精品解析：辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年度下学期期中考试高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质，，求出，再由求值即可. 【详解】等差数列中，有， ，得，则. 故选：D. 2. 设随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性可知关于对称轴对称即可求解. 【详解】根据正态分布密度函数的图形特征，其图象关于直线对称， 又因为， 所以有，解得， 故选：A 3. 设等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 27 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再求即可. 【详解】设等比数列的公比为，由，则， 所以，解得， 则有. 故选：C. 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，后由裂项求和法可得答案. 【详解】注意到，则. 则 . 故选：B 5. 从集合中任意选出三个不同的数，若这三个数依次成等比数列，则这个等比数列公比为2的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率计算即得. 【详解】从集合中任意选出三个不同的数，这三个数依次成等比数列，它们是： ，共8个， 其中公比是2的等比数列为，共2个， 所以等比数列公比为2的概率是. 故选：C 6. 数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得，再根据当时，，，可求得范围. 【详解】因为， 则， 两式相减得， 因为数列是递增数列， 所以当时，，解得. 当时，， 所以，解得. 综上. 故选：B. 7. 若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ） A. 0.02 B. 0.98 C. 0.049 D. 0.05 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率以及对立事件的概率，结合题意写出对应概率，利用全概率公式，可得答案. 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则 故所求概率，解得 故选：A. 8. 已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ） A. 4050 B. 2025 C. 4052 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】先由得，再由等比中项的性质得， 再得定值，直接代入求和即可. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ） A. 相关变量，具有正相关关系 B. 去除异常数据后，新的平均数 C. 去除异常数据后的经验回归方程为 D. 去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据正相关的定义得到A正确；B选项，根据得到B错误；C选项，先求出，进而得到，结合新的经验回归直线的斜率得到新的经验回归方程；D选项，去除异常数据后，斜率由增大到3，故D错误. 【详解】A选项，因为回归方程的斜率为正，所以相关变量，具有正相关关系，所以A正确； B选项，因为，所以去除两个异常数据和后， 得到新的，所以B错误； C选项，由代入得， 故去除两个异常数据和后，， 因为得到的新的经验回归直线的斜率为3， 所以， 所以去除异常数据后经验回归方程为，故C正确； D选项，因为经验回归直线的斜率为正数，所以变量，具有正相关关系， 且去除异常数据后，斜率由增大到3，故值增加的速度变大，D错误. 故选：AC． 10. 已知事件，，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么， C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】CD 【解析】 【分析】利用概率的性质结合事件的关系计算相应的概率. 【详解】A选项：若，且事件与为对立事件满足题意，而，故A选项错误； B选项：如果，那么， 故选项B错误. C选项：如果与互斥，那么，故选项C正确. D选项：如果与相互独立，那么相互独立，则，故选项D正确. 故选：CD. 11. 设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由，可判定A正确；再由，得到，得出数列为等比数列，求得，可判定B、D不正确；结合等比数列的求和公式，可判定C正确. 【详解】解：由题意得，所以A正确； 蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则它前一步只有两种情况： ①本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率为； ②若上一步在下底面，第步不在上底面概率为， 如果爬上来，其概率应为， 所以，整理得，即， 所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以，所以B、D不正确； 因为数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，所以C正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为________.附， 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意先列出列联表计算值，再根据计算出的最小值. 【详解】根据题意，列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 3m 3m 6m 女 4m 2m 6m 合计 7m 5m 12m ， 有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即， ，解得，又， 所以的最小值为. 故答案：20. 13. 甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求得甲以获胜的概率，甲以获胜的概率，再由求解. 【详解】解：题意可知，甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 因为， 所以， 解得， 故取值范围为. 故答案为： 14. 已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为________. 【答案】7 【解析】 【分析】利用数列和与项的关系、裂项法求数列通项公式、累加法求数列前项和的知识解答即可. 【详解】当时， 故即， 又当时，，则， 故数列为首项为,公比为的等比数列，故的通项公式为 故， 则， 故当时，即，即又可得的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． （1）设小张抽到球的个数为，求的分布列及． （2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布可求分布列，利用公式可求期望. （2）利用全概率可求小张回答论述题的概率. 【小问1详解】 的所有可能取值为1，2，3，则，，， 所以的分布列为 1 2 3 故． 【小问2详解】 记事件为“小张回答类题”，为“小张回答类题”，为“小张回答论述题”． 由（1）知，， 由题意知，， 所以． 16. 已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和． （1）求； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用和与通项的关系可转化为通项的递推关系，从而来求出通项公式，再利用错位相减法求和即可； （2）对于该不等式恒成立，需要对分奇偶讨论，然后利用分离参变量思想求数列的最值，即可得到答案. 