（期末必刷练）2024-2025学年人教版数学五年级下学期高频易错压轴题考点分类培优练（真题汇编）学生版+教师版

2024-2025学年人教版数学五年级下学期期末复习高频易错压轴题考点分类培优练 （33个重难点考点讲练 共66题） 易错重难点考点01：根据倍数的特征解决问题 2 易错重难点考点02：倍数和因数的综合应用 2 易错重难点考点03：奇数和偶数的认识 3 易错重难点考点04:2,3,5的倍数的特征的综合 3 易错重难点考点05：质数与合数的综合应用 3 易错重难点考点06：运算性质（奇数和偶数） 4 易错重难点考点07：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 4 易错重难点考点08：组合体的表面积（长方体、正方体） 5 易错重难点考点09：体积的等积变形（长方体、正方体） 5 易错重难点考点10：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 6 易错重难点考点11：组合体的体积（长方体和正方体） 6 易错重难点考点12：长方体、正方体的容积 7 易错重难点考点13：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 8 易错重难点考点14：单位“1”的热认识与确定 9 易错重难点考点15：求一个数占另一个数几分之几 9 易错重难点考点16：真分数、假分数、带分数的认识 9 易错重难点考点17：假分数与带分数或整数的互化 10 易错重难点考点18：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 10 易错重难点考点19：分数的基本性质的应用 10 易错重难点考点20：分解质因数 11 易错重难点考点21：公因数与最大公因数 11 易错重难点考点22：用最大公因数解决问题 12 易错重难点考点23：约分的认识与应用 12 易错重难点考点24：用最小公倍数解决实际问题 12 易错重难点考点25：同分子分数的大小比较 13 易错重难点考点26：通分的认识与应用 13 易错重难点考点27：异分母异分子分数的大小比较 14 易错重难点考点28：异分母分数加减法 14 易错重难点考点29：分数的加减法运算 15 易错重难点考点20：分数的加减法 16 易错重难点考点31：分数加减法简便运算 16 易错重难点考点32：打电话问题 17 易错重难点考点33：复式折线统计图 18 易错重难点考点34：找次品 19 易错重难点考点01：根据倍数的特征解决问题 1．（24-25五年级下·广东东莞·期中）小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 2．（2019五年级·全国·竞赛）李师傅每工作7天休息2天，本次轮休时间是周五和周六，至少再过 天，李师傅能在周六周日休息。 易错重难点考点02：倍数和因数的综合应用 3．（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 4．（19-20五年级下·湖南怀化·单元测试）用12个边长是1cm的小正方形摆一个长方形，你会几种摆法？ ①摆成长是( )厘米，宽是( )厘米的长方形，即( )×( )＝12。 ②摆成长是( )厘米，宽是( )厘米的长方形，即( )×( )＝12。 …… 以上所填的数都是12的( )数，12是这些数的( )数。 所以就得到：如果a×b＝c （a、b、c是不为0的整数），那么，c是( )和( )的倍数，a和b是c的( ) 数。 易错重难点考点03：奇数和偶数的认识 5．（24-25五年级下·江西赣州·期中）既是3的倍数又是5的倍数的最小偶数是( )。比20大比40小，既是2的倍数又是5的倍数的数是( )。 6．（20-21五年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四盏灯都是亮的，一个调皮的小朋友不断按这几盏灯的开关，他从甲依次按到丁，再从丁依次按到甲，不停地按开关，如果按了2007次，这时候哪几盏灯是关着的？ 易错重难点考点04:2,3,5的倍数的特征的综合 7．（2025五年级下·全国·专题练习）一个圆圈上有几十个孔（如图），小明像玩跳棋那样，从出发沿逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回a孔；先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到b孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回a孔。这个圆圈上共有多少个孔？ 8．（24-25五年级下·安徽宣城·期中）5□□0是有两个数相同的四位数，且同时是2、3、5的倍数。这个四位数最小是( )，最大是( )。 易错重难点考点05：质数与合数的综合应用 9．