课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年新教材七年级数学下册（冀教版2024 河北专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 第六章 二元一次方程组 心)考点1)二元一次方程组 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程， 叫作二元一次方程 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的一组 解. 3.二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的一 组方程，叫作二元一次方程组， 4.二元一次方程组的解：二元一次方程组中方程的公共解，叫作二元一次方程组的解， 5.二元一次方程组的解法 (1)代入消元法：将二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知 数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程， 通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方 法，叫作代入消元法，简称代入法 【特别提醒】将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，应代入另 个方程求解，否则，只能得到一个恒等式，不能求出方程组的解 (2)加减消元法：将二元一次方程组中两个方程相加或相减，或者进行适当变形后再相加或 减，消去一个未知数，得到一元一次方程，通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解，这 种解二元一次方程组的方法，叫作加减消元法，简称加减法。 【解题技巧】当方程组中某一个未知数的系数是1或-1时，适合选择代入消元法：当方程组中两 个方程的同一个未知数的系数互为相反数、相等或成倍数关系时，适合选择加减消元法。 6.二元一次方程组与其解的综合 (1)已知方程组的解求未知字母（或式子）的值 如二元一次方程组+y子的解为二4求，6的值可将方程组的解代人原方径组中，得到 2x+y=a 一个关于a,b的二元一次方程组，解这个方程组即可求出a,b的值. (2)二元一次方程组的同解问题 如方程组码和6 有相同的解，求a,b的值.可联立①③，求出x,y的值，然 后将x,y的值代人②④中，分别求出a,b的值 (3)二元一次方程组的错解问题 如甲，乙两人同时解方程组公祁2，甲解题看错了①中的m,解得=2 3乙解题时看 错2中的n,解得3 y=-7 在求m,n的值时，可将甲求的解代入②中，乙求的解代入①中，进而 求出m,n的值. ○考点2)列二元一次方程组解决实际问题 实际问题 寻找适当的 建立二元 解二元一次 等量关系 次方程组 方程组 实际问题的解 检 验 1 河北专版·ZBJ·七年级数学下 第七章 相交线与平行线 ⊙考点1命题 1.命题的定义：能够进行肯定或否定判断的语句，叫作命题.一般地，命题是由条件和结论两部 分组成的.命题常写成“如果…那么…”的形式.命题分为真命题和假命题. 2.定理：有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理得到证实，并被作为判定其他命题真假的依 据，这些命题称为定理」 ○)考点2)相交线 1.对顶角 (1)定义：①两个角具有公共顶点；②这两个角的两边互为反向延长线。 (2)性质：对顶角相等 【易错提醒】(1)对顶角是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为对顶角， 个角的对顶角只有一个，(2)两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互 为对顶角。 2.垂线 过点P作直线的垂线 (1)经过一点画已知直线的垂线 一落，把三角尺的一直角边落在已知直线上： 二过，另一直角边要过已知点： 点P在直线外点P在直线上 三画，沿过已知点的直角边画直线， 【注意】所求作的垂线为一条直线，切勿画成射线或线段 (2)垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (3)垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， (4)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 【补充说明】(1)连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.(2)垂线是一 条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.(3)垂线段是几何图形，而点到 直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量 ○)考点3同位角、内错角、同旁内角 概念 实例 图示 同位角 两个角分别在直线AB,CD同一方，并 ∠1与∠5，∠2与∠6，∠3 且都在直线EF的同侧 与∠7，∠4与∠8 A 内错角 两个角都在直线AB,CD之间，并且分 别在直线EF的两侧 ∠3与∠5，∠4与∠6 同旁内角 两个角都在直线AB,CD之间，并且都 在直线EF的同侧 ∠3与∠6，∠4与∠5 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 ○考点4平行线的判定与性质 1.两条平行线之间的距离处处相等 2.基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 3.画一条直线平行于已知直线：一落，把三角尺的一直角边落在已知直线上：二靠，紧靠三角尺的另一 直角边放一直尺：三移，沿直尺移动三角尺：四画，沿原来落在已知直线上的这一边画直线。 4.用尺规作过直线外一点作已知直线的平行线 已知直线AB,以及直线AB外一点P (1)在直线AB上取一点Q,经过点P和点Q,作直线MN: (2)作∠MPD=∠PQB,并使得∠MPD与∠PQB是一对同位角： (3)反向延长射线PD,得到直线CD 直线CD就是过点P所要求的作的直线AB的平行线。 