期末复习专题— 导数（提升篇）（7大考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

期末复习专题—导数（提升篇） 【考点1：利用导数研究函数的单调性】 1 【考点2：利用导数研究函数的极值或最值】 8 【考点3：利用导数证明或求解不等式】 15 【考点4：利用导数研究恒、能成立问题】 23 【考点5：利用导数研究函数的零点或方程的根】 30 【考点6：导数中的新定义问题】 39 【考点7：极值点偏移问题】 47 【考点1：利用导数研究函数的单调性】 【知识点：利用导数研究函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2．利用导数判断不含参函数单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数f(x)的导数； (3)在定义域内求解不等式f'(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； (4)在定义域内求解不等式f'(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间. 注：单调区间不以”并集”出现. 3．构造函数研究单调性 (1)关系式为“加”型 ①f'(x)+f(x)≥0：构造[exf(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]； ②xf'(x)+f(x)≥0：构造[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)； ③xf'(x)+nf(x)≥0：构造[xnf(x)]'=xnf'(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)]. (注意对x的符号进行讨论) (2)关系式为“减”型 (1)f'(x)-f(x)≥0：构造； (2)xf'(x)-f(x)≥0：构造； (3)xf'(x)-nf(x)≥0：构造. 4．含参函数的分类讨论 利用导数研究函数的单调性主要是利用导数的正负与函数单调性的关系得出相应结论，导函数的符号 决定了函数的单调性，而导函数的变号零点恰好是其分界点，故f'(x)=0是否有根及根的位置是分类讨论的标准，一般可以按方程在定义域内有根、无根以及根的大小等方面来分类讨论. 5．单调性的逆向求参问题 (1)函数f(x)在(a,b)上单调递增，则f'(x)≥0且f'(x)在(a,b)的任意子区间上不恒为0； (2)函数f(x)在(a,b)上单调递减，则f'(x)≤0且f'(x)在(a,b)的任意子区间上不恒为0. 6．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 1．（24-25高二下·重庆·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导函数，然后解不等式，结合对数函数单调性即可得解. 【详解】因为，所以， 令得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B 2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为导数在区间上恒大于等于0, 即恒成立，利用导数求出的最大值即可得到答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以其导数在该区间上恒大于等于0, 将不等式变形，得到, 令，则, 所以在区间上，，所以单调递减， 其中，在区间上的值域为， 要使在上恒成立，只需， 所以的取值范围是， 故选：C. 3．（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算可得结果. 【详解】∵，∴. ∵，∴. 设，则. 当时，，在上单调递增， ∴，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 当时，，当时，， ∵函数在上不单调， ∴，即， ∴，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 4．（山东省德州市优高联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题）已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则， 所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 故选：B. 5．（24-25高二下·福建福州·期中）已知是函数的导数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数得的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】令，则有，所以在上单调递减， 所以，， 所以由有，且，即， 由在上单调递减，所以，即，故. 故选：B. 6．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，求： (1)函数的图象在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率，写出直线的点斜式方程，再整理成一般式方程即可； （2）求出函数导数后，解不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以函数的图象在点处的切线斜率， 因为，所以切线方程为，即. （2）由已知可得. 令，解得或， 所以的单调增区间为和. 7．（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数，e是自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，分和分类讨论计算函数的单调性； （2）把方程有两个不等实根转化为与有2个交点，结合导函数得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围. 【详解】（1），， 若，则恒成立，所以在上单调递增， 若，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，的增区间是， 当时，的减区间是，增区间是； （2）方程，显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点， ， 当时，，在区间和单调递减， 并且时，，当时， 当时，，单调递增， 时，当时，取得最小值，， 如图，函数的图象， 与有2个交点，则. 8．（2025·福建厦门·三模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (2)证明见解析 【分析】（1）求出，分、讨论可得答案； （2）转化为证明，求出，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，单调递增， 当时，令得， 所以时，单调递增， 时，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要证明，只需证明， 即证明， 令， ， 令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 可得， 即． 【考点2：利用导数研究函数的极值或最值】 【知识点：利用导数研究函数的极值或最值】 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．求可导函数极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求导函数f'(x)； (3)在原函数的定义域内，求方程f'(x)=0的所有实数根； (4)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数f'(x)的符号变化情况. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 4．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 5．函数最值的求解思路 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 6．求含有参数的函数的最值的解题策略 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 1．（24-25高二下·山西吕梁·期中）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在处取得极大值可知其二阶导函数在处的取值为负，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，则， 显然可知，无论为何值，恒成立， 若在处取得极大值，可知在左侧，在右侧； 因此可知在附近自左向右从正变为负， 因此在处单调递减， 令， 可得，所以， 因此可得. 