辽宁省营口市大石桥市第三高级中学2025届高三下学期模拟冲刺数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学冲刺卷 参考答案 1.C【命题意图】本题考查复数，要求考生理解复数的乘法和除法运算 【得是分相停+ 2.A【命题意图】本题考查三角函数，要求考生会用诱导公式和二倍角公式计算简单问题 【解题分析】sin410°=sin50°=cos40°=1-2sin220°=1-2m2. 3.C【命题意图】本题考查集合，要求考生理解集合的概念和性质. 【解题分析】，N二M,∴.M∩N=N,MUN=M,∴.A,B,D项错误，C项正确. 4,D【命题意图本题考查平面向量，要求考生理解平面向量数量积的运算性质。 2m√3 【解题分析cs音=a=2X有2，∴m或m=一（舍去）. 5.D【命题意图本题考查方程与不等式，要求考生有较好的数学运算素养 【解题分析】，(a2-4a十6)(b2-6b+12)=[(a-2)+2][(b-3)2+3]≥2×3=6， ∴.a=2,b=3,.∴.a+1=b,a十b=5<6,logb=log23<2,3°=9>8=2. 6.C【命题意图】本题考查条件概率，要求考生理解条件概率的公式和性质， 【解题分析】记事件A为“甲在第一科室实习”，事件B为“甲与乙不在同一科室实习”， 则P(A)-号：样本点的总数为nn)=CA=36, 事件A,B同时发生的情况种数为n(AB)=2A十C好A经=4十6=10， PAB)=0品2品品PB1A--x9-g 7.C【命题意图本题考查圆锥中的截面问题，要求考生会根据抛物线方程求焦点到其顶点的距离 【解题分析：圆维的高为P0,写x,2,P0-号，dP0=2 :M是PB的中点，0是AB的中点，AP/OM,OM=2AP=E. 截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M,故点O也在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为OM,焦点在OM上， 如图，建立以M为原点，OM为x轴，过点M的垂线为y轴的直角坐标系， 设抛物线与底面的一个交点为E,则xE=OM=√2，yE=2, 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则4=2中·√2，解得p=√2， 数学卷参考答案第1页 全国100所名校高考冲刺卷会 即该抛物线的焦点到顶点的距离为号」 8.A【命题意图本题考查递推数列，要求考生会用累加法求数列通项. 【解题分析】，'am+2=am+1十an(n∈N"),am=an+2一am+1, .a1=a3-a2,a2=a4一aa,a3=as一a4,,am=am+2一am+1 将这n个式子的左右两边分别相加，可得Sn=a1十a2十…十an=am+2一a2=am+2一1， ∴.Sn十1=amt2y .am=2(a1十a6十ag+十a2s)+l=a3十a3十a6十ag十ag+ag十…十az2s十a2s十1 =a1十a2十ag十a4+as十a6十a,十as十ag十…十a2m十a22u十a22s+1=S2s十1=a2m, .m=2027. 9.ABD【命题意图本题考查经验回归方程，要求考生能够依据回归方程进行数据估计，并根据 样本平均数求出参数， 【解题分析】，y=2z十a,.3.25=2×1.5十a,解得a=0.25,∴.A项正确； :增加两个样本点后工的平均数为2-一1+1=1,2，B项正确： 10 :增加两个样本点后)y的平均数为26十1+3=3， 10 ∴.3=1.5×1.2十b,解得6=1.2，.C项错误； 新的经验回归方程为y=1.5x十1.2，当x=2时，y=4.2,.D项正确 10.AD【命题意图】本题考查椭圆，要求考生会求椭圆在旋转过程中的不变量， 【解题分析】，2引xy≤x2+y2,∴.一(x2十y2)≤2xy≤x2+y2, .-(x2+y2)≤2xy=5x2+5y2-24≤x2+y2,解得4≤x2+y2≤6 该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值， 短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值， ∴.a=√6，b=2,∴.椭圆M的焦距为2√6一4=22， 六椭圆M的腐心率e=2-及 3,A,D项正确，B,C项错误 11,ACD【命题意图本题考查函数与导数，要求考生会用作差法比较大小且会用导数求函数的 最值 【解题分析】，当a=一1，b=0时，f(x)=一x3,函数f(x)在R上单调递减， .