【注意】尺规作图题，要保留作图痕迹，若题目没有要求写作法，则不需要写作法 5.平行线的判定方法 (1)同位角相等，两直线平行.(2)内错角相等，两直线平行. (3)同旁内角互补，两直线平行. 6.平行线的性质 (1)两直线平行，同位角相等(2)两直线平行，内错角相等 (3)两直线平行，同旁内角互补 【方法指导】平行线的判定方法除上述判定方法外还有3种：(1)平行线的定义：(2)平行公理的 推论：(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 7.常考的平行线相关模型 图示 20 3 63多 若a∥b,则∠1+ 若a∥b,则∠2= 若a∥b,则∠3= 若a∥b,则∠3= 证明 ∠2+∠3=360°. ∠1+∠3. ∠1+∠2. ∠1+∠2. 方法 若∠1+∠2+∠3 若∠2=∠1+ 若∠3=∠1+ 若∠3=∠1+ =360°，则a%. ∠3，则a%. ∠2，则a%. ∠2，则a%. 2 3 河北专版·ZBJ·七年级数学下 【方法指导】解决平行线中的“拐点”问题，常用方法是根据题目中已知的平行线和“拐 点”的情况，在“拐点”处作已知直线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论 需要注意的是解决此类问题经常需要多次运用平行线的性质，有时需要结合平行线的判 定等其他知识综合分析解决，常用模型有以下两种： 图1 图2 ⊙考点5平移 1.平移的要素：(1)平移的方向：(2)平移的距离： 2.平移的性质 (1)平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同 (2)连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等 (3)平移前后两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等. 第八章 整式的乘法 ⊙)考点1)幂的运算 1.幂的运算法则 法则 逆用 同底数幂相乘 a"·a=a+(m,n、是正整数) a+n=am·a"(m,n是正整数) 幂的乘方 (am)“=am(m,n是正整数) am"=(am)"(m,n是正整数)） 积的乘方 (ab)”=a"b"(n是正整数)》 a"b=(ab)(n是正整数) 同底数幂相除 a"÷a”=am- am-t=am÷a” (a≠0，m,n是正整数，且m>n)》 (a≠0，m,n是正整数，且m>n) 【点拨】(1)三个或三个以上幂的运算同样适用以上法则： (2)公式中的a,b可以表示数、单独的字母或其他单项式，也可以表示多项式 【拓展延伸】其他：①a"·a”·ad=an";②[(a")"门P=am唧(m,n都是正整数). (3)运用同底数幂乘法法则时，要注意底数相同：单独一个字母的指数为“1”，而不是 “0” (4)运用积的乘方运算法则时，注意系数也要乘方。 (5)在进行幂的除法运算时，底数只是符号不同时，应先化成底数相同的形式，再运用同 底数幂的除法法则进行计算。 2.零指数幂：a°=1(a≠0) 3.负整数指数幂：07=（a≠0，p是正整数) 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 4.科学记数法：把一个较大的数或较小的数写成a×10(1≤a<10,n是整数)的形式，这种记数 方法叫作科学记数法。 【方法技巧】(1)确定a:a是大于或等于1且小于10的正数. (2)确定：①利用整数的位数确定：n等于原数的位数减1：②按小数点移动的位数确定 :小数点向左（或右）移动的位数， ⊙考点2整式的乘法 1.单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘， 其余字母连同它们的指数作为积的一个因式。 2.单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加. m(a+b+c)=ma+mb+mc. 3.多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. ⊙)考点3乘法公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2. 【拓展】 平方差公式的几种常见形式： ①符号变化：(-a-b)(a-b)=-(a2-b2);②位置变化：(a+b)(-b+a)=a2-b2; ③系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-962;④指数变化：(a2+b)(a2-b2)=a-b: ⑤增项变化：(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2:⑥公式连用：(a+b)(a-b)(a2+b2)=a-b 2.完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和咖上（或减去）它们的积的2倍 (a+b)2=a2+2ab+b2:(a-b)2=a2-2ab+b2 【归纳总结】 完全平方公式的常见变形： ①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab: ②(a+b)2=(a-b)2+4ab: ③(a-b)2=(a+b)2-4ab: ④(a+b)2-(a-b)2=4ab: ⑤(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2): oaw=ta*6)2-(a-61=2-2: D(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 河北专版·ZBJ·七年级数学下 第九章 因式分解 ⊙考点 因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式 分解因式.其中每个整式都叫作这个多项式的因式 2.因式分解的实质：多项式的因式分解与整式的乘法运算是互为相反的变形过程，因式分解是 种恒等变形，而不是一种运算， 【注意】(1)多项式因式分解的结果必须是乘积的形式.因式分解的结果中可以有单项式， 也可以有多项式，但必须是整式.(2)因式分解的对象是多项式，把一个单项式拆分成几个单 项式乘积的形式不能称为因式分解.(3)因式分解要求积中的每一个因式最后都不能再分 解，即要求分解“彻底”.(4)因式分解要求积中相同因式写成幂的形式。 