故选：D. 2．（2025·湖南·三模）已知函数，，则下列关于函数的极值点的叙述，正确的是（    ） A．既没有极大值点也没有极小值点 B．既有极大值点也有极小值点 C．有且只有一个极小值点 D．有且只有一个极大值点 【答案】D 【分析】先应用二倍角公式化简，再求出导函数得出函数单调性再结合极值定义判断即可. 【详解】因为，所以， 设， 当，在上单调递减， 所以存在唯一， 当，在上单调递增， 当，在上单调递减，所以是函数的极大值点， 所以函数有且只有一个极大值点. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【答案】C 【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到的单调性，得到C正确，D错误． 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为， 故恒成立， 故在R上单调递增，则A，B显然错误； 对于C，D，， 由图像可知时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误． 故选：C 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知关于的方程有解，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，由题可得与图象均关于直线对称，由基本不等式得，，要使得上述方程有解，则，令，求导求出最小值得解. 【详解】令，， 因为，所以与图象均关于直线对称， 又，， 要使得上述方程有解，则，即， 所以，令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以， 故，当且仅当时取等号. 故答案为：. 5．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数，在处的切线与直线垂直． (1)求的值； (2)求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，由题意得到，即可求解； （2）求导，确定函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）， 直线的斜率为， 依题意， 所以 ； （2）定义域为， 由得到： 当变化时，和的变化情况如下表: + 0 - 单调递增 单调递减 所以在时取得最大值， 即最大值为 6．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)增区间为；减区间为 (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数求得，可求得切线方程； （2）令，求得，列表判断的单调性即可； （3）利用（2）分类讨论，可求的最小值. 【详解】（1）， 所以，所以切线方程为：，即：； （2）. 令，， 当变化时，的变化情况如下表： 大 小 ∴的增区间为；减区间为； （3）当时，在上递减，在上递增，， 当时，在上递减，， 综上所述：当时，， 当时，. 7．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，且满足在处取得极值， (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出的表达式，结合可求得的值； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，求出其极大值、极小值，并求出、的值，比较大小可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得，经检验合乎题意. 综上所述，. （2）由（1）知，所以， 令，即，解得或， 列表如下： + + 增 减 增 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以有极大值，有极小值， 而，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 8．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知实数，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)记为的导函数，试讨论的极值点的个数． 【答案】(1) (2)个 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，设，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为实数，函数，该函数的定义域为， ， 令，则， 令，则， 对于方程，， 设函数的两个零点分别为、，且， 由韦达定理可得，，必有，， 由可得，由可得或， 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 因为，， 所以，，则， 所以函数在内有且只有一个异号零点， 当时，；当时，， 所以函数在区间、上各有一个异号零点， 综上所述，函数的极值点个数为. 【考点3：利用导数证明或求解不等式】 【知识点：利用导数证明或求解不等式】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 1．（2025·江西赣州·二模）设数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用递推公式结合放缩法可判断A选项；利用导数证明出当时，，可判断B选项；利用导数证明出当时，，可知当时，，结合等比数列的求和公式以及放缩法可判断C选项；利用C中的结论结合放缩法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，A对； 对于B选项，构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，即， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 因为，则，即， 所以，，， 以此类推可知，，B错； 对于C选项，令，其中， 则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递减， 故当时，，即， 由A选项可知，，，， 可知，当时，， 所以， ，C对； 对于D选项，由C选项可知，， 所以，，D对. 故选：ACD. 2．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由函数的解析式求，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线斜率，再根据点斜式求切线方程； （2）设，，利用导数求函数的范围，由此证明结论. 【详解】（1）由已知函数的定义域为，， 函数的导函数为， 所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， （2）设， ，又， 则，， 所以， 所以当时，，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，. 3．（2025·四川·三模）已知函数． (1)若，试判断函数在区间内的极值点个数，并说明理由； (2)当，时，求证：．（参考数据：） 【答案】(1)个，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用二次函数的单调性判断出函数在区间内的单调性，结合零点存在定理可得结论； （2），其中，利用导数分析函数的单调性，证得即可证得结论成立. 【详解】（1）因为，则， 所以，函数在区间上单调递增， 因为，则，，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 故函数函数在区间内的极值点个数为. （2）当，时，， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 故，时，. 4．（2025·福建厦门·三模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (2)证明见解析 【分析】（1）求出，分、讨论可得答案； （2）转化为证明，求出，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，单调递增， 当时，令得， 所以时，单调递增， 时，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要证明，只需证明， 即证明， 令， ， 令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 可得， 即． 5．（24-25高二下·山西·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，若存在零点，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后分和讨论可得； （2）求导后分析单调性和最值，再结合零点可得； （3）当时，令，结合（2）的结论和对数的运算性质以及等差数列的求和公式得到，再两边同时取指数运算可得. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，因，所以恒成立，即在为单调递减函数； 当时，令，所以当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数， 综上，当时， 在为单调递减函数； 当时，时，为单调递减函数；时，为单调递增函数. （2）当时，，，， 则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 因为存在零点，所以， 即实数的取值范围为. （3）由（2）可得，当时，， 令，则， 所以 ， 即， 两边同时取指数可得， 又上式中，所以. 6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数. (1)当，时，恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意得，令，求导后令，再次求导得，讨论，两种情况判断是否恒成立； （2）由（1）得恒成立，取，再相加即可得证. 【详解】（1）不等式， 令，求导得， 令，求导得， 而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，当时，， 取，则，而， 因此， 所以. 【考点4：利用导数研究恒、能成立问题】 【知识点：利用导数研究恒、能成立问题】 1．导数中的恒（能）成立问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 1．（24-25高二下·山东青岛·期中）若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意将不等式变形并利用函数同构可构造函数，再结合单调性可得，并求出的最大值即可得出结论. 【详解】根据题意易知， 依题意将不等式变形为； 构造函数，因为函数，在上单调递增， 所以函数为增函数， 由可得，因此在上单调递增； 即在上恒成立， 令，，则， 令可得， 当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，即，所以； 因此只需即可. 即的取值范围为. 故选：C 2．（24-25高二下·江西宜春·期中）若不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【分析】将不等式有解转化为，然后构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果. 【详解】由不等式有解，可得， 令， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 且，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·天津·期中）已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，从而转化为任意，有，根据二次函数性质分类求解即可. 【详解】对任意都存在使成立， 所以得到， 而，所以， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以 即任意，使， 令 当时，即时，， 所以， 当时，即时，成立， 当时，即时，， 所以， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 4．（2025·甘肃白银·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先对函数求导得，再根据的取值范围讨论导数正负.确定函数的单调区间. （2）把恒成立转化为.令，对其求导得，根据导数正负确定单调性，求出最大值，进而得到的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）恒成立等价于，即． 令，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 所以的取值范围为． 5．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或， 所以当或时，当时， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 6．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）当时，当时，不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）当时恒成立，所以； 当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 7．（24-25高二下·湖南·期中）设函数，. (1)试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由； (2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在极大值点，无极小值点，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求出导函数，得出函数单调性结合零点存在定理判断导数零点即可得出极值点； （2）先求出导函数，构造函数分和及分类讨论得出单调性即可求参. 【详解】（1）， 令，则，则，恒小于0，单调递减， 且，，∴，， ，，单调递增，，，单调递减，故函数存在极大值点，无极小值点. （2），则. 又令，， ①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增， ∴，∴，∴在区间上单调递增， ∴（不合题意）； ②当，即时，，∴在区间上单调递减， ∴，∴，∴在区间上单调递减， ∴（符合题意）； ③当，即时，由，， ∴，使，且时，，， ， ∴在上单调递增，∴（不符合题意）； 综上，的取值范围是. 8．（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数，. (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增， 求的取值范围; (3)当时，若，对使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； （3）由题意得出，利用导数求解即可. 【详解】（1）因为，定义域为R，， 由可得，由可得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. （2），其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. （3）当时，若，对使得，则， 由（1）可知，函数在上单调递增， 故当时，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【考点5：利用导数研究函数的零点或方程的根】 【知识点：利用导数研究函数的零点或方程的根】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 1．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先画的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画的图像，结合函数的图像，即可得到结果. 【详解】当时，，则． 由得，所以在上单调递减； 由得，所以在上单调递增． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，取得极小值，． 又当时，所以函数的大致图象， 如图．    由图可知，当或时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数的取值范围是， 故选：C． 2．（24-25高二下·浙江·期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】求定义域，求导，根据零点个数得到，解得，设的三个相异的零点为，，故，，，，化简得到，因为，所以，解得，将其代入得，，又，故，解得. 【详解】定义域为R， ，时，恒成立， 故在R上单调递增，不会有三个零点，舍去， 故，解得， 设的三个相异的零点为，，故， 又①，②，③， 式子①-②得， 即， 故， 因为，所以④， 式子③-②得， 即， 故， 因为，所以⑤， 式子④-⑤得， 即， 因为，所以， 因为，所以，解得， 将其代入②得，， 即，， 又，故，又，解得. 