专题02：圆锥曲线高频考点分类复习期末复习讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题02 圆锥曲线高频考点分类复习 题型01：圆锥曲线的方程 1．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知方程表示的曲线为.则以下四个判断中错误选项为（    ） 2．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高二上·全国·期中）方程可化简为（    ） A． B． C． D． 4．动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5.（2024秋七宝中学高二期末）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是______ 6．（2024秋格致中学高二期末）下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型02：圆锥曲线的性质 7．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 8．（24-25高二上·上海浦东新·期末）双曲线的焦距是，则实数的值为 ． 9.（21-22高二上·上海浦东新·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 10.（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为 . 11.（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（22-23高二下·上海杨浦·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 13．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 15.（23-24高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 16．已知是双曲线：的右焦点，则点到的渐近线的距离为 ． 题型03：焦距、焦点三角形 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 18．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 19．（23-24高二下·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 20．（21-22高二·全国·阶段练习）已知､是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，求的面积. 21．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 题型04：离心率和渐近线 22．（23-24高二上·上海·期末）若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为 ． 23．（21-22高二上·上海·期末）已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 25．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·上海·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 27．（22-23高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）从某个角度观察篮球（如图1)可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型05：直线与圆锥曲线的位置关系 30．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 31．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 32．（2022高二·上海·阶段练习）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 题型06：弦长、中点弦等问题 33．已知直线与椭圆交于两点，则 . 34.过椭圆9x2+25y2＝225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB的长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 35.已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线y＝x+m被双曲线C截得的弦长为4，求实数m的值． 36.椭圆中，以点M（2，1）为中点的弦所在直线斜率为（　　） A． B． C． D． 37.已知双曲线x21，过点P（2，1）作一条直线交双曲线于A，B，并使P为AB的中点，求AB所在直线的方程和弦AB的长 题型07：曲线与方程、参数方程 38．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．两条平行线 C．三角形 D．菱形 39.曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论： ①曲线C关于坐标轴对称； ②周长的最小值为； ③点P到y轴距离的最大值为； ④点P到原点距离的最小值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 40．（24-25高二上·上海·期末）参数方程（为参数）的普通方程是 . 41．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 42．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 题型08：定点定值定直线问题 43．（24-25高二上·上海·期中）已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. (1)若，，求曲线的方程； (2)若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； (3)若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 44．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 45.（2024行知中学月考）已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）若是线段的中点，求直线的方程； （3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线于的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 题型9：向量问题 46．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知椭圆E：的离心率为，且过点，直线交E于A，B两点.    (1)求E的方程； (2)求三角形的面积的最大值； (3)若E上存在点P使得，在上的投影向量相等，且的重心在y轴上，求直线的方程. 47．（2023·上海徐汇·三模）椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. (1)求椭圆与双曲线的标准方程； (2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； (3)过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 48．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆方程为（），离心率为且过点. (1)求椭圆方程； (2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； (3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 题型10：范围与最值问题 49．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求面积的最大值. 