（23-24五年级下·湖北十堰·期中）妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 10．（23-24五年级下·全国·课后作业）能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 易错重难点考点06：运算性质（奇数和偶数） 11．（24-25五年级下·湖北襄阳·期中）两个连续自然数的和一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 12．（23-24五年级下·贵州遵义·期中）五（2）班部分学生参加全区数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答对一道给3分，不答的题每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？ 易错重难点考点07：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 13．（24-25五年级下·河南南阳·期中）如图一个正方体的棱长是1厘米，它的表面积是6cm2，两个正方体拼在一起表面积是10cm2，三个正方体拼成的长方体表面积是( )cm2，( )个正方体拼成的长方体的表面积是90cm2。 14．（2025五年级·全国·竞赛）如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？ 易错重难点考点08：组合体的表面积（长方体、正方体） 15．（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）有一个棱长是3分米的正方体零件，从它一个面的正中间向对面挖去一个底面是边长1分米的正方形的小长方体（如图），求加工后这个零件的表面积。 16．（19-20五年级下·广西玉林·期中）计算下面组合图形的表面积。（单位：cm） 易错重难点考点09：体积的等积变形（长方体、正方体） 17．（24-25五年级下·河南南阳·期中）实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 18．（2024五年级下·全国·专题练习）有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 易错重难点考点10：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 19．（24-25五年级下·河北邢台·期中）一根5米长的方钢，把它横截成4段时，表面积增加120平方厘米，原来方钢的体积是( )立方厘米。 20．（23-24五年级下·湖北省直辖县级单位·期末）一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是( )立方厘米。 易错重难点考点11：组合体的体积（长方体和正方体） 21．（24-25五年级下·甘肃平凉·期中）下图是一个“三级台阶”（下面接地面），每级台阶的长、宽、高见标注（单位：分米）。计算这个“三级台阶”的表面积和体积。 22．（24-25五年级下·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 易错重难点考点12：长方体、正方体的容积 23．（24-25五年级下·贵州黔南·期中）下图是一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子，这个盒子长( )厘米，宽( )厘米，高( )厘米，容积是( )立方厘米。 24．（24-25五年级下·河南南阳·期中）超市所用的长方体无盖储粮盒是用铁皮做的，具有结实、耐用、不易损坏的优点，制做方法如下：把一块长方形铁皮从四个角各切掉一个相同的正方形，然后将四边向上折起，沿缝焊接，就做成了一个无盖长方体储粮盒。已知做成的储粮盒容积是120升，底面积为40平方分米，做成这个储粮盒从铁皮上切掉的正方形边长是多少分米？如果储粮盒的长是8分米，则长方形铁皮的面积是多少平方分米？（接口忽略不计） 易错重难点考点13：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 25．（2025五年级下·全国·专题练习）一个长方体容器装有45升的水，将一个铁球浸没在水中时，容器内的水深达到5.7分米。如果再放入一个体积为3.2立方分米的铁球，这个长方体容器里的水会溢出来吗？（请通过计算说明） 26．（24-25五年级下·山西晋中·期中）阅读理解。 小欣用排水法测量一块石头的体积，她的办法如下： 第一步：准备一个长方体水箱，从里面量长是14分米，宽10分米，深16分米。 第二步：往水箱里倒入10分米深的水。 第三步：把一块石头放如水箱中，水正好能淹没这块石头。 第四部：测出水面上升到12.5分米，水无溢出。 (1)要解决“水箱里有多少升水”这个问题，必须用到的信息是（    ）。 A．