【小问1详解】 由可得：，， 上面两式相减得：，整理得：，， 所以数列是常数列，即，所以，则， 所以 两边同乘以2得： 两式相减得：， 即. 【小问2详解】 由可得：，整理得：， 当为偶数时，上面不等式可化简为：， 利用该数列单调递增性可知：，所以， 当为奇数时，上面不等式可化简为：， 再利用该数列单调递减性可知：，所以， 综上可得：. 17. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表． 1 2 3 4 5 6 1 1.5 3 6 12 （1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位） （2）根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少? 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据：，，，，，，，， ． 【答案】（1）， （2）②的拟合效果好，预测销售量是千件 【解析】 【分析】（1）根据经验回归方程的求法求得正确答案. （2）通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测. 【小问1详解】 ， 所以， 所以. 由，两边取以为底的对数得，即， ， 所以，所以. 【小问2详解】 ， 对于，；对于，， 所以②的拟合效果好，当时，预测值千件. 18. 某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．比赛规则为：甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望； （2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后乙得分高于甲得分的概率． ①求，，； ②规定，且有，请根据①中，，的值求出A、，并求出数列的通项公式． 【答案】（1） （2）①，，；②，； 【解析】 【分析】（1）根据题意的可能取值为，然后求出对应的概率，然后求出的分布列及期望即可； （2）①结合题意求出；②根据题意求出的值，再利用累加法求数列的通项公式即可. 【小问1详解】 的可能取值为， 则， ， ， 所以得分布列为： 所以得数学期望为. 【小问2详解】 ①由（1）知， 经过两轮踢球，乙的累计得分高的有两种情况： 一是乙两轮都得分为1；二是两轮中乙一轮得1分，另一轮得0分， 则， 经过三轮踢球，乙累计得分高于甲有四种情况：乙3轮各得1分；乙3轮中有2轮各得1分，l轮得0分； 乙3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；乙3轮中有2轮各得1分，1轮得分. 则； ②由，可得， 将的值代入可得，解得，， ，即， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， ， 所以数列的通项公式为. 19. 设数列满足：①；②所有项； ③．设集合，将集合中的元素的最小值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最小值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，2，2，3，3． （1）请写出数列1，5，7的伴随数列； （2）设，求数列的伴随数列的前30项之和； （3）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和． 【答案】（1）1，2，2，2，2，3，3. （2）110 （3） 【解析】 【分析】（1）由伴随数列的定义求解； （2）由伴随数列的定义结合对数的运算求出数列中项，可求前30项之和； （3）由和的关系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和． 【小问1详解】 由伴随数列的定义可知，数列1，5，7的伴随数列为1，2，2，2，2，3，3. 【小问2详解】 由，得 ∴ 当时，； 当时，；  当时，； 当时，； 当时，，  ∴. 【小问3详解】 ，得， 当时，，也符合，所以， 由，得， 使得成立的的最小值为，则，，，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期中考试高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A 9 B. 12 C. 27 D. 48 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 从集合中任意选出三个不同的数，若这三个数依次成等比数列，则这个等比数列公比为2的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ） A. 0.02 B. 0.98 C. 0.049 D. 0.05 8. 已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ） A. 4050 B. 2025 C. 4052 D. 2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ） A. 相关变量，具有正相关关系 B. 去除异常数据后，新的平均数 C. 去除异常数据后的经验回归方程为 D. 去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小 10. 已知事件，，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么， C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 11. 设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为________.附， 0.05 001 3841 6.635 13. 甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为________. 14. 已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． （1）设小张抽到球的个数为，求的分布列及． （2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 16. 已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和． （1）求； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表． 1 2 3 4 5 6 1 15 3 6 12 （1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位） （2）根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少? 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据：，，，，，，，， ． 18. 某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．比赛规则为：甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望； （2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后乙得分高于甲得分的概率． ①求，，； ②规定，且有，请根据①中，，的值求出A、，并求出数列的通项公式． 19. 设数列满足：①；②所有项； ③．设集合，将集合中的元素的最小值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最小值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，2，2，3，3． （1）请写出数列1，5，7的伴随数列； （2）设，求数列的伴随数列的前30项之和； （3）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$