50．（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设△OMN、的面积分别为、． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围. 51．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆，过点，且长轴长是焦距的2倍． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的一个动点，求动点到定点的最短距离； (3)若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． 题型11：存在性问题 52．（2024·上海·三模）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题02 圆锥曲线高频考点分类复习 题型01：圆锥曲线的方程 1．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知方程表示的曲线为.则以下四个判断中错误选项为（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．当或时，曲线表示双曲线 C．当时，曲线表示椭圆 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线的标准方程求解即可. 【详解】选项A：当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，解得，正确； 选项B：当时，曲线表示双曲线，解得或，正确； 选项C：当时，曲线表示椭圆，解得且，错误； 选项D：当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，解得，正确； 故选：C 2．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】根据双曲线标准方程的特点求解. 【详解】 是焦点在x轴的双曲线， ，即 ； 故答案为： . 3．（23-24高二上·全国·期中）方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项平方化简可得答案. 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得， 可化简为. 故选：D. 4．动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案. 【解析】由得， 等式左边表示点和点的距离， 等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 5.（2024秋七宝中学高二期末）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是______ 【解题思路】依题意，设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0）或y2＝﹣2px（p＞0），将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程，求得p即可． 【解答过程】解：∵抛物线的顶点在原点，且过点（﹣4，4）， ∴设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0）或y2＝﹣2px（p＞0）， 将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x2＝2py（p＞0）得：16＝8p， ∴p＝2， ∴此时抛物线的标准方程为x2＝4y； 将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程y2＝﹣2px（p＞0），同理可得p＝2， ∴此时抛物线的标准方程为y2＝﹣4x． 综上可知，顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是x2＝4y或y2＝﹣4x． 6．（2024秋格致中学高二期末）下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、直线和圆的知识对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【解析】①，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，所以点轨迹是两点间的线段，①错误. ②，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1， 当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等，则P的轨迹是抛物线； 当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确. ④，动点满足， 则或， 表示的是直线在圆外和圆上的部分； 表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误. 所以正确的有0个. 故选：A 题型02：圆锥曲线的性质 7．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】化椭圆方程为标准形式，求出长短半轴长，进而求出半焦距即得. 【详解】椭圆，即，长半轴长，短半轴长， 则半焦距，显然椭圆焦点在y轴上， 所以它的焦点坐标为. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海浦东新·期末）双曲线的焦距是，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】分类讨论和，由题意可得出或，解方程即可得出答案. 【详解】若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 故答案为：或 9.（21-22高二上·上海浦东新·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简抛物线方程为标准形式，然后求解焦点坐标即可 【详解】，则抛物线的标准方程为：，焦点坐标在轴上，焦点坐标为：． 故选：B 10.（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴上，从而可求准线方程. 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 11.（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据焦半径公式，结合抛物线方程，直接计算即可. 【详解】对，其焦点坐标为，，解得. 故选：C. 12．（22-23高二下·上海杨浦·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 【答案】C 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断． 【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为； 椭圆即，因为， 则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为, 故两个椭圆的焦距相等． 故选：C． 13．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 15.（23-24高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 【答案】B 【分析】过一点的直线需先考虑直线斜率是否存在，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，由题意求得的符合题意的直线有两条. 【详解】过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点， 若直线的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意； 故设直线的斜率为，则直线的方程为， 代入到抛物线得， 因为两点的横坐标之和为3， 所以，解得：，所以， 则这样的直线有且仅有两条. 故选：B 16．已知是双曲线：的右焦点，则点到的渐近线的距离为 ． 