14分米  10分米  16分米  10分米 B．14分米  16分米  10分米 C．14分米  10分米  10分米 D．14分米  10分米12.5分米 (2)根据题中相关数据，求出这块石头的体积。 易错重难点考点14：单位“1”的热认识与确定 27．（24-25五年级下·河南南阳·期中）如图所示，甲乙两条彩带都被遮住了一部分。两条彩带的总长度相比，（    ）。 A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．一样长 28．（23-24五年级上·山东济宁·期末）2023年杭州亚运会中，我国体操队获得的金牌数约是游泳队的，是把( )队的金牌数看作单位“1”；射击队获得金牌数的等于乒乓球队获得的金牌数，是把( )队的金牌数看作单位“1”。 易错重难点考点15：求一个数占另一个数几分之几 29．（24-25五年级下·重庆渝北·期中）五（1）班有学生45人，其中男生23人，男生占全班的几分之几？女生人数是男生人数的几分之几？ 30．（21-22五年级下·河南南阳·期中）五（1）班有男生23人，女生17人，在棋艺统计中发现：全班同学中会下象棋的有15人，会下围棋的有10人，既会下象棋又会下围棋的有5人。女生人数占男生的( )，男生人数占全班人数的( )，会下围棋的人数占会下象棋的( )，只会下围棋的人数占会下棋的( )。 易错重难点考点16：真分数、假分数、带分数的认识 31．（21-22三年级上·广东潮州·期末）用分数表示下面各图中的涂色部分。 （1） （2） 32．（2025五年级下·全国·专题练习）老师在黑板上写出这样一道题目： 一共可以组成19个真分数，则分母△的值是多少？分子○中最大的数是多少？ 【思考过程】 真分数一共19个，分子的值为1到（    ），则分母△的值是（    ），所以分子○中最大的数是（    ）。 【思维拓展】 若是最小的假分数，则▱的值是多少？ 易错重难点考点17：假分数与带分数或整数的互化 33．（24-25五年级下·广东东莞·期中）把下面的假分数化成带分数或整数。 ( )     ( )    ( )     ( ) 34．（24-25五年级下·新疆喀什·期中）把和化为带分数；把化为整数。 （1）            （2）            （3） 易错重难点考点18：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 35．（22-23五年级下·甘肃天水·期中）分数，当( )时，它是这个分数的分数单位；当( )时，它是最大的真分数；当( )时，它是最小的假分数；当( )时，它的分数值是0。 36．（20-21五年级下·湖南株洲·期末）a＝( )时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是( )（填出所有可能）。 易错重难点考点19：分数的基本性质的应用 37．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）在括号里填上适当的数。                           38． （2025五年级下·全国·专题练习）一个假分数，如果分子增加14，该分数就可以化成5；如果分子减少10，该分数就可以化成2。这个假分数是多少？将它化成带分数。 易错重难点考点20：分解质因数 39．（18-19五年级下·浙江杭州·期末）星星新家的客厅是一个长40dm，宽32dm的长方形，如果用正方形地砖铺满（边长为整分米数，不切割），至少需要买这样的地砖多少块？ 分析与解答： （1）要使地砖正好铺满，地砖的边长必须是40和32的（    ）。 （2）要求边长最大，那么地砖边长必须是40和32的（    ）。 （3）我是这样解决的：________________    回顾与反思：我用画图来验证： 40．（23-24五年级下·河北唐山·期中）小明是一名小学生，他参加了学校的“数学嘉年华”决赛活动（参加决赛的共90人）。小明说：“我的年龄乘我的名次再乘我的得分，所得的积是2134。”请问小明的年龄是多少岁？他的竞赛得分是多少分？他的名次是多少名？（“数学嘉年华”决赛的满分是100分。） 易错重难点考点21：公因数与最大公因数 41．（24-25五年级下·甘肃平凉·期中）在20以内中，最小的质数是( )，最小的合数是( )，最大的奇数是( )，既是奇数又是合数的两个数，它们的最大公因数是( )。 42．（2024·广东广州·小升初真题）赵伟家的客厅长6米，宽4.8米。计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且正好铺满，需要（    ）。 A．50厘米 B．60厘米 C．80厘米 D．100厘米 易错重难点考点22：用最大公因数解决问题 43．（24-25五年级下·河南南阳·期中）手工课上，要将长度分别为24厘米、40厘米的两根细木棒截成同样长的小段，不能有剩余，每段最长是多少厘米？