中档小题猜想50题强化训练-决胜2025年高考数学考前猜想（新高考地区专用）

决胜2025高考数学考前猜想中档小题猜想50题强化训练 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）. A B. C. D. 3. “”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 9.已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 10.已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 11.已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 12.已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（ ） A. 3 B. C. D. 13.在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 15.第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募．现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为（ ） A. B. C. D. 16.直线与圆交于两点，，则为（ ） A. B. C. D. 17.已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 18.如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面，点是平面内的动点，且满足线段的长度是点到的距离的2倍，则点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 19.已知A，B，C是函数图象上的三点，A在x轴上，且轴，若，则的值为（ ） A. 0 B. －1 C. －107 D. 82 20.已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 21.已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，则 B. 若的图象在上单调递增，则ω的取值范围是 C. 若的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为2 D. 存在ω，对，恒成立 22. 已知偶函数的最小正周期为，下列说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若函数在上恰有三个零点、三个极值点，则 23.在三棱锥中，，，为等边三角形，侧面底面，为棱的中点，，，三棱锥的体积为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的外接球的表面积为 C. 若平面，则四棱锥的体积为 D. 若，与平面所成角相等，则 24.已知，则（ ） A. ，使得是增函数 B. ，函数均存在极值点 C. ，函数只有一个零点 D. ，且，有 25.函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 26. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆C的方程为 B. 的周长为4 C. 定点P的坐标为 D. 当轴时，的内切圆圆心坐标为 27. 定义复数运算：，已知，若复数满足，则（ ） A. 可以是 B. 的最小值为 C. 在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D. 的实部是5 28. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 记，则的面积； C. 若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D. 若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 29.已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 30.新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 回归直线方程经过点 D. 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 31.已知抛物线与直线交于A，B两点，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线过抛物线的焦点，则 B. 若线段的长度为8，则 C. 当时，抛物线上恰有三个点到直线的距离为 D. 无论p为何值，抛物线上都恰有三个点M，使得为等腰三角形 32.记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 33.已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上的值域为 D. 若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为 34.已知定义在上的可导函数满足：，若单调递增数列满足：则（ ） A. 的通项公式是 B. 函数是增函数 C. 可能是等比数列 D. 若，则 35.抛掷一枚质地均匀骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C D. 36.已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 到的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 37.数列通项公式为，则_______. 38.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为______． 39.若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为_______. 40. 设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为______. 41.在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是______． 42.设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是______. 43.已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 44.若函数的导函数为偶函数，且，都有，则可以是__________.（写出一个满足条件的函数解析式即可） 45.已知曲线在处的切线与曲线相切，则______． 46.已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 47. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 48. 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则___________ 49.已知数列的前项和为，对任意的，都有．若是数列的前项积，则的最大值为_____________ 50.