【答案】1 【分析】线求出右焦点和渐近线方程，再用点到直线距离公式计算即可 【解析】根据，得到，则，则，则. 所以右焦点，渐近线方程为，即. 根据点到直线距离公式，知道到的渐近线的距离为. 故答案为：1. 题型03：焦距、焦点三角形 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】由椭圆可知，即， 由椭圆的定义可知，的周长为， 故答案为： 18．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 19．（23-24高二下·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 20．（21-22高二·全国·阶段练习）已知､是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，求的面积. 【答案】 【分析】根据双曲线焦点坐标结合题意求得，根据双曲线定义和余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可求得结果. 【详解】因为､是双曲线的两个焦点， 所以，所以； 设，， 因为点M是双曲线上一点，且，所以； 在△中，由余弦定理可得：； 联立上述两式可得：， 所以的面积. 21．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算． 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 题型04：离心率和渐近线 22．（23-24高二上·上海·期末）若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】 根据焦距求解双曲线方程，即可由渐近线方程求解. 【详解】由题意可得，故， 故双曲线方程为，因此渐近线方程为， 故答案为： 23．（21-22高二上·上海·期末）已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程. 【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为： ∴设双曲线： ∵双曲线与椭圆有相同的焦点 ∴，解得： ∴双曲线的方程为. 故选：B. 24．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，解得、，即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 25．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用渐近线的斜率公式结合倾斜角与斜率之间的关系，即可解决. 【详解】由题意得的渐近线方程为，则． 故选：B. 26．（24-25高二上·上海·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题可得直线的方程，再计算到直线的距离，从而可表示出面积，又利用焦点三角形及内切圆的性质，也可表示出面积，则两面积相等即可求椭圆的离心率. 【详解】由题知直线的方程为，即， 所以到直线的距离， 又因为的内切圆面积为，则半径， 所以由等面积可得， 解得. 故答案为：. 27．（22-23高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解. 【详解】解：设， 又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或， 则，即， 即，则， 故选：B 28．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出到渐近线的距离，求出，根据求出的取值范围. 【解析】 设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点， 则到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以，因为， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）从某个角度观察篮球（如图1)可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的标准方程为，求出圆与双曲线在第一象限内的交点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的标准方程为， 设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、， 则， 因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，则， 故点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 题型05：直线与圆锥曲线的位置关系 30．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过作图，可见直线与抛物线有且只有1个公共点的直线有两类：一类与抛物线对称轴平行，一类与抛物线相切，统计即得. 【解析】 如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点； 当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点. 由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条. 故选:D. 31．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 32．（2022高二·上海·阶段练习）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】 根据直线与圆没有公共点，利用圆心到直线的距离大于半径，得到，再判断点与椭圆的位置关系即可得出答案. 【详解】 圆的圆心，半径为， 因为直线与圆没有公共点， 所以圆心到直线的距离大于半径，得，即， 所以，则点在椭圆内部， 所以过点的直线与椭圆必有2个公共点. 故选：C. 题型06：弦长、中点弦等问题 33．已知直线与椭圆交于两点，则 . 【答案】/ 【分析】联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案. 【解析】联立与，得， 设， 则， 故. 故答案为： 34.过椭圆9x2+25y2＝225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB的长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 【解题思路】由题意作图辅助，从而可得点F（4，0），AB的方程为y＝x﹣4；联立方程化简可得34x2﹣200x+175＝0；再利用根与系数的关系及椭圆的第二定义求解即可． 【解答过程】解：作图如右图，由题意知， a＝5，b＝3，c＝4； 故点F（4，0），AB的方程为y＝x﹣4； 设A（x1，y1），B（x2，y2）； 由联立消y化简可得， 34x2﹣200x+175＝0； 故x1+x2； 则弦AB的长|AB|＝|AF|+|BF| （x1）（x2） ； 故选：C． 35.已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线y＝x+m被双曲线C截得的弦长为4，求实数m的值． 【解题思路】（1）由双曲线的离心率为，实轴长为2，列出方程组，求出a＝1，c，b＝2，由此能求出双曲线C的方程． （2）联立，得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出实数m的值． 【解答过程】解：（1）∵双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2． ∴由题意，得，解得a＝1，c，b＝2， ∴所求双曲线C的方程为． （2）联立，得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0， ∵直线y＝x+m被双曲线C截得的弦长为4， ∴△＝4m2+4m2+8＞0， 设直线与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 由弦长公式得， 解得m＝±1． 36.