函数f(x)无极值，A项正确 ,当b>0时，f(a)-f(a+b)=a2(a-b)2-a3(a+b)=a2b(b-3a), 且a2b>0,b-3a>0,.a2b(b-3a)>0,.f(a)>f(a十b),.B项错误 数学卷趁考答案第2页 当b<0时，f'(x)=a(x-b)2+2ax(x-b)=3a(x-b)(x-),且a<0, ∴当x<b或x>号时，f(x)<0,当6<x<号时f'(e)>0, ∴.f(x)在x=b处取得极小值f(b)=0,C项正确 :当a<0,b>0时，fx)在[a,]上为减函数，在[名，]上为增函数， fx)在[e,b1上有最小值，且fe)m=(哈)-a·（台-6)-a·g 取a·答-a,可得6=3X2,下面考患了a)=a2a-6=6>0, 即x(x-3×2)2-3×2号=0在(-∞，0)上是否有解， 设：(x)=x(x-3X2)2-3X2片，则s0)=-3X2号<0， (-3)=9×(3+3×2)2-3X2号>9-3×2号>0， ∴.s(x)在(-o∞，0)上存在零点，设该零点为a,则f(a)=b>0, ∴.当b>0时，存在区间[a,b],f(x)在此区间上的值域也为[a,b],∴D项正确. 12.3【命题意图】本题考查三角函数的周期，要求考生会根据三角函数的图象判断周期. 【解题分标：语=子w=3. 13.Q【命题意图】本题考查函数的图象，要求考生会用排除法判断简单问题. 【解题分析】由题图可知固定位置到点A的距离大于到点C的距离，排除M,N两点；当固定 位置是P点时，小明与小华间的距离会先增加，然后诚小，与图2矛盾，∴排除点P,故小明选 择的固定位置可能是图1中的点Q: 14.号不36x(号)”【命题意图】本题考查立体几何，要求考生会解决多面体与球体相切的间题。 【解题分析如图，在四棱锥P-ABCD中，点O为底面正方形的中 心，则PO⊥底面ABCD, 令E为CD的中点，连接PO,PE,OE, 记球O,的半径为r1,设四棱锥的高为h,M为球O1与四棱锥的切 点，O1M⊥PE, B 侧面与底面所成的角为∠PE0=登心∠OPE=晋，h=1 cos 数学卷参考答案.第3页 十r1=3r1, n=号h=1,球0，的体积为号-号元由图可求得7+1=子r,=(号)， ∴球0.的表面积为4x=4(})-36x行)”， 15.【命题意图】本题考查立体几何，要求考生会证明面面垂直且会用向量法求平面与平面的夹角 的余弦值 【解题分析】(I):AC=BC,M是AB的中点，.CM⊥AB. ,DB⊥平面ABC,EABD,.EA⊥平面ABC,又CMC平面ABC,.CM⊥EA. ,EA∩AB=A,EAC平面AEM,ABC平面AEM, ∴.CM⊥平面AEM,.平面CEM⊥平面AEM. 5分 (2)以M为原点，MB,MC所在直线分别为x,y轴，过点M且竖直向 上的直线为z轴，建立如图所示的坐标系，则M(0,0,0),C(0,√2,0)， B(2,0,0),D(2,0,2),E(-√2,0,1)， Mi=(-√2,0,1)，M心=(0w2,0),Bi=(0,0,2),BC=(-√2w2,0). 设平面EMC的法向量为m=(x1,y1,之1)， [一√2x1十21=0， 则 取x1=1,解得y1=0,z1=√2，.m=(1,0W2) 2y1=0, 设平面BCD的法向量为n=(x2,y2,z2), -√2x2十2y2=0, 则 取x2=1,解得y2=1,z2=0,∴.n=(1,1,0). 2z2=0, 记平面EMC与平面BCD夹角为B, 1√6 ∴cos=cosm,n川=mit=2X,5=6, +平面BMC与平面BCD夹角的余弦值为。 13分 16.【命题意图】本题考查解三角形，要求考生会用正弦定理和余弦定理进行边角互化. 【解题分析】(1)"，2sinC=2 sin Acos B+sin(A十C), ..2sin C=2sin Acos B+sin B.'.'sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, .'.2sin Acos B++2cos Asin B=2sin Acos B+sin B, ∴2 AinB=snB.B∈(0，m,sinB>0,cosA= 数学卷参考答案 第4页 A∈(0，)，A= 3· 6分 (2)()'.'asin A=bsin C,.'.a2=bc..'b=2,..a2=2c. 由知A一青，mA统_牛丝-安》 2bc 4c 解得c=2,.a2=2c=4,a=2.… 12分 （)△ABC的面积为7 inA=号×2X2X号-月 …15分 17.【命题意图】本题考查双曲线，要求考生理解双曲线的定义和性质 【解题分析】(1)设点P的坐标为(xo,yo), N是AP的中点A(-2,0,B2,0,N2号，7小。 点N在直线=1上022-1，解得20-4：将其代入号-范1，解得0=士6 y 点P在第一象限，.P(4,6),N(1,3), 直线BN的方程为y=一3(x一2)，代人号益-1，整理得-6z十8=0， 解得x=2或x=4,.Q(4,一6)， △PQN的面积SoN=号(4-1DX(6+6)=18.…6分 (2)直线PQ经过定点(4,0).