已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为____ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 决胜2025高考数学考前猜想中档小题猜想50题强化训练 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为. 又，所以，. 所以. 所以. 故选：B 2.已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）. A B. C. D. 【答案】D 【解析】， 令，得，. 由有且仅有3个零点得： ，化简得. 故选：D. 3. “”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即， 故“”“圆上恰有2个点到直线 的距离为1”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意，，又椭圆焦点在轴上，则，，则， 因此C的离心率. 故选：B 5.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 6. 已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，这意味着是数列中的最小值. 因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线. 当是最小值时，说明从第项开始数列的项变为正数，即，且. 所以由“”可以推出“”，充分性成立. 若，仅知道第项是非正的，但无法确定就是的最小值. 例如，，就不是最小值，即不能推出，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 7. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 【答案】B 【解析】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间， 不同的排法种数为； 同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为. 根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为. 故选：B. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】记则， 故当时，，故在单调递增， 当时，，故在单调递减， 故，因此对任意的，都有， 当且仅当时取到等号， 故，故，故， 由于，因此， 故选：A 9.已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】根据可得，故,故， 令，故或, 结合图象可知, 因此故， 因此故， 故选：B 10.已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】由题意，，，所以， 所以，所以. 故选：C. 11.已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】由为奇函数，得， 所以图象的对称中心为，令 由的图象关于直线对称，得， 由得，所以， 则的一个周期为4，则 则． 故选：B. 12.已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为， 则其表面积，得，又，所以， 故正三棱柱的体积， 则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为. 故选：B. 13.在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 14.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 15.第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募．现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】记“甲被安排到冰壶项目”为事件A，记“乙被安排到短道速滑项目”为事件B， 甲被安排到冰壶项目分为两类，甲一人被安排到冰壶项目的种数为，两人被安排到冰壶项目的种数为， 所以， 甲被安排到冰壶项目且乙被安排到短道速滑项目的种数为， 所以， 所以. 故选：D. 16.直线与圆交于两点，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设， 由得，，则， ， 由得，， 故选：B． 17.已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为在时取极小值， 所以在处成立. 即：，所以. 当时，， 当时，，当时，， 所以在时取得极小值，故. 所以原函数表达式为：. 导函数的表达式为： 因为，所以根据基本不等式. 所以导函数的最小值为：. 故选：C. 18.如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面，点是平面内的动点，且满足线段的长度是点到的距离的2倍，则点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵平面，平面， ∴即点到的距离为， ∴， 如图平面中以C为原点建立平面直角坐标系， 设，，， ∵， ∴，整理得， 即的轨迹是以为圆心，半径为4的圆上， 即点的轨迹的长度为， 故选：D. 19.已知A，B，C是函数图象上的三点，A在x轴上，且轴，若，则的值为（ ） A. 0 B. －1 C. －107 D. 82 【答案】C 【解析】令，即，得，所以. 设，（），因轴，所以. 又，且递增，所以，即， 根据运算法则得，所以. 已知，则. ，，. 展开. 由， 把，代入得， 因，所以. 则. 由，，解方程组，得，. ，. 所以. 故选：C. 20.已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，，且，都有即， 记， 则由单调性的定义知，函数在上单调递增， 则需满足：在上单调递增①， 在上单调递增②， 且 ③， 对于①，要使在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增， 所以在上单调递增时，； 对于③，，所以； 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 21.已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，则 B. 若的图象在上单调递增，则ω的取值范围是 C. 若的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为2 D. 存在ω，对，恒成立 【答案】ACD 【解析】A选项， ， 所以的图象上最高点和最低点间距离的最小值为， 所以，可得，A对； B选项，由，则， 又，故， 要想的图象在上单调递增， 需满足，可得，B错； C选项，由的图象关于轴对称， 所以，可得， 由，故当时，取得最小值，最小值，C对； D选项，对，恒成立， 即的图象关于对称， 所以，则，故满足要求， 显然存在ω，对，恒成立，D对. 故选：ACD 22. 已知偶函数的最小正周期为，下列说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若函数在上恰有三个零点、三个极值点，则 【答案】ACD 【解析】已知，根据辅助角公式可得： 因为是偶函数，则，即. 