故答案为： 3．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的最小值，由零点情况求出最小值点的范围，进而求出的范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 又当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大， 当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，则存在正数，使得， 即，，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大， 则当且仅当时，函数有两个零点， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，而，由，得， 又函数在上单调递增，因此， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高二下·北京通州·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①若恰有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数.，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】把求零点问题转化函数图象交点问题，求出导函数判断单调性并求出极值，画出图像利用数形结合判断①②③④ 【详解】令， 易知， 当时，， 所以在单调递减， 当时，， 令， 所以在上单调递减；在上单调递增； 所以在取得极小值， 又， 画出和在同一坐标系下的图象如下所示： 由图可知当时，恰有2个零点，故①正确； 存在负数，当时，使得恰有1个零点；故②对； 存在负数，当时，使得恰有3个零点；故③对； 当时，使得恰有2或1或0个零点，故④错； 故答案为：①②③ 5．（24-25高二下·新疆和田·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性 (2)若函数有2个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调性； （2）结合（1）的单调性，应用零点的个数确定参数范围即可. 【详解】（1）由题设， 当时，，则在R上单调递减； 当时，若，则，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）若函数有2个零点，结合（1）知，必有， 时，时，则， 所以，只需，可得. 6．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求导，利用导数的几何意义可得结果. （2）问题转化为函数图象与直线交点个数问题，分析函数的单调性，画出函数大致图象数形结合可得结果. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，，， ∴， ∴切点坐标为，切线斜率为， ∴在处的切线方程为. （2）若函数有3个不同的零点，则函数的图象与直线有3个不同的交点. 由（1）得，， 由，得或，由，得， ∴在和上单调递增，在上单调递减， ∴在时取得极大值，在时取得极小值. ∵当时，，，故， 当时，， ∴函数的大致图象如下： 根据图象可得实数的取值范围为. 7．（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数，e是自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，分和分类讨论计算函数的单调性； （2）把方程有两个不等实根转化为与有2个交点，结合导函数得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围. 【详解】（1），， 若，则恒成立，所以在上单调递增， 若，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，的增区间是， 当时，的减区间是，增区间是； （2）方程，显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点， ， 当时，，在区间和单调递减， 并且时，，当时， 当时，，单调递增， 时，当时，取得最小值，， 如图，函数的图象， 与有2个交点，则. 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数. (1)当时，求证：在区间上单调递增. (2)若函数在区间各恰有1个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）二次求导，通过确定导函数的单调性，确定导数正负，即可求证； （2）令，，再令，求得，判断的单调性，进而可求解. 【详解】（1），令， ， 对，，所以， 即在上单调递减，所以， 即在上单调递增. （2）当时，对，由（1）知，， 即在上单调递增，此时，与题设矛盾. 当时，对，由（1）知，在上单调递减，又， 所以存在使， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以.又，所以存在唯使. 对， 令， 令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以存在使， 当，，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由，所以在使， 当时，，当，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以存在唯一使.符合题设. 综上，. 【考点6：导数中的新定义问题】 【知识点：导数中的新定义问题】 1．（24-25高二下·湖北武汉·期中）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义分别求得和，再构造函数，根据导数确定零点的取值范围即可求解． 【详解】，则，即， ，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得，即； ，则，即， 综上所述，， 故选：A． 2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题： 已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为 . 【答案】 【分析】由在第一象限，可得，两次对函数求导，代入曲率计算公式求解即可. 【详解】由题意，因为在第一象限，所以， 则，记， 则， 故，，故. 故答案为： 4．（24-25高二下·天津·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 【答案】(1)， (2)个 【分析】（1）依题意，即可求出、的值； （2）由（1）可得，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可判断. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以，解得； （2）由（1）知，， ∴， 令，得或， 所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以，，且当时，；当时，， 所以有个零点. 5．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 【答案】(1)为的凸函数 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义，求得和，判断的正负即可； （2）先判断出在为“凹函数”，当时，根据凸函数的性质得出，即可得出的最小值； （3）由（2）结论得出即证，两边取对数，即证，由导数得出在上为单调递增函数，即可得出，再用累加法即可证明． 【详解】（1）由题，，即， 所以为的凸函数． （2）设函数，则， ，所以在为“凹函数”， 当时，， 即， 当且仅当时，等号成立， 最小值为． （3）即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． 6．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 【答案】(1)是的“－函数”，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得和，结合“－函数”的定义，即可求解； （2）先求得为偶函数，根据是的“－函数”，得到，证得是的“－函数”，进而得到，令，得到，即可证得； （3）设，求得，再设，求得，得到递增且，，得到使得，求得的单调性和最小值，再设，求得，求得的单调性和最小值，得出，进而求得，得到，即可证得是的“－函数”. 