精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高二下学期5月期中质量检测数学试题

集宁二中2024-2025年度高二下学期期中质量检测卷 数学 命题：高二数学组 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列函数中求导错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数公式依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，，故正确； 对于B选项，，故错误； 对于C选项，，故正确； 对于D选项，，故正确 故选：B 2. （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】先根据组合数的性质将其化简，再运用组合数计算公式即得. 【详解】由. 故选：C. 3. 从6名同学中选3名同学进入学生会，一共有几种选法（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用组合的知识即可得到答案. 【详解】从6名同学中选3名同学进入学生会，可知一共有种选法. 故选：A 4. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点分布的性质直接求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以，故C正确. 故选：C 5. 已知事件A，B相互独立，，，则（ ） A B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算得解. 【详解】事件A，B相互独立，，，所以. 故选：A 6. 表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率和为1求解即可. 【详解】由题意，，解得. 故选：B 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率的乘法公式计算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：B 8. 设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据图示和正态分布密度曲线的对称性可比较与， 由图象的“瘦高”与“矮胖”可比较与，由此可得正确选项. 【详解】由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线. 由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，所以D正确. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 常数项是第3项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确； 对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误； 对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确； 对于D，令则系数和为，故D正确. 故选：ACD. 10. 设离散型随机变量的分布列如下表：若离散型随机变量满足，则（ ） 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.2 0.1 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由分布列的性质得，根据分布列求的期望和方差，最后应用期望、方差的性质求的期望和方差，即可得. 【详解】由题设，则，A对； ， ， 所以，，B错，C、D对. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在处取得极小值，则 B. 若，则 C. 若，则曲线关于点中心对称 D. 若，则有3个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得，求解a，并验证判断A；根据函数单调性判断B；通过判断C；根据函数单调性，并结合零点存在性定理判断D. 【详解】对于A，因为，因在处取得极小值， 则，得， 当时，， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，故在处取得极小值，故A正确； 对于B，当时，因，则在上单调递增， 故当时，，故B错误； 对于C，当时，因， 故曲线关于点中心对称，故C正确； 对于D，因为， 由，当时，，故在上单调递增； 时，则在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 因，， 由可得在上有一个零点； 因，， 由可得在上有一个零点； 又 由可得在有一个零点， 综上分析，可得函数有3个零点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据函数极值点求参数值时，要注意需要验证. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________. 【答案】 【解析】 【分析】先排女生，再将男生插入到空位中可得. 【详解】先将女生排成一排，有种，再将男生插入到5个空位中，有种， 由分步乘法计数原理可得，不同的排列方法总数为种. 故答案为： 13. 若的二项式系数和为64，则展开式中含有的项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数和为64求出，由展开式通项公式求出含的项. 【详解】的二项式系数和为64, , 即， 所以的展开式为， 令，解得， 所以， 故答案为： 14. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】解法一：. 解法二：. 故答案为： 四、解答题（本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知二项式 （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式的第5项的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和为计算可得； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【小问1详解】 对于二项式，则展开式中所有二项式系数的和为； 【小问2详解】 因为二项式展开式的通项为（且）， 所以，所以展开式的第5项的系数为. 16. 体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立． （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出甲同学在3次投篮中，投中2次或3次的概率，得到答案； （2）求出可能取值及对应的概率，得到分布列，得到数学期望. 【小问1详解】 记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次， 则. 【小问2详解】 若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次， 所以乙通过测试的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有0，50，100， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 50 100 故. 17. 某商店收进甲厂生产的产品箱，乙厂生产的同种产品箱，甲厂每箱装个，废品率为，乙厂每箱装个，废品率为，求： （1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率； （2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件为“任取一箱为甲厂的产品”，事件为“任取一箱为乙厂的产品”， 事件为“从中任取一个为废品”，由题意得，，，，利用全概率公式可求得的值； （2）记事件为“任取一箱为甲厂的产品”，事件为“任取一箱为乙厂的产品”， 事件为“从中任取一个为废品”，求出、以及，，利用全概率公式可求得的值. 【小问1详解】 解：记事件为“任取一箱为甲厂的产品”，事件为“任取一箱为乙厂的产品”， 事件为“从中任取一个为废品”，则，且、互斥， 由题意，得，，，， 由全概率公式得. 【小问2详解】 解：记事件为“任取一箱为甲厂的产品”，事件为“任取一箱为乙厂的产品”， 事件为“从中任取一个为废品”，则，且、互斥， 由题意得，， ，， 由全概率公式得. 18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，，，由此得到样本的频率分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，求质量超过克产品数量； （2）在上述抽取的件产品中任取件，设为质量超过克的产品数量，求的分布列，并求其均值； （3）从该流水线上任取件产品，设为质量超过克的产品数量，求的分布列，并求其均值. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接可计算产品数量； （2）由已知可知该分布为超几何分布，进而可得分布列与期望； （3）由已知可知该分布为二项分布，进而可得分布列与期望. 【小问1详解】 质量超过克的产品的频率为， 质量超过克的产品数量为. 【小问2详解】 质量超过克的产品数量为， 则质量未超过克的产品数量为，服从超几何分布，的取值为，，. ，， . 的分布列为 解法一：的均值为. 解法二：的均值为. 【小问3详解】 根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过克的概率为. 从流水线上任取件产品互不影响， 该问题可看二项分布，质量超过克的件数可能的取值为，，，且. ，，，. ， ， . 的分布列为 解法一：的均值为. 解法二：的均值为. 19. 已知函数，， （1）求函数的最值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）的最小值为，无最大值. （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，令导数为得.根据导数正负判断单调性，时递减，时递增，所以处取最小值，无最大值. （2）由不等式参变分离变形得恒成立，设.借助导数得到最值，进而得到. 【小问1详解】 已知，所以. 令，即，因为恒成立，所以，解得. 当时，，，则，所以在上单调递减. 当时，，，则，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，同时也是最小值. 将代入可得：. 因为当时，，所以函数无最大值. 则最小值为，无最大值. 【小问2详解】 原不等式等价于 即,在上恒成立， 等价于,在上恒成立， 令 令,则为上的增函数， 又当时, 在存在唯一的零点,即 由 又有在上单调递增， ∴b的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集宁二中2024-2025年度高二下学期期中质量检测卷 数学 命题：高二数学组 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列函数中求导错误的是（ ） A B. C. D. 2. （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3. 从6名同学中选3名同学进入学生会，一共有几种选法（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 5. 已知事件A，B相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 常数项是第3项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于1 10. 设离散型随机变量的分布列如下表：若离散型随机变量满足，则（ ） 0 1 2 3 4 0.1 0.2 02 0.1 A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在处取得极小值，则 B 若，则 C. 若，则曲线关于点中心对称 D 若，则有3个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________. 13. 若的二项式系数和为64，则展开式中含有的项为______． 14. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 四、解答题（本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知二项式 （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式的第5项的系数. 16. 体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立． （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望． 17. 某商店收进甲厂生产的产品箱，乙厂生产的同种产品箱，甲厂每箱装个，废品率为，乙厂每箱装个，废品率为，求： （1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率； （2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，，，由此得到样本的频率分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，求质量超过克的产品数量； （2）在上述抽取的件产品中任取件，设为质量超过克的产品数量，求的分布列，并求其均值； （3）从该流水线上任取件产品，设为质量超过克的产品数量，求的分布列，并求其均值. 19. 已知函数，， （1）求函数的最值； （2）若恒成立，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$