用它们摆正方形一共可以摆出多少个？ 44．（18-19五年级下·江苏淮安·期末）一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 易错重难点考点23：约分的认识与应用 45．（21-22六年级上·重庆梁平·期末）一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是( )。 46．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）先约分，再比较各组分数的大小。 和 和 和 易错重难点考点24：用最小公倍数解决实际问题 47．（24-25五年级下·湖南怀化·期中）为了打造书香校园，涵养师生文化自信。幸福小学在图书角新设计一个四层书架，方便学生随时阅读。根据下面对话，请你算一算这个书架最多可放多少本图书？ 48．（23-24五年级下·贵州安顺·期末）某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 易错重难点考点25：同分子分数的大小比较 49．（2025五年级下·全国·专题练习）如图，三条彩带都被遮住了一部分，露出部分的长度相等。原来这三条彩带中，最长的是( )号彩带。（填序号） 50．（24-25五年级下·全国·单元测试）从3、5、7三张数字卡片中任取两张卡片，可以组成一个分数。一共可以组成（    ）个分数，其中最大的分数是，最小的分数是。 易错重难点考点26：通分的认识与应用 51．（2025六年级下·吉林·专题练习）一张彩纸，乐乐先用去了它的折千纸鹤，又用了它的剪窗花，如图，应选择（    ）作为测量单位，就能正好测量出共用去几个这样的单位。 A．彩纸的 B．彩纸的 C．彩纸的 D．彩纸的 52．（20-21五年级下·全国·课后作业）如果把假分数的分子和分母分别都加上1、2、3、…从开始写下前5个分数，比较它们的大小，你有什么发现？ 易错重难点考点27：异分母异分子分数的大小比较 53．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）下列说法正确的是（    ）。 ①大于小于的分数只有。 ②一堆沙子的质量是5吨，运走，还剩下吨。 ③0是偶数。 ④相邻的两个自然数的和，一定是奇数。 A．①② B．③④ C．②③ 54．（23-24五年级下·江西南昌·期中）因为比小，所以的分数单位比的分数单位小。( )（判断对错） 易错重难点考点28：异分母分数加减法 55．（23-24五年级下·河南驻马店·期中）一批水果，桃占总重量的，苹果占总重量的，西瓜占总重量的，其余的是梨。 （1）苹果和西瓜共占水果总重量的几分之几？ （2）梨占水果总重量的几分之几？ 56．（20-21五年级下·湖北武汉·期末）王叔叔是自行车运动爱好者，周末经常去训练场进行训练。训练路线由三部分组成，从起点到全程的处是上坡，从处到全程的处是下坡，其余的是平地，如下图所示。 （1）下坡路线占全程的几分之几？ （2）王叔叔从起点出发，骑行了全程的后原地休息，然后继续向终点方向骑行了全程的，这时他处于哪段训练路线？（列式计算说明） 易错重难点考点29：分数的加减法运算 57．（24-25五年级下·全国·课后作业）计算题。（能简算的要简算）                                  58．（21-22五年级下·河北保定·期末）一杯奶茶，欢欢喝了半杯后，感觉不太甜，就兑满了糖水，又喝了杯，就去写作业了，他一共喝了多少杯奶茶？多少杯糖水？ 回忆：本学期学习“喝牛奶问题”时，我们采用什么方法解决的？今天我们用画图方法尝试解决吧！    第一次喝了（    ）杯奶茶，剩下（    ）杯奶茶。加满糖水后，糖水是（    ）杯，奶茶是原来剩下的（    ）杯。又喝了杯，也就是把杯奶茶再平均分成3份，其中的一份是整杯奶茶的（    ）。同样的道理，一份糖水是整杯奶茶的（    ）。 请算出欢欢一共喝多少杯奶茶？多少杯糖水？ 易错重难点考点20：分数的加减法 59．（23-24五年级下·江西九江·期末）2024年4月23日是第29个世界读书日，希望小学开展“读书节”的活动，图书馆每天都对外开放，欢迎每位学生都来图书馆阅读、借书。 （1）聪聪选了一本《趣味科学》，共280页，第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩这本书的几分之几没有看？ （2）睿睿和敏敏两人都在图书馆借书，睿睿每3天去一次，敏敏每5天去一次。如果5月8日他们两人在图书馆相遇，那么他们下次在图书馆相遇是几月几日？ 60．（23-24五年级下·天津南开·期末）每年的4月23日是世界读书日。楠楠制定了2023年阅读计划，她上半年完成了计划的，下半年完成了计划的。楠楠2023年实际阅读量超过计划的几分之几？ 易错重难点考点31：分数加减法简便运算 61．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）怎样简便就怎样算。 （1）        （2）      （3） （4）          （5） 62．（21-22五年级下·河北张家口·期末）已知、、、、，那么( )。 易错重难点考点32：打电话问题 63．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）由于天气原因，某登山社团组织的户外活动不能如期举行，社长需要尽快通知社团里的20位社员，如果一对一打电话每分钟通知一人，那么最少需要( )分钟可以通知到每一位社员。 64．（21-22五年级下·河北保定·期末）一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 易错重难点考点33：复式折线统计图 65．（24-25五年级下·全国·单元测试）王叔叔骑自行车匀速从甲地驶向乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶，他离乙地的距离与时间的关系如图中折线所示。刘叔叔开车匀速从乙地驶向甲地，比王叔叔晚出发一段时间，他离乙地的距离与时间的关系如图中线段AB所示。王叔叔出发多少小时后与刘叔叔相距15千米？ 66．（24-25五年级下·北京大兴·期中）阅读材料，解答问题。 2023年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为32微克/立方米，二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、26微克/立方米和61微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数为271天，重污染天数为8天。 2024年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为30.5微克/立方米，连续4年稳定达标；二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、24微克/立方米和54微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数比上一年增加19天，重污染天数比上一年减少6天。这是有监测记录以来，优良天数最多的一年。 经过多年的努力，北京市大气污染治理成效显著，空气中主要污染物浓度呈现长期整体下降趋势，“北京蓝”逐步成为常态。 ①请把统计图补充完整。 ②2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度是2024年的多少倍？（结果保留两位小数） ③2014~2024年北京市空气优良天数是怎样变化的？重污染天数呢？ ④根据阅读材料，请你提出一个数学问题。 易错重难点考点34：找次品 67．（24-25五年级下·全国·单元测试）有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( )的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称( )次。 68．（23-24五年级下·全国·期末）在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学五年级下学期期末复习高频易错压轴题考点分类培优练 （33个重难点考点讲练 共66题） 易错重难点考点01：根据倍数的特征解决问题 2 易错重难点考点02：倍数和因数的综合应用 3 易错重难点考点03：奇数和偶数的认识 5 易错重难点考点04:2,3,5的倍数的特征的综合 6 易错重难点考点05：质数与合数的综合应用 7 易错重难点考点06：运算性质（奇数和偶数） 8 易错重难点考点07：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 10 易错重难点考点08：组合体的表面积（长方体、正方体） 11 易错重难点考点09：体积的等积变形（长方体、正方体） 12 易错重难点考点10：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 14 易错重难点考点11：组合体的体积（长方体和正方体） 15 易错重难点考点12：长方体、正方体的容积 17 易错重难点考点13：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 18 易错重难点考点14：单位“1”的热认识与确定 20 易错重难点考点15：求一个数占另一个数几分之几 21 易错重难点考点16：真分数、假分数、带分数的认识 22 易错重难点考点17：假分数与带分数或整数的互化 23 易错重难点考点18：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 24 易错重难点考点19：分数的基本性质的应用 