精品解析：2025年江苏省泰州市兴化市中考二模数学试题　

2025年春学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意：1.答题前，考生务必将本人的姓名、考试号填写在答题纸相应的位置上． 2.考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答案写在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列各数中，与2025互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A B. C. D. 5. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮．据国内产品榜统计显示，这款推理聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数就达22150000．数字22150000用科学记数法表示为______． 8. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 9. 正十二边形每个内角度数为 ． 10. 一次射击训练，甲、乙两人各射击15次，两人15次射击成绩的平均数均是9环，方差分别是，，则甲、乙在这次射击中成绩稳定的是________．（填“甲”或“乙”）． 11. 如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为________． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值是________． 13. 如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点C，于点D，且，，，则的值为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 15. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①I和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；②I，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 16. 如图，正方形边长为，点是正方形内一点，连接，并延长与交于点，，过点作交于点，连接，若，且，则的面积为________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 随着电影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．如图，小文收集了A、B、C、D、E五个钥匙扣，其中A为哪吒造型，她想让好友云云和珍珍分别选一件作为礼物．每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有A、B、C、D、E的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样的纸团，搅匀，她先让云云从这5个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的4个纸团中随机抽取一个． （1）云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______； （2）利用画树状图或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率． 19. 某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为万辆，那么9月份销售的月增量为（万辆），月增长率为． （1）下列说法正确的是____________． A．2月份的销售量为万辆 B．2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆 C．5月份的销售量最大 D．5月份销售的月增长率最大 （2）6月份的销售量比1月份增加了____________万辆． （3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 20. 如图，内接于，是的直径，点E在上，过点C的直线与，的延长线分别交于点D，点F，且________，________． 给出以下信息：点C是的中点，，垂足为点D，是的切线． （1）请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：________，________，结论：________； （2）在（1）的条件下，若，，求线段的长． 21. 端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个． （1）求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？ （2）若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图是某实验室研究某微生物的活跃度指数随着温度变化的图象，发现当温度时，活跃度指数保持不变．当时，对应的图象由曲线段（为常数，）和线段组成． （1）求和的值． （2）当微生物的活跃度指数满足时，符合实验需求，求出此时温度的取值范围． 23. （1）中，，，， ①如图1，，垂足为，求； ②如图2，点是斜边的中点，是的中点，求的面积； （2）如图3是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．中，，，三点均为格点，仅用无刻度的直尺，在内确定一点，使得与的面积相等，且（保留作图痕迹，不写作法） 24. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 25. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对图形翻折进行了如下探究． 问题背景：已知等腰直角三角形，． （1）如图1，若直线l经过的中点O，将边关于直线l翻折，点，分别为A，B的对应点．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 问题迁移： （2）如图2，，直线l与交于点H，点A关于直线l对称点恰好落在上，若恰好平分，求的长； 问题拓展： （3）如图3，，且，若直线l经过点C，将边关于直线l翻折，当A，B的对应点，与点D在同一条直线上时，求的度数． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，二次函数图像的顶点为B，其对称轴与x轴交于点C． （1）若二次函数的图像经过点A，， ①求函数的表达式； ②将点B绕点O逆时针旋转，求旋转后对应点的坐标； （2）当时，将沿y轴向下平移使点A与原点O重合，再将平移后的三角形绕点O逆时针旋转，点，是点B，C旋转后的对应点，若，恰好落在二次函数图像上，求的长度； （3）当时，二次函数满足当时，y随x增大而增大，且关于x的方程有两个相同的实数根，若以方程的根为横坐标的点D在二次函数的图像上时，始终成立，求c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意：1.答题前，考生务必将本人的姓名、考试号填写在答题纸相应的位置上． 2.考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答案写在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列各数中，与2025互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：与2025互为相反数的是， 故选：A． 2. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 4. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 先列出表格，可得所有可能出现的结果，即可得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可. 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 火药 印刷术 造纸术 指南针 火药 （印刷术，火药） （造纸术，火药） （指南针，火药） 印刷术 （火药，印刷术） （造纸术，印刷术） （指南针，印刷术） 造纸术 （火药，造纸术） （印刷术，造纸术） （指南针，造纸术） 指南针 （火药，指南针） （印刷术，指南针） （造纸术，指南针） 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有6种，所以这两张卡片中有“指南针”的概率是. 故选：A. 5. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm， 由题意得：，解得：， 则，解得，即扇形的圆心角为， 故答案：B． 6. 已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，，当时，，则，即可求解． 【详解】由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线， 则比距离对称轴远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值， 当时，， 当时，， 则，解得，， 故选：C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮．据国内产品榜统计显示，这款推理聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数就达22150000．数字22150000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：数字22150000用科学记数法表示为， 故答案为：． 8. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x＞5 【解析】 【分析】若代数式 有意义,则分母即≠0,可得出x≠5.根据根式的性质能够得出x-5≥0,结合前面x≠5,即可得出x的取值范围. 【详解】若代数式有意义, 则≠0,得出x≠5. 根据根式的性质知中被开方数x-5≥0 则x≥5, 由于x≠5,则可得出x＞5, 答案为x＞5. 【点睛】本题主要考查分式及根式有意义的条件,易错点在于学生容易漏掉其中之一. 9. 正十二边形每个内角的度数为 ． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解． 【详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：=30°， 则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°． 故答案为150°． 10. 一次射击训练，甲、乙两人各射击15次，两人15次射击成绩的平均数均是9环，方差分别是，，则甲、乙在这次射击中成绩稳定的是________．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：，，， 两人15次射击成绩的平均数均是9环， 甲、乙在这次射击中成绩稳定的是甲． 故答案为： 甲． 11. 如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理先求出，再利用勾股定理在中求出圆的半径，即可求出圆的直径． 【详解】解：∵是的半径，， ∴． 在中， 设，则． 由勾股定理，得， 解得，即． ∴，即圆的直径为10． 故答案为：10． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值是________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解答关键． 根据是方程的一个根得到，并代入代数式中进行计算求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点C，于点D，且，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．先根据平行线的判定与性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得． 【详解】解：如图， 由题意得：， 又， ， ， 同理可得：， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①I和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；②I，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；证明和都是等边三角形，则，即可证明Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确；，，，即可得到Ⅲ中最小内角是，最大的内角是，故③说法错误；证明，得，故④说法正确． 【详解】解：如图所示， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∵，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确； ∵，，， ∴， ∴Ⅲ中最小内角是，最大的内角是，故③说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴，同理可证， ∴，故④说法正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 16. 如图，正方形边长为，点是正方形内一点，连接，并延长与交于点，，过点作交于点，连接，若，且，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点作于点，延长交于点，则，四边形是矩形，则有，可证，，设，则，再证明，得，则，，由三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 如图所示，过点作于点，延长交于点，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即，且， ∴，整理得，， 解得，（舍去），， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元一次不等式组，掌握实数的混合运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零次幂和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴该不等式组的解集为． 18. 随着电影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．如图，小文收集了A、B、C、D、E五个钥匙扣，其中A为哪吒造型，她想让好友云云和珍珍分别选一件作为礼物．每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有A、B、C、D、E的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样的纸团，搅匀，她先让云云从这5个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的4个纸团中随机抽取一个． （1）云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______； （2）利用画树状图或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表法求随机事件的概率，正确列表或树状图是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）利用列表法把所有可能出现的结果列举出来，进而求出云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率． 【小问1详解】 解：共有五个钥匙扣，云云抽到哪吒造型（A）的概率即为； 【小问2详解】 根据题意列表如下： 云云 珍珍 A B C D E A B C D E 由表可得，一共有20种等可能的结果，其中云云和珍珍有一人抽到A的有8种结果， 云云和珍珍有一人抽到A的概率． 19. 某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为万辆，那么9月份销售的月增量为（万辆），月增长率为． （1）下列说法正确的是____________． A．2月份的销售量为万辆 B．2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆 C．5月份的销售量最大 D．5月份销售的月增长率最大 （2）6月份的销售量比1月份增加了____________万辆． （3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 【答案】（1）B （2） （3）不同意这种观点，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图以及算术平均数，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据相关概念和数据进行逐项分析即可； （2）设1月份销售量为，求出6月份的销售量，作差即可； （3）根据月增长量的意义进行分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：A．∵月增量当月的销售量上月的销售量，不知道1月份的销售量， ∴无法得到2月份的销售量，故选项错误，不合题意； B．∵， ∴2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆， 故选项正确，符合题意； C．∵6月份的月增量为， ∴5月份的销售量小于6月份的销售量， 即5月份销售量不是最大，故选项错误，不合题意； D．因为不知道1月份的销售量，无法求得各月的销售量，无法计算月增长率，则不能判断5月份销售的月增长率最大，故选项错误，不合题意； 故答案为：B； 【小问2详解】 解：设1月份销售量为可得： ， ∴， ∴增加了万辆； 故答案为：； 【小问3详解】 解：不同意这种观点，理由如下： 月增长量为正，即当月销售量比上月增加，月增长量为负，即当月销售量比上月减少， 3月份增长量为，即3月份相比2月份销售量增加， 4月份增长量为，即4月份相比3月份销售量减少，即销售量不是持续减少． 20. 如图，内接于，是的直径，点E在上，过点C的直线与，的延长线分别交于点D，点F，且________，________． 给出以下信息：点C是的中点，，垂足为点D，是的切线． （1）请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：________，________，结论：________； （2）在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】（1），；，；，；见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）选择，证③：先证明，根据平行线的判定可得，结合，可得，从而可证得结论； 选择，证②：同上可证，再根据切线的性质可得，从而可得； 选择，证①：先根据切线的性质，证得，结合，可得，根据平行线的性质可得，从而，也就可说明点是的中点． （2）先根据直径所对的圆周角是直角证得，再利用直角三角形两个锐角互余求得，再利用三角函数求得，从而可求得，然后利用30度角的直角三角形的性质可求得． 【小问1详解】 解：选择，证： 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； 选择，证： 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线； ∴， ∴，垂足为点． 