专题03:导数高频考点分类复习【核心考点突破+高频易错精讲】-2024-2025学年高二下学期数学期末复习满分冲刺

2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题03 导数高频考点分类复习 考点一：瞬时速度与导数的概念 1．（2024上海课时练习）某物体的运动规律是，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以. 故选：A． 2．（2025春宝山校级期中）某物体运动时，位移s（米）与时间t（秒）之间的关系式为：s＝f（t），且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（　　） A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定 【答案】A 3．若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义即可直接求解. 【解析】 , 故选：D. 4．（2024上海课时练习）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为, 所以, 故选:A. 5．（2024复旦附中期中练习）函数 的驻点为 ． 【答案】1 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可. 【解析】函数，求导得， 由，得或（舍去），所以函数的驻点为1. 故答案为：1. 考点二：导数的基本运算 5．（2022·上海市第三女子中学高二期末）下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A项中，，故A项正确； B项中，，故B项错误； C项中，，故C项错误； D项中，，故D项错误. 故选：A. 6．（2024上海课时练习）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 选项A，，故A错； 选项B，，故B正确； 选项C， ，故C错； 选项D，，故D错. 故选：B. 考点三：导数的几何意义 7．（2024大同中学高二练习）曲线y＝xex﹣x在点P处切线的斜率为﹣1，则P的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B． C．（1，e﹣1） D．（1，2e﹣1） 7．直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【解析】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 8．（23-24高二下上海阶段练习）曲线在点处的切线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出，可求得的值，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线的方程 【详解】由，则，且， 所以曲线在点处的切线的方程为， 故答案为： 9．（2024上海课时练习）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【解析】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 10．（23-24闵行区校级期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解. 【详解】设切点为，∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为， 代入点的坐标，化简得， ∵过点可以作三条直线与曲线相切， ∴方程有三个不等实根. 令，求导得到， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 如图所示， 故，即. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题. 考点四：利用导数研究函数的单调性 11．（2024上海课时练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求函数的导数，根据题意转化为，恒成立，利用参变分离，转化为求函数的最值问题，即可求解. 【详解】若函数，则， 由题意可知，，恒成立， 即，恒成立， 设，，恒成立， 所以在区间单调递增，即， 所以. 故选：D 12．（2024七宝中学高二期末）若函数，其中，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在上恒成立，从而可求出的取值范围 【解析】由，得， 因为在上是严格增函数， 所以在上恒成立，即恒成立， 因为在上单调递增， 所以， 所以， 即的取值范围为. 故答案为： 13．（23-24上海高三阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 14．（2024上海课时练习）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式. 【解析】由得， 所以函数是R上的增函数， 又由得函数是奇函数， 则由得， 所以， 解得. 故答案为：. 15．（2024上海课时练习）已知函数. (1)当 时， 求 的单调区间； (2)若在上是增函数，求的取值范围； (3)讨论 的单调性． 【答案】(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解； （2）将所求问题转化为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式在区间恒成立的解决方法即可求解； （3）利用导数法求函数的单调性的步骤，注意分类讨论即可求解. 【详解】（1）当 时， ， ， 令则，解得或（舍）， 当时，当时， 所以 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为， 所以, 因为在上是增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为的对称轴为， 当时，，则在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，开口向下； 综上，要使得在上恒成立， 只需，解得， 所以的取值范围为. （3）因为， 所以, 当时，，所以在上恒成立， 所以在上单调递增； 当时，令则，解得或（舍）， 当时，当时， 所以在 上单调递增，在 上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在 上单调递增，在 上单调递减. 考点五：利用导数研究函数的极值最值 16．（2024上海课时练习）如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A．在内是增函数 B．在内是增函数 C．在时取得极大值 D．在时取得极小值 【答案】B 【解析】 由图可知，在区间上递减；在区间上递增. 所以不是的极值点，是的极大值点. 所以ACD选项错误，B选项正确. 故选：B 17．（2024格致中学高二期中）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【解析】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 18．（2024宝山中学高二期中）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【解析】，则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 19．（23-24高二下·上海·阶段练习）设函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求的单调区间； (3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）直接利用导数与切线斜率的关系即可求解； （2）分和两种情况，然后求解不等式和即可得到的单调区间； （3）对不同区间的进行分类讨论，并判断在附近的单调性，即可得到结果. 【详解】（1）若，则，从而， 故，从而曲线在点处的切线斜率为，故所求切线为直线. 又，故所求切线方程为. （2）由，知. 当时，，故在上单调递增； 当时，； 从而的解集是，的解集是. 这表明在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）首先我们有. 当时，由上一问结论，知在上单调递增，在上单调递减. 