25 易错重难点考点20：分解质因数 26 易错重难点考点21：公因数与最大公因数 28 易错重难点考点22：用最大公因数解决问题 29 易错重难点考点23：约分的认识与应用 30 易错重难点考点24：用最小公倍数解决实际问题 31 易错重难点考点25：同分子分数的大小比较 32 易错重难点考点26：通分的认识与应用 33 易错重难点考点27：异分母异分子分数的大小比较 34 易错重难点考点28：异分母分数加减法 36 易错重难点考点29：分数的加减法运算 37 易错重难点考点20：分数的加减法 39 易错重难点考点31：分数加减法简便运算 41 易错重难点考点32：打电话问题 43 易错重难点考点33：复式折线统计图 44 易错重难点考点34：找次品 47 易错重难点考点01：根据倍数的特征解决问题 1．（24-25五年级下·广东东莞·期中）小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 【答案】3个月 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可得文具盒的钱数。再用24除以8即可得解。 【完整解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48 在15到25之间的是24 （个） 答：3个月后他存的钱够买这个文具盒。 2．（2019五年级·全国·竞赛）李师傅每工作7天休息2天，本次轮休时间是周五和周六，至少再过 天，李师傅能在周六周日休息。 【答案】36 【思路引导】根据题意可知，李师傅每9天里面休息2天，一周7天，所以用9的倍数除以7，当余数为1时，说明这个9的倍数天数为星期天，这天李师傅休息，前一天星期六也休息，据此即可解答。 【完整解答】9的倍数有9、18、27、36、45…； 9÷7＝1（个）……2（天），星期六往后数2天是星期一，说明是星期天、星期一休息； 18÷7＝2（个）……4（天），星期六往后数4天是星期三，说明是星期二、星期三休息； 27÷7＝3（个）……6（天），星期六往后数6天是星期五，说明是星期四、星期五休息； 36÷7＝5（个）……1（天），星期六往后数1天是星期天，说明是星期六、星期天休息； 所以至少再过36天，李师傅能在周六周日休息。 易错重难点考点02：倍数和因数的综合应用 3．（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路引导】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【完整解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 4．（19-20五年级下·湖南怀化·单元测试）用12个边长是1cm的小正方形摆一个长方形，你会几种摆法？ ①摆成长是( )厘米，宽是( )厘米的长方形，即( )×( )＝12。 ②摆成长是( )厘米，宽是( )厘米的长方形，即( )×( )＝12。 …… 以上所填的数都是12的( )数，12是这些数的( )数。 所以就得到：如果a×b＝c （a、b、c是不为0的整数），那么，c是( )和( )的倍数，a和b是c的( ) 数。 【答案】 12 1 12 1 6 2 6 2 因 倍 a b 因 【思路引导】（1）长方形的长为12厘米，宽为1厘米； 长方形的长为6厘米，宽为2厘米； 长方形的长为4厘米，宽为3厘米； （2）在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；据此解答。 【完整解答】①摆成长是12厘米，宽是1厘米的长方形，即12×1＝12。 ②摆成长是6厘米，宽是2厘米的长方形，即6×2＝12。 …… 以上所填的数都是12的因数，12是这些数的倍数。 所以就得到：如果a×b＝c （a、b、c是不为0的整数），那么，c是a和b的倍数，a和b是c的因数。 【考点评析】掌握因数和倍数的意义是解答题目的关键。 易错重难点考点03：奇数和偶数的认识 5．（24-25五年级下·江西赣州·期中）既是3的倍数又是5的倍数的最小偶数是( )。比20大比40小，既是2的倍数又是5的倍数的数是( )。 【答案】 30 30 【思路引导】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；3的倍数：各个数位上的数字之和能被3整除的数；5的倍数：个位是0或5的数；偶数：能被2整除的数；一个数既是2的倍数又是5的倍数：个位一定是0，据此解答。 【完整解答】一个数既是5的倍数又是偶数：个位是0，又要满足是3的倍数，则十位最小是3，所以既是3的倍数又是5的倍数的最小偶数是30。 既是3的倍数又是5的倍数的最小偶数是30。比20大比40小，既是2的倍数又是5的倍数的数是30。 6．