椭圆中，以点M（2，1）为中点的弦所在直线斜率为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【解答过程】解：根据题意，设以点M（2，1）为中点弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则有， 两式相减得可得：， 变形可得：， 又由点M（2，1）为AB的中点，则有x1+x2＝4，y1+y2＝2， 则有， 即以点M（2，1）为中点的弦所在直线斜率为； 故选：C． 37.已知双曲线x21，过点P（2，1）作一条直线交双曲线于A，B，并使P为AB的中点，求AB所在直线的方程和弦AB的长 【解题思路】设出直线AB的方程与双曲线方程联立消去y，设两实根为x1，x2，利用韦达定理可表示出x1+x2的值，根据P点坐标求得x1+x2＝4进而求得k，则直线AB的方程可得，进而利用弦长公式求得|AB|． 【解答过程】解：易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣1＝k（x﹣2） 由 得（3﹣k2）x2+2k（2k﹣1）x﹣4（k2﹣k+1）＝0 设此方程两实根为x1，x2， 则x1+x2 又P（2，1）为AB的中点， 所以4 解得，k＝6 当k＝6时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0所求直线AB的方程为y﹣1＝6（x﹣2）化成一般式为6x﹣y﹣11＝0． ∴|AB|． 题型07：曲线与方程、参数方程 38．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．两条平行线 C．三角形 D．菱形 【答案】D 【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可. 【解析】当，方程为； 以代替x方程不变，曲线关于y轴对称； 以代替y方程不变，曲线关于x轴对称； 以、代替x、y方程不变，曲线关于原点对称； ∴曲线既是轴对称图形也是中心对称图形； ∴方程的曲线围成的封闭图形是一个 以、、、为顶点的菱形． 故选：D． 39.曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论： ①曲线C关于坐标轴对称； ②周长的最小值为； ③点P到y轴距离的最大值为； ④点P到原点距离的最小值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 18．①②④. 【分析】由题意得到方程，结合对称性的判定方法，可判定①正确；设，得到，结合基本不等式，可判定②正确；过点作，求得的最大面积为，结合面积相等，可判定③不正确；化简，结合不等式，可判定④是正确的. 【解析】由题意，曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于， 可得，即， 用代换，或代换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，所以①正确； 设，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最小值为，所以②正确； 过点作，则， 当且仅当时，等号成立， 当时，取得最大值， 所以的最大面积为， 又由，解得，即点到轴的最大距离为， 所以③不正确； 由 ， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，可得， 所以④是正确的. 故答案为：①②④. 【点评】方法技巧：根据题设条件得到，令和，得到，结合基本不等式求解是解答的关键. 40．（24-25高二上·上海·期末）参数方程（为参数）的普通方程是 . 【答案】 【分析】消参，可得普通方程. 【解析】由已知， 即， 即， 化简可得， 故答案为：. 41．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/0.6 【分析】根据给定的参数方程求出椭圆的长短半轴长，再利用离心率公式计算作答. 【解析】依题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，则该椭圆半焦距， 所以该椭圆的离心率. 故答案为： 42．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 【答案】/ 【分析】根据消参可得直线方程，和曲线方程，联立直线与曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【解析】直线方程为，曲线， 联立消去整理可得， 设则， . 故答案为： 题型08：定点定值定直线问题 43．（24-25高二上·上海·期中）已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. (1)若，，求曲线的方程； (2)若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； (3)若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)当时，曲线为椭圆； 当时，曲线为抛物线； 当时，曲线为双曲线； (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，化简即可； （2）由题意可得，进而分类讨论可得结论； （3）设直线的方程为，设，则，联立方程组可得，可得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【解析】（1）当，时，则，设， 由题意可得，化简得， 所以曲线的方程为； （2）若，则，设， 由题意可得，化简得，即, 当时，方程表示椭圆； 当时，方程表示抛物线； 当时，方程表示双曲线； （3）若，，则，由（2）可得曲线的方程为， 设直线的方程为， 由，消去，得， 设，则， 所以， 直线的方程为，由双曲线关于轴对称，可得定点在轴上， 当时， ， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：本题求定点坐标，关键由对称性可得定点在轴上，进而令直线方程中的，求解可得定点坐标. 44．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】（1）由题意可得，由面积可得，再结合，即可得出答案. （2）直线的方程为，联立方程解出，进而可求面积； （3）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得为定值. 【解析】（1）依题意可知， 当为短轴顶点时，取到最大值， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程. （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设， 若，则直线， 联立方程，消去可得，解得或， 所以的面积. （3）由（2）可设，则， 设直线的方程为，此时， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 则， 不妨设，因为三点共线，则， 可得，则， 因为三点共线，则， 可得，则， 可得， 则，可得， 所以，即. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 45.（2024行知中学月考）已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）若是线段的中点，求直线的方程； （3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线于的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【解答】解：（1）由题意知且， 解得，， 所以椭圆方程为， 由抛物线方程易知准线为，所以； （2）设，，则， 依题意有，解得，， 所以； （3）设，，，，，，， 联立，得， ， 直线，， 交点横坐标，又， 解得， 与的交点恒在直线上． 题型9：向量问题 46．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知椭圆E：的离心率为，且过点，直线交E于A，B两点.    (1)求E的方程； (2)求三角形的面积的最大值； (3)若E上存在点P使得，在上的投影向量相等，且的重心在y轴上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点在椭圆上，离心率的定义，以及椭圆的性质求解即可； （2）直曲联立，得到韦达定理，由弦长公式求出弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后由三角形的面积公式和对勾函数的单调性求解即可； （3）由重心坐标公式可得，再由投影向量关系可得直线的方程，进而求出，然后代入椭圆方程求解即可； 【详解】（1）因为椭圆经过点，代入可得，即， 又离心率为，所以， 由， 所以椭圆E的方程为. （2）    联立，消去并整理可得， ， 设， ， 所以， 原点到直线的距离， 所以三角形的面积， 令，，则， 所以， 由对勾函数的单调性可得当时，分母取得最小值4， 所以三角形的面积的最大值为. （3）    设弦的中点，，重心， 由（2）中可得，且的重心在y轴上，即， 所以， 则，， 因为，在上的投影向量相等，所以，且， 所以直线的方程为， 所以， 所以， 代入椭圆方程可得，即， 又，所以， 所以直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键在于表示出三角形面积公式后设，结合对勾函数的单调性求出最值；第三小问的关键在于利用重心坐标公式和投影向量关系求出点坐标，再代入椭圆方程. 47．（2023·上海徐汇·三模）椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. (1)求椭圆与双曲线的标准方程； (2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； (3)过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义以及双曲线的渐近线分析运算； （2）根据题意利用点差法分析运算； （3）根据题意讨论直线的斜率是否为0，结合韦达定理以及向量的线性运算分析运算. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次为、、， 则可得， 因为双曲线的焦点在x轴上，且渐近线是，则，即， 可得，即，所以， 又因为点在椭圆上，则的周长为， 解得， 可得， 所以椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程.    （2）设，则的中点， 由题意可知：，则， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减可得， 整理得，即， 又因为，则， 且点均在直线上，则点即为点，即为的中点. （3）设， 当直线的斜率为0时，则， 可得， 因为，则，解得， 又因为，则，解得，即； 当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为， 可得， 联立方程，消去x得， 则，解得或， 可得， 因为，则，整理得， 由，可得， 又因为，则， 整理得； 综上所述：点的轨迹方程为.    【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 48．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆方程为（），离心率为且过点. (1)求椭圆方程； (2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； (3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析. (3)存在，使成立，最小为3. 【分析】（1）由离心率和顶点得椭圆的方程； （2）设点P，A的坐标，由对称性得点B的坐标，计算斜率之积，证明为定值； （3）按直线MN斜率是否为零分类讨论，计算及，并求的最小值. 【解析】（1）由题，，，所以， 椭圆的方程为. （2）    证明：设点，因为点P在椭圆上，所以，， 同理设点，则，， 因为直线AB过原点，所以关于原点对称，点， . （3）   ，当直线MN斜率为零时，不妨设，， 则，，，， 存在，使成立， 当直线MN斜率不为零时，设直线方程为，，， 联立方程组，消去x得，易知， 所以，，， ， 又因为，， 所以，， 又因为，当时，最小为3， 综上，存在，使成立，最小为3. 【点睛】方法点睛：过定点且斜率不为零的直线可以设为. 题型10：范围与最值问题 49．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，解得、即可； （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，由三角形面积公式及基本不等式即可求解最值． 【详解】（1）依题意可得， 解得， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）可得，，则， 又， 所以， 当且仅当为的延长线与椭圆交点时取等号， 所以， 故周长的最大值为； （3）设直线的方程为，，． 由，消去整理得，显然， 所以，， 所以 ， 又因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 故面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 50．（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设△OMN、的面积分别为、． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求的值； （2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求的值； （3）设直线、的方程，与椭圆联立方程组表示出，由，化简并结合基本不等式求取值范围. 【解析】（1）椭圆的上顶点坐标为， 则抛物线的焦点为，故. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、， 联立可得，恒成立，则， . （3）设直线、的斜率分别为、，其中，， 联立可得，解得， 点在第三象限，则， 点在第四象限，同理可得， 且    ， 当且仅当时，等号成立. 的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 51．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆，过点，且长轴长是焦距的2倍． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的一个动点，求动点到定点的最短距离； (3)若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）根据题设求出后可求椭圆的方程； （2）用两点之间的距离公式求出，再利用二次函数的性质可求最小值； （3）联系直线方程和椭圆方程，再结合韦达定理求出中点的坐标，根据中垂线过可求的关系，再结合判别式可求的取值范围. 【详解】（1）设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：，故，故， 故椭圆方程为：. （2）设，则， 整理得到：， 因为，故，故. （3）设，的中点为， 由可得， 故， 故. 而，， 因为线段的垂直平分线过定点，故， 整理得到：，所以， 解得或. 题型11：存在性问题 52．（2024·上海·三模）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，，或，，成等差数列 【分析】（1）根据题意可得，结合，求得，进而求得； （2）设点，表示出，结合可得，结合可得不等式，即可求得答案； （3）设点，，①若直线斜率为0，直接验证；②直线斜率不为0，设直线，，，则，，，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【解析】（1）由题意知，，故， 又离心率，故，于是. （2）设点，其中，且， 则， 由，得， ，，，，，，只需， 又，故， 所以的取值范围是. （3），，或，，成等差数列，证明如下： 若，则，设点，. ①若直线斜率为0，则点，不妨令点，， 则，，，此时，，的任意排列，，均不成等比数列，，，或，，成等差数列. ②直线斜率不为0，设直线，，，则点， 由得，， 故，， 因为，，， 所以 ， 所以，，或，，成等差数列. 综合上述，，，或，，成等差数列. 【点睛】关键点睛：本题第三问与数列进行了综合，关键在于判断出结论，进而证明.先由直线斜率为0时，直接验证，，或，，成等差数列；直线斜率不为0时，结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合进行化简验证. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$