又因，所以，，那么. 由的最小正周期（），可得，所以. 对于选项A，当时，，根据余弦函数的性质，在上单调递减， 所以在单调递减，A选项正确. 对于选项B，因为，而余弦函数的对称轴处函数值应取到最值， 所以直线不是曲线的一条对称轴，B选项错误. 对于选项C，对求导，可得. 直线可化为，其斜率为. 令，则，，即. 当时，. 把代入直线方程得， 当时，直线与曲线有公共点，且在该点处切线斜率与直线斜率相等， 所以直线是曲线的一条切线，C选项正确. 对于选项D，，当时，. 因为在上恰有三个零点、三个极值点， 根据余弦函数图象性质可知，解得，D选项正确. 故选：ACD. 23.在三棱锥中，，，为等边三角形，侧面底面，为棱的中点，，，三棱锥的体积为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的外接球的表面积为 C. 若平面，则四棱锥的体积为 D. 若，与平面所成角相等，则 【答案】AC 【解析】设，由可得， 取的中点，连接， 由为等边三角形可得， 又侧面底面，侧面底面，面， 所以由面面垂直的性质定理可得面， 由， 所以三棱锥体积. 对于A，若，即，即，故A正确； 对于B，若，由A可得，则， 设三棱锥外接球的球心为，半径为，， 则，解得，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误； 对于C，若平面，平面平面，平面， 所以， 又为棱的中点，所以为的中点， 则， 由三角形相似可得，且到平面的距离不变， 所以，所以四棱锥的体积为，故C正确； 对于D，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设，由题意得为与平面所成角， 且， ， 所以，由，，可得， 所以， 平面的法向量为， 因为，与平面所成角相等， 所以， 化简可得，解得无解，故D错误. 故选：AC 24.已知，则（ ） A. ，使得是增函数 B. ，函数均存在极值点 C. ，函数只有一个零点 D. ，且，有 【答案】ACD 【解析】对于AB，，当时，，所以为增函数，此时无极值，所以A正确，B错误； 对于C，当时，由，得或，由，得， 所以在上递增，上递减，上递增， 又，当时，， 所以观察图象可知，函数只有一个零点，所以C正确； 对于D，当时，由选项C可知在上递增，上递减，上递增， 所以的极大值为，极小值为， 因为，所以， 当时，由，得或，由，得， 所以在上递增，上递减，上递增， 因为，，所以，综上，所以D正确. 故选：ACD 25.函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】当是，，故A符合； 当时，在上单调递减，且，故B符合； 当时，由为上的单调递增函数， 令，则，即， 因为，可得，所以在上的单调递增函数， 所以，所以有唯一解， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 26. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆C的方程为 B. 的周长为4 C. 定点P的坐标为 D. 当轴时，的内切圆圆心坐标为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，已知，可得.又离心率，则.由，得，所以椭圆方程为，故A正确. 对于B选项，周长为，根据椭圆定义，，，，所以周长是，故B错误 对于C选项，，设，，. 根据题意,设方程，与椭圆方程联立得，由韦达定理，. 因为内心在轴上，所以，即， 即，即， 经化简得，代入韦达定理则，得，解得. 故C正确. 对于D选项，轴时，直线MN方程，代入椭圆方程得. 设内切圆圆心，不妨设直线，根据点到直线距离公式，解得，舍去，故D正确. 故选：ACD. 27. 定义复数运算：，已知，若复数满足，则（ ） A. 可以是 B. 的最小值为 C. 在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D. 的实部是5 【答案】BCD 【解析】设，代入，即， 解得. 对于A，不满足，故A错误； 对于B，， 故的最小值为，故B正确； 对于C，，所以在复平面内对应的点坐标为， 当，则，所以该点不可能位于第二象限，故C正确； 对于D，，其实部为， 因为，即其实部为5，故D正确. 故选：BCD. 28. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 记，则的面积； C. 若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D. 若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 【答案】AD 【解析】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点， 由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以， 所以 ， ，，， 双曲线的方程为：， 若，则，所以，故A正确； 对于B，因为的面积，故B错误； 对于C，若，则，，，双曲线的方程为， 直线的方程为，联立，消得， 则， 解得且，故C错误； 对于D，若，则，，，双曲线的方程为， 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 ， 而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点， 轴，所以横坐标为， 同理可求得的横坐标为，则， 设直线的倾斜角为，则， 在，中有 ，， 设，所以， 显然，当，即，即取得最小值8， 记的内切圆面积为，的内切圆面积为， 故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确. 故选：BD. 29.已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 30.新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 回归直线方程经过点 D. 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 【答案】BCD 【解析】由题意可得， ，， ， ， 则与的样本相关系数，故A错误； 由关于的回归直线方程为且回归直线恒过样本点的中心， 则有，解得，故B正确，C正确； 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确. 故选：BCD. 31.已知抛物线与直线交于A，B两点，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线过抛物线的焦点，则 B. 若线段的长度为8，则 C. 当时，抛物线上恰有三个点到直线的距离为 D. 无论p为何值，抛物线上都恰有三个点M，使得为等腰三角形 【答案】AC 【解析】对A，若直线过抛物线的焦点，所以焦点为，即，故A正确； 对B，， 设，，则，， ， 代入验证不成立，故B错误； 对C，当时，，直线， 设抛物线上点，， 则到直线距离， 即，有两个解，或，， 所以共有3个这样的点P，故C正确； 对D，为等腰三角形, ∴，，三种情况， 当时，M在AB垂直平分线上，设AB中点为，， 即AB垂直平分线的方程为，联立， 得到，，所以方程有两个解， 故此时符合题意的点M有2个，如下图， 当时，M在以B为原点，AB为半径的圆上，如图， ∵直线，∴倾斜角为，， 故此时符合题意的点M至少一个，且不与重合， 当时，M在以A为原点，AB为半径的圆上，如图， 故此时符合题意的点M至少一个， 综上，无论p为何值，使得为等腰三角形的点M至少4个，故D错误， 故选：AC. 32.