（20-21五年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四盏灯都是亮的，一个调皮的小朋友不断按这几盏灯的开关，他从甲依次按到丁，再从丁依次按到甲，不停地按开关，如果按了2007次，这时候哪几盏灯是关着的？ 【答案】甲盏灯 【思路引导】根据题意可知，属于周期问题，每四次为一组，奇数组时灯是关着的，偶数组时灯是开着的，用2007÷4可知，共有501组零3次，奇数组时灯全部是关着的，又从丁依次按了3次，则丁、丙、乙都被打开了，只有甲是关着的，据此解答即可。 【完整解答】（组）……3（次）； 答：这时候甲盏灯是关着的。 【考点评析】本题属于周期问题的灵活运用，要明确奇数组时灯全部是关着的，偶数组时灯是开着的。 易错重难点考点04:2,3,5的倍数的特征的综合 7．（2025五年级下·全国·专题练习）一个圆圈上有几十个孔（如图），小明像玩跳棋那样，从出发沿逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回a孔；先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到b孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回a孔。这个圆圈上共有多少个孔？ 【答案】91个 【思路引导】每隔2孔跳一步，连起点一共要跳过3个孔，结果只能跳到b孔，即孔数是3的倍数多1；每隔4孔跳一步，连起点一共要跳过5个孔，结果只能跳到b孔，即孔数是5的倍数多1；每隔6孔跳一步能跳到原位，孔数是7的倍数，3与5是互质数，所以圆圈上的孔数是15的倍数加上1，且小于100，即16、31、46、61、76、91，其中91符合条件。 如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数，这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除，因为15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除，而15的其他（小于7的）倍数加1都不能被7整除，因此，圆圈上总孔数是91孔。 【完整解答】2＋1＝3，4＋1＝5，3×5＝15 15×6＋1 ＝90＋1 ＝91（个） 答：这个圆圈上共有91个孔。 8．（24-25五年级下·安徽宣城·期中）5□□0是有两个数相同的四位数，且同时是2、3、5的倍数。这个四位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 5010 5880 【思路引导】根据2、5的倍数特征可知，这个数的个位上是0； 根据3的倍数特征可知，各位上的数的和是3的倍数； 5□□0是有两个数相同的四位数，重复的两个数可能在千位、百位、十位、个位中； 最小值：百位上的数尽可能小，再调整十位，确保数字之和为3的倍数且有两个数重复； 最大值：百位上的数尽可能大，再调整十位，确保数字之和为3的倍数且有两个数重复。 【完整解答】5□□0的个位是0，所以5□□0是2、5的倍数； 5□□0最小时，百位上为0，十位上为1，5＋0＋1＋0＝6，是3的倍数； 5□□0最大时： 百位、十位上都是9，5＋9＋9＋0＝23，不是3的倍数； 百位、十位上都是8，5＋8＋8＋0＝21，是3的倍数； 所以，这个四位数最小是（5010），最大是（5880）。 易错重难点考点05：质数与合数的综合应用 9．（23-24五年级下·湖北十堰·期中）妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【答案】256199 【思路引导】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【完整解答】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 10．（23-24五年级下·全国·课后作业）能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【答案】23 【思路引导】由左边的锁上的信息可知这是一个两位数；由中间的锁上的信息可知两位数的最高位是2，那么这个两位数是20——30之间的数；再由第三个锁上的信息，20以内连续3个质数相加的和大于20，那么由此可这3个连续的质数是5、7、11。由此解答。 【完整解答】5＋7＋11＝23 23满足三把锁上的所有条件。 能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是（23）。 【考点评析】解决此类问题首先把选取最容易筛选的条件，将选取范围缩到最小，然后再依据剩下的条件进一步筛选，最终进行验证确定。 易错重难点考点06：运算性质（奇数和偶数） 11．