【详解】（1）解：由函数，可得， 又由，可得， 因为，所以是的“－函数”. （2）解：由为定义在上的函数，可得函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为是的“－函数”，所以， 因为，，所以是的“－函数”， 即，用代替，可得，所以， 令，则，所以（为常数）， 所以（为常数） （3）解：由函数，， 可得，， 设，可得， 设，则， 则，所以递增，即递增，且，， 存在使得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以当时，是的“－函数” 【考点7：极值点偏移问题】 【知识点：极值点偏移问题】 1．极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性． 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且. (1)若，则称函数在区间上极值点偏移； (2)若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏； (3)若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性、极值与导数的关系可得答案； （2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，设，可得出，进一步得出，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. （2）构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 2．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增． (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，由导数符号即可求解； （2）（i）由题意知，问题转换成有两根，通过取对数，同构，构造函数，通过其单调性即可求解；（ii）构造函数，通过求导，确定单调性，确定最值，即可求解； 【详解】（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）设，借助导数研究其单调性即可得； （3）结合（2）中所得可得，可将所需证明内容转化为证明，等价于证明，构造函数，结合其单调性只需证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证. 【详解】（1），，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为； （3）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（2）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， ， 则，在单调递减， 欲证，即证，， 等价于，即， 等价于， 整理得①， 令，①式为， 又在单调递增， 故①式等价于，即， 令，， 当时，，在单调递增， 又，，即， 所以，则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原不等式转化为证明，再转化为证明，最后转化为证明，从而可构造函数帮助证明. 5．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，进而由导函数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间； （3）先令，求导得到其单调性，求出，进而构造差函数，证明出极值点偏移问题. 【详解】（1）当时，，， ，故， 故函数在处的切线方程为，即； （2）定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知函数在处取得极值，故符合题意， 因为，， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，恒成立，，当时，， 画出的图象如下： 故， 令，， ， 因为，所以，， 故在上单调递减， 又，故在上恒成立， 即，， 因为，所以，所以， 其中，故， 其中，，在上单调递增， 所以，即. 6．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合参变分离得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数在不同取值下，函数的零点个数； （2）由题意可得得，要证明，只需证明，设，则，即证即可，令，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且，由可得， 令，其中，则， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，的极小值为， 且当时，；当时，. 如下图所示： 当时，即当时，直线与函数只有一个公共点， 当时，即当时，直线与函数有两个公共点， 当时，即当时，直线与函数无交点. 综上所述，当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. （2）由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题—导数（提升篇） 【考点1：利用导数研究函数的单调性】 1 【考点2：利用导数研究函数的极值或最值】 4 【考点3：利用导数证明或求解不等式】 8 【考点4：利用导数研究恒、能成立问题】 11 【考点5：利用导数研究函数的零点或方程的根】 14 【考点6：导数中的新定义问题】 17 【考点7：极值点偏移问题】 21 【考点1：利用导数研究函数的单调性】 【知识点：利用导数研究函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2．利用导数判断不含参函数单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数f(x)的导数； (3)在定义域内求解不等式f'(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； (4)在定义域内求解不等式f'(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间. 注：单调区间不以”并集”出现. 3．构造函数研究单调性 (1)关系式为“加”型 ①f'(x)+f(x)≥0：构造[exf(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]； ②xf'(x)+f(x)≥0：构造[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)； ③xf'(x)+nf(x)≥0：构造[xnf(x)]'=xnf'(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)]. (注意对x的符号进行讨论) (2)关系式为“减”型 (1)f'(x)-f(x)≥0：构造； (2)xf'(x)-f(x)≥0：构造； (3)xf'(x)-nf(x)≥0：构造. 4．含参函数的分类讨论 利用导数研究函数的单调性主要是利用导数的正负与函数单调性的关系得出相应结论，导函数的符号 决定了函数的单调性，而导函数的变号零点恰好是其分界点，故f'(x)=0是否有根及根的位置是分类讨论的标准，一般可以按方程在定义域内有根、无根以及根的大小等方面来分类讨论. 5．单调性的逆向求参问题 (1)函数f(x)在(a,b)上单调递增，则f'(x)≥0且f'(x)在(a,b)的任意子区间上不恒为0； (2)函数f(x)在(a,b)上单调递减，则f'(x)≤0且f'(x)在(a,b)的任意子区间上不恒为0. 6．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 1．（24-25高二下·重庆·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（山东省德州市优高联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题）已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建福州·期中）已知是函数的导数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，求： (1)函数的图象在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间． 7．（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数，e是自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 8．