，f(x)的单调性给2分：推导出a<0时，f(x)的单调性给2分： 下结论给1分. (3)推导出a<0时，不符合题意给2分；推导出a>0时，4b3>27a2给3分： 2b 推导出a>b> 给1分；推导出f(a)>f(b)给1分，过程酌情给分 3a 19.)的零点为0，否，誓，2（或=0，=受=， 4 3’x=2元)： C的豪小恒为-子+n2:是大值为+h25分) (2)证明见解析(6分)(3)答案见解析(6分) 【解析】(1)由题意可得F(x)=sinx+sin2x=sinx(1+2cosx),.…1分 1 令F(x)=sinx(1+2cosx)=0,得sinx=0或cosx= 2 所以F(x)在[0,2π]上的零点为0， ，智2x=0, 3x=π，x=4 2 , X=2π) …2分 G2 (x)=cosx+cos2x+In2,G2'(x)=-sinx-sin 2x=-F(x), …3分 2 所以,()在区间Q等 上单调递减，在区间 (上单调递馆，在区间（ 上单调 递减，在区间 售2上单调道增。 …4分 第10页共14页