精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

滨城高中联盟2024-2025学年度下学期高二5月期中考试 数学试卷 命题人：大连市第二十高级中学 任中美 校对人：大连市第二十高级中学 魏九九 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的概念可求得，由此可得结果. 【详解】设等比数列的公比为， ∵， ∴，故， ∴. 故选：C. 2. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 3. 甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求，，结合条件概率公式求结论. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，然后由全概率公式求解出即可. 【详解】因为，所以， 由得：， 所以由全概率公式得：， 故选：A 5. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 6. 下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A. 百只 B. 百只 C. 百只 D. 百只 【答案】B 【解析】 【分析】对两边取自然对数得，令，则，由回归直线必过样本点的中心即可求得，进而得解. 【详解】由两边取自然对数得，令， 则，即与呈线性相关关系， ，， 回归直线必过样本点的中心，，解得， ，则，当时，． 故选：B 7. 小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（ ） A. B. 存在最大值 C. D. 随着n的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可. 【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为： ， 有，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， ， 可得，故为递增数列，可知D选项正确，B错误. 故选：B 8. 把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（ ） A. 109 B. 110 C. 111 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】分析得到奇数行为奇数列，偶数行为偶数行，为第个奇数，利用等差数列求和得到前个奇数行和前个奇数行的奇数个数，确定在第行，且在第列，求出，得到答案. 【详解】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第行有个数， 记为第个奇数，则， 又，所以为第个奇数， 又前个奇数行，共有奇数， 又前个奇数行，共有奇数， 则，，故在第行，且列， 即，所以 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分． 9. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解. 【详解】对于AC：因为， 且， 所以，，又因为， 所以，解得； 所以等差数列是递减数列，故AC错误； 对于B：因为，所以，故C正确； 对于D：因为等差数列是递减数列， 且，，则，， 所以，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若等差数列，，若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求. 【详解】对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列， 所以，即， 解得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以是等差数列， 由得， 所以 ，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D， 因为， 所以， 所以，又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，分析出需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色，利用独立事件乘法公式计算出概率；B选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球，从而计算出概率；C选项，前5次有4次投掷硬币，正面朝上，第6次投掷硬币，正面朝上，求出概率；D选项，设经过次试验后小球全部取出的概率最大，求出相应的概率，得到不等式组，求出答案. 【详解】A选项，经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球， 需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色， 故概率为，A正确； B选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球， 故概率为，B正确； C选项，经过6次试验后试验停止，即前5次有4次投掷硬币，正面朝上， 第6次投掷硬币，正面朝上， 概率为，C错误； D选项，设经过次试验后小球全部取出的概率最大， 此时前次有4次投掷硬币，正面朝上，第次投掷硬币，正面朝上， 故概率为， 令，解得， 又， 故经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有种取法，结合古典概型可得答案. 【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法， 其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法， 假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以． 故答案为：. 13. 已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由递推公式可得数列是常数列，即可得到的通项公式，结合裂项相消法即可得到，然后结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列， ， ，，， 当且仅当，即时取等号， ，则的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位:人）: 好评 差评 合计 男性 40 68 108 女性 60 48 108 合计 100 116 216 （1）判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”? （2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列; （3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人.现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数.若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值. 参考公式:，其中. 参考数据: 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有 （2）答案见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据列联表，求出，再根据参考数据可判断； （2）先求出随机抽取1人为男性的概率，由题意，由二项分布可得答案； （3）Y的可能取值为0，1，2，求出概率，求出期望，建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 ， 所以有的把握认为“观影评价与性别有关”. 【小问2详解】 从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以， 所以， ， 故的分布列为 0 1 2 3 【小问3详解】从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，则男性4人，女性6人.则的可能取值为0，1，2， 所以. 所以，即 即，解得，又，所以的最大值为2. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问的解决关键是，将问题转化为二项分布问题，即根据条件得出，从而得解. 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推式子即可求通项公式； （2）易知的周期为4，故构造构数列，易证数列为常数列，故题目所求可化为. 【小问1详解】 ① 当时，，即； 当时，② ①－②得 因为时，也满足上式， 故． 【小问2详解】 记， 则 （常数） 数到为常数列， 16. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示． （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多1株高度低于的概率． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据各小组的频率之和等于1列式计算即得； （2）根据抽样比得到高度在和的株数分别为2和3，确定的可能取值，利用超几何分布计算各概率值，写出分布列即可； （3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得； 【小问2详解】 结合（1）的结论，可得高度在和的频率分别为0.1和0.15， 所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 则可取0，1，2，于是， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 P 【小问3详解】 从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在为事件， 至多1株高度低于23cm为事件， 因高度在内的频率为，即， 高度在内的频率为，即， 高度在内的频率为，即， 则， 而， 所以. 17. 已知数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可. 【小问1详解】 由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 ①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 18. 前关湿地有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． （1）若有4位居民连续两天去湿地散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的数学期望． （2）若某居民每天都去湿地散步，记第天选择路线的概率为． ①请写出与的递推关系； ②设，求证： 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式； （ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证 【小问1详解】 记附近居民第天选择路线，分别为事件，， 依题意，，，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率 ； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． 【小问2详解】 （i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以 （ii）由（i）知， 则，而，， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即， ， 当时，，而， 所以； 当时，， 而， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中联盟2024-2025学年度下学期高二5月期中考试 数学试卷 命题人：大连市第二十高级中学 任中美 校对人：大连市第二十高级中学 魏九九 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A B. C. 9 D. 16 3. 甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A. 百只 B. 百只 C. 百只 D. 百只 7. 小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（ ） A. B. 存在最大值 C. D. 随着n的增大而增大 8. 把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（ ） A. 109 B. 110 C. 111 D. 112 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分． 9. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若是等差数列，，若，则 D 若，，则 11. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 13. 已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位:人）: 好评 差评 合计 男性 40 68 108 女性 60 48 108 合计 100 116 216 （1）判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”? （2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列; （3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人.现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数.若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值. 参考公式:，其中. 参考数据: 0.10 005 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3841 5.024 6.635 7.879 10.828 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 16. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示． （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多1株高度低于的概率． 17. 已知数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 18. 前关湿地有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． （1）若有4位居民连续两天去湿地散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的数学期望． （2）若某居民每天都去湿地散步，记第天选择路线的概率为． ①请写出与的递推关系； ②设，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $