精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年七年级下学期5月期中考试数学试题

长春外国语（南关）学校2024-2025学年 第二学期初一年级期中考试数学试卷 本试卷包括三道大题，共道24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知、满足方程组，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用三角板画点到所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，边在直线上，且．将沿直线平移得到，点B的对应点为E．若平移的距离为2，则的长为（ ） A. 2 B. 7 C. 2或9 D. 7或11 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 把方程写成含有的式子表示的形式是____． 10. 不等式的解集是，则的取值范围是_______． 11. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是________________________ 12. 已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是_____． 13. 如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 14. 在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有________． 三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程：； （2）解方程：． 16. （1）解方程组：； （2）解方程组：． 17. 解下列不等式（组）． （1）解不等式： （2）解不等式组： 18. 从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 19. 一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 20. 图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） （1）在图1中，将平移到，使点A与点D对应； （2）在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； （3）在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 21. 如图，在中，于点平分，求和的度数． 22. 某中学计划购买一批篮球和足球供学生使用，已知一个篮球的单价比一个足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）由于近期篮球价格涨价（足球价格不变），若此时购买篮球3个，足球2个，则花费资金至少243元，求涨价后篮球的价格至少为多少元？ 23. 已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合． （1）如图1，平分，平分，与相交于点，则 ； （2）如图2，平分，平分，点射线上一点，与交于点． ①若，则 ； ②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，已知点在射线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，，点、在直线和直线上．在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数． 24. 如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． （1）当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示） （2）当点P运动到中点时，求线段长； （3）当点P与点Q到点B距离相等时，求t的值； （4）当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春外国语（南关）学校2024-2025学年 第二学期初一年级期中考试数学试卷 本试卷包括三道大题，共道24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是依据一元一次方程方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程．根据定义判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、不是等式，故不是一元一次方程，不符合题意； D、，是整式的加减运算，故不是一元一次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是掌握相关知识．由数轴可得：，结合，可得当时，，即可求解． 【详解】解：由数轴可得：， 实数满足， 当时，， 的值可以是， 故选：A． 3. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 4. 已知、满足方程组，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，灵活运算是解题的关键． 根据方程组拼凑出即可得到答案． 【详解】解：， ②①得：， 故选：． 5. 把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得：x≥﹣3， 解不等式②得：x＜1， 故不等式组的解集为：﹣3≤x＜1， 在数轴上表示为： 故选C． 【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质. 6. 用三角板画点到所在直线垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画过一点画已知直线的垂线；画图时，三角板的直角一边与边重合，点A在直角的另一边上；按此画图步骤判断即可． 【详解】解：根据画垂线段的步骤知，选项A符合题意； 故选：A． 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°， 根据作图过程可知：BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°， ∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立； ∵∠BDC=∠ACB=72°， ∴BD=BC，故选项A成立； ∵∠ABD=∠A=36°， ∴AD=BD，故选项B成立； 没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立； 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 8. 如图，在中，边在直线上，且．将沿直线平移得到，点B的对应点为E．若平移的距离为2，则的长为（ ） A. 2 B. 7 C. 2或9 D. 7或11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移，正确分类计算是解题的关键．分向左平移和向右平移两种情况解答即可． 【详解】解：当向右平移距离2时，； 当向左平移距离为2时，， 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 把方程写成含有的式子表示的形式是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程，正确的利用等式的性质进行变形是解题的关键．根据等式的性质，进行恒等变形，对二元一次方程通过移项变形可得即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10. 不等式的解集是，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得答案. 【详解】解：∵不等式ax > a的解集为x < 1 ∴a < 0， 故答案为：a< 0. 【点睛】本题考查了不等式的解集，关键是掌握不等式的性质，特别是不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变. 11. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是________________________ 【答案】 【解析】 【分析】设绳索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12. 已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是_____． 【答案】3＜a＜7． 【解析】 【分析】根据构成三角形三条边的条件：两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边，据此解题． 【详解】解：依题意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2， 即：2＜a﹣1＜6， ∴3＜a＜7． 故答案为：3＜a＜7． 【点睛】本题考查构成三角形三边的条件、不等式的解法等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13. 如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的内角与多边形内角和定理、平面镶嵌，先求出第三块正多边形木板的内角，再根据多边形内角和列方程解方程即可． 【详解】解：∵正方形内角为，正六边形的内角为， ∴第三块正多边形木板的内角为， 设第三块正多边形木板的边数为, 解得， 即第三块木板的边数应是， 故答案： 14. 在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等．根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断③正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断①，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴③正确； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分， ∴①不正确； ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∴， 即， ∴④正确； 综上，正确的结论为②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可． 