（2025·福建厦门·三模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【考点2：利用导数研究函数的极值或最值】 【知识点：利用导数研究函数的极值或最值】 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．求可导函数极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求导函数f'(x)； (3)在原函数的定义域内，求方程f'(x)=0的所有实数根； (4)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数f'(x)的符号变化情况. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 4．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 5．函数最值的求解思路 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 6．求含有参数的函数的最值的解题策略 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 1．（24-25高二下·山西吕梁·期中）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·三模）已知函数，，则下列关于函数的极值点的叙述，正确的是（    ） A．既没有极大值点也没有极小值点 B．既有极大值点也有极小值点 C．有且只有一个极小值点 D．有且只有一个极大值点 3．（2025高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知关于的方程有解，则的最小值为 . 5．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数，在处的切线与直线垂直． (1)求的值； (2)求函数的最大值． 6．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最小值． 7．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，且满足在处取得极值， (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 8．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知实数，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)记为的导函数，试讨论的极值点的个数． 【考点3：利用导数证明或求解不等式】 【知识点：利用导数证明或求解不等式】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 1．（2025·江西赣州·二模）设数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 3．（2025·四川·三模）已知函数． (1)若，试判断函数在区间内的极值点个数，并说明理由； (2)当，时，求证：．（参考数据：） 4．（2025·福建厦门·三模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 5．（24-25高二下·山西·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，若存在零点，求实数的取值范围； (3)证明：. 6．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数. (1)当，时，恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：. 【考点4：利用导数研究恒、能成立问题】 【知识点：利用导数研究恒、能成立问题】 1．导数中的恒（能）成立问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 1．（24-25高二下·山东青岛·期中）若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西宜春·期中）若不等式有解，则实数的取值范围为 . 3．（24-25高二下·天津·期中）已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是 . 4．（2025·甘肃白银·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 5．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 6．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 7．（24-25高二下·湖南·期中）设函数，. (1)试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由； (2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8．（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数，. (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增， 求的取值范围; (3)当时，若，对使得，求的取值范围. 【考点5：利用导数研究函数的零点或方程的根】 【知识点：利用导数研究函数的零点或方程的根】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 1．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为 . 3．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围 ． 4．（24-25高二下·北京通州·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①若恰有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数.，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是 . 5．（24-25高二下·新疆和田·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性 (2)若函数有2个零点，求实数m的取值范围. 6．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围. 7．（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数，e是自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数. (1)当时，求证：在区间上单调递增. (2)若函数在区间各恰有1个零点，求a的取值范围. 【考点6：导数中的新定义问题】 【知识点：导数中的新定义问题】 1．（24-25高二下·湖北武汉·期中）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题： 已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为 . 4．（24-25高二下·天津·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 5．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 6．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 【考点7：极值点偏移问题】 【知识点：极值点偏移问题】 1．极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性． 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且. (1)若，则称函数在区间上极值点偏移； (2)若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏； (3)若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 2．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 5．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 6．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$