3.提公因式法 (1)公因式：一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项 式的公因式 【拓展】公因式的确定方法： 1.确定公因式系数：①当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数是多项式中各项系 数的最大公因数：②当多项式中各项系数都是分数时，公因式的系数是分数，而且分母取各 项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子最大公因数 2.确定相同的字母：公因式应取多项式各项中相同的字母. 3.确定公因式中相同字母的指数：取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指 数 (2)提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将 多项式化成两个因式乘积的形式，这种将多项式分解因式的方法，叫作提公因式法.例：ma+ mb+me=m(a+b+c),ab2-2a2b=ab(b-2a). (3)提公因式法分解因式的一般步骤：①确定公因式：②用多项式除以公因式，所得的商就是 提公因式后剩下的另一个因式：③把多项式写成这两个因式的积的形式， 【注意】(1)提取公因式后，另一个因式的项数与多项式的项数相同，不能漏项：(2)公因 式要提“净”，即提出公因式后剩余的多项式中不能再有公因式：(3)当多项式中的某 项与公因式相同或互为相反数时，公因式被提出后，应在该项的相应位置补上“1”或 “-1”,而不是“0” 4.公式法 (1)平方差公式的逆用：a2-b2=(a+b)(a-b): (2)完全平方公式的逆用：a2±2ab+b2=(a±b)2. 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 第十章 三角形 心)考点1)三角形 1.三角形的基本概念及分类 (1)三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫作三角 形 (2)三角形的分类： (底边和腰不相等的等腰三角形 锐角三角形 等腰三角形 按边分类 等边三角形 按角分类直角三角形 三边互不相等的三角形 钝角三角形 2.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边。 【注意】若三角形的两边长为a,b,则第三边长c的取值范围是：a-b<c<a+b 3.三角形的三条重要线段 (1)三角形的中线 ①概念：如图1，连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. ②性质：三角形的三条中线都在三角形内并且交于一点. 图1 图2 图3 (2)三角形的角平分线 ①概念：如图2，三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫 作三角形的角平分线. ②性质：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点. (3)三角形的高 ①概念：如图3，三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角 形的高。 ②性质：锐角三角形的三条高交于三角形内部一点：直角三角形的三条高交于直角顶点：钝角 三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点， 【拓展】(1)三角形的中线、角平分线、高都是线段；(2)三角形的一条中线把三角形分成 面积相等的两个三角形， ○)考点2三角形的内角和与外角的性质 1.三角形的内角和 三角形的内角和等于180° 2.三角形的外角的性质 (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角： 河北专版·ZBJ·七年级数学下 第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 心)考点1不等式的基本性质 不等式的基本性质 语言叙述 符号表示 基本 不等式两边都加上（或减去）同一个数 性质1 或同一个整式，不等号的方向不变 如果a>b,那么a±c>b±c. 基本 不等式的两边都乘（或除以）同一个正 性质2 数，不等号的方向不变 如果>b,且c20,那么ac>bc(或≥). 基本 不等式的两边都乘（或除以）同一个负 如果>b,且c<0,那么ac<c(或“). 性质3数，不等号的方向改变， cc ⊙)考点2一元一次不等式及其解法 1.一元一次不等式：含有一个未知数且未知数的次数都是1的不等式，叫作一元 次不等式 2.不等式的解集在数轴上的表示方法(a<0)】 不等式的解集 x>a x<a x≥u x≤a 数轴表示 3.解一元一次不等式的步骤 (1)去分母（根据不等式的性质2或性质3）：(2)去括号（根据分配律、去括号法则）：(3)移 项（根据不等式的性质1）：(4)合并同类项（根据合并同类项法则）：(5)将未知数的系数化为 1(根据不等式的性质2或性质3) 【注意】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，不同的是解一元一次不等式系 数化为1时，要注意观察未知数的系数是正数还是负数，以确定不等号的方向是否发生 改变. ⊙)考点3)一元一次不等式组 1.一元一次不等式组：含有同一个未知数的一元一次不等式的不等式组，叫作一元一次不等式 组. 2.一元一次不等式组的解法：一般先分别求出每个不等式的解集，再利用口决（同大取大，同小 取小，大小小大中间找，大大小小无解)或数轴找出他们的公共部分，这样就可以确定不等式 组的解集 【方法总结】利用一元一次不等式组的解集确定未知字母的值或取值范围：先求不等式组 的解集，再结合数轴把解集看成数轴上的动点来确定未知字母的值或取值范围，要注意临 界值的确定. ⊙考点4)一元一次不等式（组）的应用 列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤 (1)审：分析题目中的已知条件和未知条件之间的关系； (2)设：设未知数： (3)列：找出能够表示未知数的所有不等关系，列不等式（组）： (4)解：解不等式（组），求出解集： (5)答：在解集中找出符合题意的解，再写出答案 8