选择，证： 证明：∵连接，则， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【小问2详解】 ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质与判定，半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明某直线是圆的切线，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 21. 端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个． （1）求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？ （2）若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元 （2）当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用， （1）设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据“用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个”列出分式方程求解即可； （2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据题意，得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， （元）， 答：豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元； 【小问2详解】 解：设售价定为元，利润为元，根据题意，得 ， ， 二次函数的图象开口向下，函数有最大值， 当时，有最大值，最大值为720元， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元． 22. 如图是某实验室研究某微生物的活跃度指数随着温度变化的图象，发现当温度时，活跃度指数保持不变．当时，对应的图象由曲线段（为常数，）和线段组成． （1）求和的值． （2）当微生物的活跃度指数满足时，符合实验需求，求出此时温度的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数的综合运用，掌握待定系数法，由函数值求自变量的值的计算是关键． （1）把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，运用待定系数法得到，根据函数值求自变量的值即可． 【小问1详解】 解：把点代入， 得， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 已知，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 在中，令， 解得； 在中，令，则， 解得， 由图象得． 23. （1）中，，，， ①如图1，，垂足为，求； ②如图2，点是斜边的中点，是的中点，求的面积； （2）如图3是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．中，，，三点均为格点，仅用无刻度的直尺，在内确定一点，使得与的面积相等，且（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①36②6（2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，三角形的中线平分面积: （1）①利用，得到，即可得出结果；②根据三角形的中线平分面积，进行求解即可； （2）取的中点，连接点与的中点，并延长交格点于点，作，（构造，与的交点即为点），即可. 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，，， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）如图，点即为所求； 由作图可知：， 作， 易证， ∴， ∴， 勾股定理，等积法求出的长， 易得， ∴， ∴； 故点即所求. 24. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 【答案】（1）压杆端点到底座的距离为 （2）即压杆端点到底座的高度为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，延长交于点，根据题意可得，由，四边形是矩形，，可得，进而得到，然后根据，求出，最后根据，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质可得，，可推出，然后求出，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出，最后根据线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，过点作于点，延长交于点， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 即压杆端点到底座的距离为； 【小问2详解】 如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 即压杆端点到底座的高度为． 25. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对图形的翻折进行了如下探究． 问题背景：已知等腰直角三角形，． （1）如图1，若直线l经过的中点O，将边关于直线l翻折，点，分别为A，B的对应点．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 问题迁移： （2）如图2，，直线l与交于点H，点A关于直线l的对称点恰好落在上，若恰好平分，求的长； 问题拓展： （3）如图3，，且，若直线l经过点C，将边关于直线l翻折，当A，B的对应点，与点D在同一条直线上时，求的度数． 【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2）；（3）的度数为或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，又，则，根据对角相互平分且相等的四边形是矩形，即可判断； （2）设，由折叠的性质得，，推出，求得，∴，得到，，根据，列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，当共线时，连接，，作于点，证得也是等腰直角三角形，求得，，得到，利用余弦函数的定义求得，据此求解即可；当共线时，同理求解即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形，理由如下； 由折叠的性质得，， ∵直线l经过中点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）设， 由折叠的性质得，， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）当共线时，连接，，作于点，如图， 由折叠的性质得，即也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当共线时，连接，，作于点，如图， 同理，，， ∴， 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，二次函数图像的顶点为B，其对称轴与x轴交于点C． （1）若二次函数的图像经过点A，， ①求函数的表达式； ②将点B绕点O逆时针旋转，求旋转后对应点坐标； （2）当时，将沿y轴向下平移使点A与原点O重合，再将平移后的三角形绕点O逆时针旋转，点，是点B，C旋转后的对应点，若，恰好落在二次函数图像上，求的长度； （3）当时，二次函数满足当时，y随x的增大而增大，且关于x的方程有两个相同的实数根，若以方程的根为横坐标的点D在二次函数的图像上时，始终成立，求c的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）4 （3）或 【解析】 【分析】（1）①由题意可设二次函数的表达式为，然后根据待定系数法可进行求解；②过点B、作x轴的垂线，垂足分别为点G、E，易证，然后问题可求解； （2）由题意易得，，，则有平移后点C对应的坐标为，点B对应的坐标为，由（1）同理可得，，然后根据二次函数的性质可进行求解； （3）由题意易得且，则有，然后可得，则有，进而分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意可设二次函数的表达式为， 把点代入二次函数得：，解得：， ∴二次函数表达式为； ②由题意可得简图如下，过点B、作x轴的垂线，垂足分别为点G、E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，则有二次函数的对称轴为直线， ∴，， ∴把代入得：， ∴， 由将沿y轴向下平移使点A与原点O重合，可知向下平移3个单位长度， 此时点C对应的坐标为，点B对应的坐标为， 由（1）同理可得，， 将代入得， ∴，， 将代入， 解得或， 当时，，则有，与B，C不重合矛盾， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵当时，y随x增大而增大， ∴且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， 整理得， ， ， ， 解得， ， ∴， 整理得， 记，， ， ， 当时， 始终成立， （i）当，即时， 当时，， 解得（舍）， （ii）当，即时， 当时，， 解得（舍）， 综上：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的综合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$