这意味着当时，；当时，. 故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 而，故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递减. 注意到此时，故当时，； 当时，. 从而在上单调递增，在上单调递减， 这说明是的极大值点，满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键点在于附近的单调性，从而在的情况下，需要仔细比较和的大小关系，也就是和的大小关系，这是分类讨论的一大出发点. 20．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数. (1)若是的极值点，求实数的值； (2)若，求在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，根据极值点可得，验证即可求解， （2）求导，分类讨论，即可结合函数的单调性求解最值. 【详解】（1）． 因为是的极值点，所以，解得. 所以， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，符合题意，因此． （2）， 令，得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由题可知． （i）若，则在上单调递减，． （ii）若，则在上单调递减，在上单调递增， 若，则，所以； 若，则，所以． 综上，当时，；当时，． 考点六：利用导数研究函数的恒（能）成立 21．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数的极小值为，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数，先判断函数的单调区间，再求函数的极值； （2）首先不等式化简为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解. 【详解】（1），令，得， ，和的关系，如下表所示， 0 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极小值为，无极大值； （2）不等式恒成立，即恒成立， 即，，恒成立，所以，， 设，， ，其中， 设，，所以在单调递增， 因为，，所以存在，使，即，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 由，可得，所以， 所以. 22．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）当时，求得，进而导数的符号，即可求得的单调区间； （2）求得，求得函数的单调性和，结合恒成立，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：当时，函数，且定义域为， 且， 当时，；时，； 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）解：由函数，可得， 令，解得； 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为恒成立，所以，解得， 又因为，所以的取值范围为. 23．（2023下·上海普陀·高二校考期中）已知函数在与时都取得极值. (1)求的值与函数的单调区间. (2)求该函数在的极值和单调性. (3)设，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，增区间，减区间 (2)极大值是，极小值是；增区间、，减区间 (3)或 【详解】（1）， 由于在与时都取得极值， 所以，解得， ， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以是的极大值，是的极小值. 所以，增区间，减区间. （2）， 由（1）得在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以在区间上， 极大值是， 极小值是. （3）由上述分析可知，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，， ， 所以在区间上的最大值是， 在区间上恒成立，所以， ，解得或. 考点七：利用导数研究函数的零点问题 24．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数的取值范围. 【详解】由题意， 在中，， 当时，解得或， 当即时，单调递减， 当即，时，单调递增， ∵，， 当， 方程有三个不同的实根， ∴即， 故答案为：. 【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略这个条件. 25．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数，在处取得极值为. (1)求：值; (2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出的值，再检验即可； （2）依题意可得与有三个不同的交点，利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，即可得到不等式组，即可求得答案. 【详解】（1），由题意可得， 即，解得， 经检验可得满足在取得极值，所以. 所以，. （2）由，可得， 由，解得 或， ，解得， 所以在和单调递减，在单调递增. 所以的极小值为， 的极大值为. 又当时，，当时，， 所以当时，有三个零点， 故. 26．（2024松江二中高二期中）设函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）借助导数对、及分类讨论即可得； （2）原问题可等价于即在上无解，构造函数，借助导数研究即可得. 【详解】（1）的定义域为， ， ①当时，，由，得， 由，得， 当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减， ②当时，，， 当时，，的区间上单调递减， ③当时，由，得或，且. 当变化时，的变化情况如下表： 递减 递增 递减 综上所述，当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上的单调递减； 当时，在区间上的单调递增， 在区间和上单调递减区间； （2）若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点， 即关于的方程，即在区间上仅只有一个解， 是方程的解，且时， 问题等价于即在上无解， 即曲线或与直线无公共点， ，由得， 当或时，变化时，，的变化情况如下表： 递减，负值 无意义 递减，正值 极小值 递增，正值 且当且时，；当且时，. 故的取值范围为. 考点八：利用导数证明不等式 27．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知，函数． (1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值； (2)当时，若，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）分别对，求导，讨论和，得出和的单调性，即可求出，的极小值，即可得出答案. （2）首先将函数零点代入函数，变形为，不等式转化为，再利用换元，构造函数，，利用导数证明不等式成立，即可证明. 【详解】（1），定义域均为， ，   当时，则，在单调递增，无极值，与题不符； 当时，令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且；     又， 当时：，在单调递减，无极值，与题不符； 当时：令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且； 依题意， 解得：， （2）当时，， 由题意可知，，两式相减得， 整理为， 要证明，即证明， 不妨设，即证明，即， 设，即证明， 设， ， 所以函数在区间单调递减，且， 即在区间恒成立，即, 即，得证. 28．（24-25高三上阶段练习）已知函数.且函数有两个零点， (1)求实数a的取值范围； (2)设的两个零点，且，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】(1)先利用导数分析函数单调性，分，两种情况，结合边界、极值正负分析即得解； (2)利用零点的意义建立关系式，再对所证不等式等价变形，然后构造函数，利用导数探讨函数单调性推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，对函数求导得， 当时，，函数在上单调递增，至多有一个零点，不成立； 当时，，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时， 故若函数有两个零点，则极大值， 解得：. 