理由如下：设直线PQ的方程为x=my十t, 代入号益=1，整理得(8m2-1y2+6n的十3r2-12=0, .△=36m2t2-4(3m2-1)(3t2-12)>0,∴.12m2+t2-4>0. y1十y2=- 6mt 3m2-1' 设P(x1y1),Q(x2,y2),则 ∴.(t2-4)(y1十y2)=-2ty1y2. 3t2-12 yiy2= 3m2-1' ”直线AP的方程为y十2+2，食红-1代人解得y竿2N,汁》 N,B,Q三点共线B丽à丽-(-1，)脑=a4-2以， :31红2-2) x1+2 =-y2,∴.3x2y1-6y1=-x1y2-2y2, 将x1=my1十t,x2=my2十t代人，化简得4my1y2十(3t一6)y1=一(t十2)y2: 4-t2 又my1y2= 2:(y1+y)(8-2x)1+y)+(32-6)1+(2+2)y2=0, 数学卷参考答案一、第5页 ∴.(t-4)(t-2)y1-(t-4)(t+2)y2=0,.(t-4)[(t-2)y1-(t+2)y2]=0. ,P,Q是双曲线右支上的动点，.(t一2)y1一(t十2)y2不能恒为0，t=4, 此时直线PQ的方程为x=my十4，∴.直线PQ必过定点(4,0).…15分 18.【命题意图】本题考查函数与导数，要求考生会利用导数研究函数的零点问题 【解题分析】(I),f'(x)=e+1+a(x一1)·er+, ∴f'(-1)=ea+1-2aea1=-1,且a<2,解得a=1. …2分 (2)f(z)=(x-1)e+1-1,e+1>0,当x<1时，f(x)<0, f'(x)=et1+(x-1)e-ti=xe*tl, 令f'(x)>0,得x>0,令f'(x)<0,得x<0, .f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， ∴.当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=一e一1<0. f(1)=-1<0,f(2)=e3-1>0, ∴.由零点存在性定理可知f(x)有且只有一个零点. 8分 (3)由(2)知f'(x)=xe+1,则k=f'(t)=te1,f(t)=(t-1)e+1-1, 则函数f(x)的图象在点(t,f(t)处的切线方程为y一(t一1)e1+1=te1(x一t), 令y=0,得x=+2+-1, ,函数f(x)的图象在点(t,f(t)处的切线与x轴的交点为(x1,0), =+片+-1，食go=++-1*0, 则r-1+一”+r》-_+r t2e+I t2e+1 结合(2)中结论知当t<xo时，f(t)<0,当t>xo时，f(t)>0, 令g(t)<0,得-1<t<0或0<t<xo,令g'(t)>0,得t<-1或>xo, 当t<0时，g(t)在（一∞，一1）上单调递增，在（一1,0）上单调递减， g(t)≤g(-1)=-4,由(2)知xo∈(1,2)， 此时g(t)<xo,即x1<xo,符合题意 当t>0时，g(t)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递增， g)≥g(z)=xo+1+1 20e的打-1.* 由(2)知f(x)=(x0-1)e0t1-1=0,即e=1 代人*式得g红)=，十+二1-1=0， 数学卷参考答案 第6页 此时x1=g(t)≥g(xo)=xo,不符合题意，舍去. 综上可知实数t的取值范围是（一∞，0）.… ……17分 19.【命题意图】本题考查数列和数学期望，要求考生会用数列和组合公式解决简单问题。 【解题分析】(1)，根据数列中1的个数可得集合M4中元素的个数为C%十C十C+十C= 2必，集合Mk中共有2沙个元索。…3分 (2),数列{an},{bn)为M中的两个数列，它们各项元素不能完全相同， X不能取0，X的所有可能取值为1,2，…，k. ,当X=m(m=l,2,,k)时，数列{an},{bn)中有m项取值不同，有k一m项取值相同， ∴从项中选择m项，{a}和{b.}在m项中的某一项数字相同，其余一m项，两者均在同一 位置数字相反.：X一名a:一b:,心此问题为组合问题，所有的情况会重复1次，“共有 Cg·2* Cg·2* A一种情况，概率P(X=m)= A CE C 2-1 (m=1,2,…,k).…9分 (3),随机变量X的分布列为 X 1 2 3 C C经 C C 2*-1 2-1 2*-1 *行 2*-1 m·! (k-1)I mC呀=m1(k-m=k·m-1Ga-)-(m-j-hCi(m∈N',1≤m<k), C C Ex)=1·+2·+…+h2-12t5C+2C+3C++C) -2之C-+C1+c2++C)-:2 2*1>16. 令背则尝-脚二2·”品-却”2>1 Ck 2+1-1‘·27 k(2+1-1) “数列c:)是递增函数：c=(1十2二， cn=(1+2<16,6>16,k的最小值为32.…17分 数学卷参考答案第了页null