【详解】解：（） 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 16. （1）解方程组：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程，掌握加减消元法是解题的关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程组的解是：； （2） 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程组的解是：； 17. 解下列不等式（组）． （1）解不等式： （2）解不等式组： 【答案】（1）x< （2）x<-1 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 ∵， ∴2（4−x）＞3x＋6， 8−2x＞3x＋6， −2x−3x＞−2， −5x＞−2， ∴x<； 【小问2详解】 解不等式x＋3≥2（x−1），得：x≤5， 解不等式，得：x＜−1， 则不等式组的解集为x＜−1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 【答案】120千米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米，则未开通高速公路之前的道路为千米，根据速度等于路程乘以时间为等量关系列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米， 则未开通高速公路之前的道路为千米， 根据题意有：， 解得：， 答：A、B两个城市之间高速公路的距离是120千米 19. 一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为9 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为，外角和为360度，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为9． 20. 图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） （1）在图1中，将平移到，使点A与点D对应； （2）在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； （3）在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图； （1）将向右平移，再向下平移，作出图形，即可求解； （2）利用轴对称的性质，作出关于直线的对称点，即可求解； （3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，即可求解； 掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 为所求作图形； 【小问2详解】 解：如图， 为所求作图形； 【小问3详解】 解：如图， 四边形为所求作图形． 21. 如图，在中，于点平分，求和的度数． 【答案】∠BAD=40°，∠AEC=115° 【解析】 【分析】先由三角形内角和定理求出∠C的度数，再由直角三角形的性质即可求出∠BAD的度数；在△ADC中，由∠ADC=90°，∠C=40°可得出∠DAC的度数，再由角平分线的性质即可求出∠DAE的度数，再由直角三角形的性质求出∠AED的度数，由两角互补的性质即可得出∠AEC的度数． 【详解】解：在△ABC中， ∵∠BAC=90°，∠B=50°， ∴∠C=90°-∠B=40°， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠BAD=90°-∠B=40°； 在△ADC中， ∵∠ADC=90°，∠C=40°， ∴∠DAC=90°-∠C=50°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE=∠DAC=25°， 在△DAE中， ∵∠ADE=90°，∠DAE=25°， ∴∠AED=90°-∠DAE=65°， ∴∠AEC=180°-∠AED=180°-65°=115°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的性质及两角互补的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键． 22. 某中学计划购买一批篮球和足球供学生使用，已知一个篮球的单价比一个足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）由于近期篮球价格涨价（足球价格不变），若此时购买篮球3个，足球2个，则花费资金至少243元，求涨价后篮球的价格至少为多少元？ 【答案】（1）足球的单价为36元/个，篮球的单价为54元/个． （2）涨价后篮球的价格至少为57元/个． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式． （1）设足球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，根据一个篮球的单价比一个排球的单价贵18元以及2个篮球的价格等于3个排球的价格，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设涨价后篮球的单价为元/个，根据总价涨价后篮球的单价结合花费资金至少为243元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其内的最小值即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价为元/个，篮球的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：足球的单价为36元/个，篮球的单价为54元/个． 【小问2详解】 解：设涨价后篮球的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：涨价后篮球的价格至少为57元/个． 23. 已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合． （1）如图1，平分，平分，与相交于点，则 ； （2）如图2，平分，平分，点是射线上一点，与交于点． ①若，则 ； ②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，已知点在射线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，，点、在直线和直线上．在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）①；②不变， （3）和 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据题意得，，根据得到，在中，利用内角和即可求解； （2）①根据题意得，根据直线与互相垂直，可以求得，，由平分，求出，利用三角形内角和可以求得； ②同理根据①可以求得； （3）根据的平分线，的平分线，可以求得，根据在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，分类讨论，①当是的4倍时，即，，根据平分得，在中利用内角和可以求得，根据，求得，根据求得，在中利用外角即可求得；②当是的4倍时，即，，同①做法． 【小问1详解】 解：直线与互相垂直， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：① 平分，， ， 直线与互相垂直， ， ， ， ， 平分， ， ， 在中，， 故答案：； ②不变， 平分， ， 直线与互相垂直， ， ， ， 平分， ， ， 在中，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：的平分线，的平分线， ，， ， ， 即， 根据在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，分类讨论， ①当是的4倍时， 在中，， ，， 平分， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 即， ②当是的4倍时， 在中，， ，， 平分， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 即， 故答案为：和． 24. 如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． （1）当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示） （2）当点P运动到中点时，求线段的长； （3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值； （4）当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值． 【答案】（1） （2）7 （3）2， （4）和 【解析】 【分析】本题考查列代数式，与三角形的高有关的计算，一元一次方程的应用，正确的列出方程和代数式，是解题的关键： （1）用的长减去点的路程，列出代数式即可； （2）求出点运动的时间，进而求出点的路程，利用线段的和差关系，进行求解即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可； （4）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，当点P在上运动时，； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，， 此时， ∴； 故答案为：7； 【小问3详解】 点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：， ①时，则：， ∴， ∴，解得：； ②时，则：， ∴，解得：； ③时，，， ∴，解得：（舍去）； 综上：或； 【小问4详解】 当点P在上运动时，则：， ∴，， 当时，则：，即：，解得：； 当时，则：，即：，解得：； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$