故实数a的取值范围是. （2）由(1)可知， 因是函数的两个零点，则，即，， 要证，两边同时取自然对数，只需证明， 只需证明，即证， 只需证，即证， 令，而，则，只需证明， 令函数，，求导得： 令函数，，求导得， 则函数在上单调递增，于是有， 因此，函数在上单调递减，则，即成立， 所以原不等式得证. 【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理. 29．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求导后参变分离，将问题转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的图象与性质求解； （2）要证，转化要证，即证.再构造函数，证明，令，运用导数研究单调性，进而得到最值.再构造函数，同理得到最值，进而得到即可； （3）先借助导数，运用方程实数根个数，求出的大致范围，化简，进而将要证的不等式进行转化， 即证，再转化为证明，最后换元，令，即证.构造函数，借助导数进行证明即可. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立，即在上恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）当时，，， 所以要证，即证，即证. 构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 再构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上所得，所以， 又等号不同时成立，（取等号的条件是，取等号的条件是） 所以，即. （3）先求出的大致范围，. 由题意知是方程的两个不同的根. 设，则方程有两个不同的正实数根， 所以，解得. 再化简， ，则， 所以. 由，得， 所以要证，即证，即证，即证， 即证，即证. 令，即证. 令， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以不等式成立. 【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的条件，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解； 二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解. 30．（2025·上海松江·二模）已知. (1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用，得出的值，再检验是函数的一个极值点，最后利用点斜式求切线方程； （2）求导，研究的正负性，分和两种情况，再结合一元二次函数的图象研究其正负性即可； （3）化简，再令，将问题转化为利用导数证明不等式，再通过构造函数研究函数的最值. 【详解】（1）的定义域为， 由，得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即，解得， 则，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则是的极小值点， 又， 则切线方程为，整理得. （2）的定义域为，， 令，其对称轴为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即或时， （i）当时，的两根为， 且， 则当或时，，； 当时，， . （ii）当时，的对称轴，且， 则在上恒成立，即在上恒成立. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）已知，则， 则， 则， 要证，即证， 即证， 令，则只需证， 先证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即； 再证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即. 综上，得证. 考点九：导数中的双变量问题 31．（2023建平中学期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的几何意义， 表示点与点连线斜率， ∵实数，在区间内， 不等式恒成立， ∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1， 故函数的导数大于1在内恒成立， ∴在内恒成立， 由函数的定义域知，， 所以在内恒成立， 由于二次函数在上是单调递减函数， 故，∴， ∴． 故选：A. 32.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求定义域，求导，依题得到在区间上有两个不相等的实根，由根的判别式和韦达定理得到不等式组，求得，化简并计算得到，构造，，求导得到函数单调性，即可推得所求式的范围. 【解析】由，可得 由题意得方程在区间上有两个不相等的实根， 故解得， 又 . 设，则， 故在上单调递增，则， 即的取值范围是. 故答案为：. 33．（23-24高二下·上海·阶段练习）设函数的两个极值点分别为，． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知有两个不相等的实根，转化为两个函数有两个交点问题，根据单调性画出函数图象，由此得到的取值范围. （2）将不等式取自然对数化简整理，构造函数，求导分析，即可求正数的取值范围 【详解】（1）由题，定义域为． 则，由题可得有两个不等实数根，， 于是有两个不同的实数根，等价于函数与图象在有两个不同的交点， ，由，由， 所以在递增，在递减， 又，有极大值为，当时，，所以可得函数的草图（如图所示）．    所以，要使函数与图象在有两个不同的交点，当且仅当． 即实数的取值范围为 （2）由（1）可知：，是方程的两个实数根，且． 则 ． 由于，两边取自然对数得， 即， 令，则在恒成立． 所以在恒成立 令，则． ①当即时，，在递增，所以恒成立，满足题意． ②当时，在递增，在递减，所以，当时，， 因此，在不能恒成立，不满足题意． 综上所述，，即的取值范围是． 34．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间； （2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解． 【详解】（1）， （1）当时，，，的减区间是． （2）当时，，的减区间是． （3）当时，，，的增区间是， ，的减区间是． 综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是. （2），，因为存在实数，使得不等式成立， ， ，，,，，单减，，，单增． ． ，，，． 考点十：新定义问题 35．（2023·上海金山·一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． (1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； (2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； (3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 【答案】(1)为区间上的“均值函数”，且为其“均值点” (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案； （2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解； （3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】（1）解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为， 可得，解得或(舍).   故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”. （2）解：设为该函数的“均值点”，则， 且， 即关于的方程在区间上有解， 整理得， ①当时，，方程无解. ②当时，可得. 令，则，且， 可得， 又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数， 在上是严格减函数，在上严格增函数， 所以当时，可得，当，可得， 所以. 