记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ACD 【解析】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 33.已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上的值域为 D. 若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】因为 ， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，因为，故的图象关于点对称，B对； 对于C选项，当时，，则， 所以，， 故在区间上的值域为，C对； 对于D选项，若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称， 即函数为偶函数， 故，解得， 因为，故当时，取最小值，D对. 故选：BCD. 34.已知定义在上的可导函数满足：，若单调递增数列满足：则（ ） A. 的通项公式是 B. 函数是增函数 C. 可能是等比数列 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】对于A选项：若，则，即. 但，与题给条件矛盾，故A错误； 求导，单调递增，B正确； 当，时，满足所有条件，故C正确； 由B可知为增函数，且为递增数列， 故，即， 得，因此， 得，D正确. 故选：BCD. 35.抛掷一枚质地均匀骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C D. 【答案】BD 【解析】对于A选项：可掷出2，使得同时发生，故A错误； 对于B选项：，满足，故B正确； 对于C选项：由B可知，故C错误； 对于D选项：，； 所以，故D正确． 故选：BD 36.已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 到的距离的最大值为 【答案】AC 【解析】A：由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线交于点，需，故A正确； B：由双曲线的定义知， 又点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 有，所以，故B错误； C：设，则（或），得， 又，所以， 则， 即的最小值为-3，故C正确. D：，易知当时，，则到直线的距离为0； 当时，到直线即的距离为， 又且，所以，则， 即到直线的距离小于，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 37.数列通项公式为，则_______. 【答案】 【解析】由，可得， 所以是以8为周期的数列，且2025=8×253+1，， 所以. 故答案为： 38.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为______． 【答案】 【解析】设双曲线右焦点坐标为，左焦点为，则抛物线准线为， 将代入得，， 所以， 中，， 解得或（舍）， 所以的离心率为， 故答案为：． 39.若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为_______. 【答案】或 【解析】若函数与的图象在第一象限内有公共点，则方程在上有解， 即方程在上有解，显然不是方程的解， 所以方程在上有解， 则函数与函数的函数图象有交点， 又，所以时，，时，， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，时；时，； 时； 所以或. 故答案为：或. 40. 设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为______. 【答案】 【解析】已知直线方程，则. 将代入抛物线方程可得： ，展开并化简得：，即. 设，，由韦达定理可得，. 由抛物线的焦半径公式可知，. 已知，则，即. 对进行变形可得： ，即，即，则. 因为，所以，解得. 可得焦点的坐标为. 故答案为： 41.在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是______． 【答案】12 【解析】设 ，则 .由 ，知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，长轴长为 10 ，焦距为 6 .椭圆半长轴 ，半焦距 ， 半短轴 . 设，则的轨迹是椭圆， 面积 ， 当 取最大值(即半短轴 )时，面积最大. 最大面积为 . 故答案为：12. 42.设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】由题意：即可，； 若，则且，故，则必有； 若，则，该数列为常数列，即，此时； 若，则显然有； 综上所述：的最小值为. 故答案：. 43.已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为函数有三个零点，即方程有三个解， 当时，方程为，即，即， 因为，所以，所以方程有两个根，又， 所以有一个正根与一个负根， 又，所以有一正零点， 当时，方程为，即 因函数有三个零点，所以方程有两个非正根， 所以，解得，又，所以， 所以实数取值范围是. 故答案为：. 44.若函数的导函数为偶函数，且，都有，则可以是__________.（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为偶函数，则，即， 则，其中为常数， 不妨设，即为奇函数， 结合可得，，则， 则有一个周期为， 故可以为. 故答案为： （答案不唯一） 45.已知曲线在处的切线与曲线相切，则______． 【答案】 【解析】由，则，则，又当时， 所以曲线在处的切线为； 对于，可得，设切点为， 则，解得. 故答案为：. 46.已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 47. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 故答案为： 48. 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则___________ 【答案】3 【解析】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故答案为：3 49.已知数列的前项和为，对任意的，都有．若是数列的前项积，则的最大值为_____________ 【答案】 【解析】】当时，， 当时，，， 两式相减得，即，又，故， 所以数列是以32为首项，为公比的等比数列， 通项公式为： 因为是数列的前项积， 所以， 当或时，有最大值15，所以当时，有最大值. 故答案为： 50.已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为____ 【答案】4 【解析】，如图1，动圆M与圆内切，与圆外切， 此时，，， ， 故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时， 故，故离心率为， 如图2，当动圆M与圆，均内切， ， 则 ， 故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时， 故，故离心率为， . 故选：4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$