即实数的取值范围是. （3）解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”， 可得，即， 解得，所以， 则， 当时，，即在上单调递减， 所以()， 则， 又因为， 从而，， 所以，可得.， 由，即，可得， 故使得的最小整数的值为. 【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略： （1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键； （2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力. 36．（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】(1)偶函数，一条点切线方程为 (2)没有，理由见解析 (3)证明见解析，切线方程为和 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. （2）因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. （3）取点、、， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合， 则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则， 若，则（舍去），所以，， 故或. 综上所述，点切线方程为和. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题03 导数高频考点分类复习 考点一：瞬时速度与导数的概念 1．（2024上海课时练习）某物体的运动规律是，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是（ ） A． B． C． D． 2．（2025春宝山校级期中）某物体运动时，位移s（米）与时间t（秒）之间的关系式为：s＝f（t），且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（　　） A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定 3．若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024上海课时练习）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2024复旦附中期中练习）函数 的驻点为 ． 考点二：导数的基本运算 5．（2022·上海市第三女子中学高二期末）下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024上海课时练习）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 考点三：导数的几何意义 7．（2024大同中学高二练习）曲线y＝xex﹣x在点P处切线的斜率为﹣1，则P的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B． C．（1，e﹣1） D．（1，2e﹣1） 7．直线与曲线相切，则 ． 8．（23-24高二下上海阶段练习）曲线在点处的切线的方程为 ． 9．（2024上海课时练习）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 10．（23-24闵行区校级期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四：利用导数研究函数的单调性 11．（2024上海课时练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024七宝中学高二期末）若函数，其中，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 13．（23-24上海高三阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2024上海课时练习）已知函数，则不等式的解集为 . 15．（2024上海课时练习）已知函数. (1)当 时， 求 的单调区间； (2)若在上是增函数，求的取值范围； (3)讨论 的单调性． 考点五：利用导数研究函数的极值最值 16．（2024上海课时练习）如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A．在内是增函数 B．在内是增函数 C．在时取得极大值 D．在时取得极小值 17．（2024格致中学高二期中）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 18．（2024宝山中学高二期中）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 19（23-24高二下·上海·阶段练习）设函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求的单调区间； (3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 20．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数. (1)若是的极值点，求实数的值； (2)若，求在区间上的最大值. 考点六：利用导数研究函数的恒（能）成立 21．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 22．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 23．（2023下·上海普陀·高二校考期中）已知函数在与时都取得极值. (1)求的值与函数的单调区间. (2)求该函数在的极值和单调性. (3)设，若恒成立，求的取值范围. 考点七：利用导数研究函数的零点问题 24．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 . 25．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数，在处取得极值为. (1)求：值; (2)若有三个零点，求的取值范围. 26．（2024松江二中高二期中）设函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，求的取值范围. 考点八：利用导数证明不等式 27．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知，函数． (1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值； (2)当时，若，求证： 28．（24-25高三上阶段练习）已知函数.且函数有两个零点， (1)求实数a的取值范围； (2)设的两个零点，且，求证：. 29．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 30．（2025·上海松江·二模）已知. (1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 考点九：导数中的双变量问题 31．（2023建平中学期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 33．（23-24高二下·上海·阶段练习）设函数的两个极值点分别为，． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）． 34．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 考点十：新定义问题 35．（2023·上海金山·一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． (1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； (2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； (3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 36．（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$