（24-25五年级下·湖北襄阳·期中）两个连续自然数的和一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 【答案】C 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数，最小的奇数是1；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数；0（偶数）、1（奇数）、2（偶数）、3（奇数）、4（偶数）、5（奇数）…由自然数的排列顺序可知，两个连续的自然数中一定有一个奇数，有一个偶数，奇数与偶数的和一定是奇数，据此解答。 【完整解答】A．0＋1＝1，1既不是质数也不是合数；2＋3＝5，5是质数，所以，两个连续自然数的和不一定是合数； B．7＋8＝15，15是合数；10＋11＝21，21是合数，所以，两个连续自然数的和不一定是质数； C．两个连续自然数的和一定是一个奇数与一个偶数的和，奇数＋偶数＝奇数，如：3＋4＝7，7是奇数；5＋6＝11，11是奇数，所以，两个连续自然数的和一定是奇数； D．两个连续的自然数一定是一偶一奇，由奇数和偶数的运算性质可知，奇数＋偶数＝奇数，所以，两个连续自然数的和一定不是偶数。 故答案为：C 12．（23-24五年级下·贵州遵义·期中）五（2）班部分学生参加全区数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答对一道给3分，不答的题每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？ 【答案】能确定是偶数 【思路引导】根据题意，可以设每人答对a道，答错b道，则不答的题有（50－a－b）道；那么答对的题的得分是3a分，不答的题的得分是1×（50－a－b）分，答错的题的得分是（1×b）分，再相加，即是每人的总得分；然后分析这个总分数是奇数还是偶数，设这部分学生人数是偶数或奇数，根据奇数与偶数的运算性质确定这部分学生得分的总和能否确定是偶数还是奇数。 奇数和偶数的运算性质： 偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数； 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。 【完整解答】设每人答对a道，答错b道，则不答的题有（50－a－b）道，那么每人的得分是： 3×a＋1×（50－a－b）－1×b ＝3a＋50－a－b－b ＝（2a－2b＋50）（分） 无论a、b是奇数还是偶数，2a、2b都是偶数，50也是偶数，偶数－偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以（2a－2b＋50）是偶数，即每人的得分是偶数。 如果这部分学生人数是偶数，则偶数×偶数＝偶数； 如果这部分学生人数是奇数，则偶数×奇数＝偶数。 答：这部分学生得分的总和能确定是偶数。 易错重难点考点07：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 13．（24-25五年级下·河南南阳·期中）如图一个正方体的棱长是1厘米，它的表面积是6cm2，两个正方体拼在一起表面积是10cm2，三个正方体拼成的长方体表面积是( )cm2，( )个正方体拼成的长方体的表面积是90cm2。 【答案】 14 22 【思路引导】观察图形可知： 1个正方体的表面积是6cm2，6＝4×1＋2； 2个正方体拼成的长方体表面积是10cm2，10＝4×2＋2； 3个正方体拼成的长方体表面积是10cm2，14＝4×3＋2； …… 规律：n个正方体拼成的长方体表面积是（4n＋2）cm2。 【完整解答】规律：n个正方体拼成的长方体表面积是（4n＋2）cm2。 当n＝3时 4n＋2 ＝4×3＋2 ＝12＋2 ＝14（cm2） 4n＋2＝90 解：4n＋2－2＝90－2 4n＝88 4n÷4＝88÷4 n＝22 填空如下： 三个正方体拼成的长方体表面积是（14）cm2，（22）个正方体拼成的长方体的表面积是90cm2。 14．（2025五年级·全国·竞赛）如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？ 【答案】2个 【思路引导】大正方体有4排4列4层，如果没有贯通的空洞，中间部分的小正方体是没有涂红色的，共有2×2×2＝8（个），由于有贯通的空洞，中间没有涂色的小正方体要减少2×3＝6（个）（贯通的空洞减少2个，空洞四周涂色又要减法4个），所以一个面都没有涂上红色的小正方体有8－6＝2（个），据此即可解答。 【完整解答】2×2×2－2×3 ＝8－6 ＝2（个） 答：一个面都没有涂上红色的小正方体有2个。 【考点评析】先按没有空洞计算没有涂色的小正方体的个数，再减去由于有贯通空洞减少没有涂色的小正方体的个数。 易错重难点考点08：组合体的表面积（长方体、正方体） 15．（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）有一个棱长是3分米的正方体零件，从它一个面的正中间向对面挖去一个底面是边长1分米的正方形的小长方体（如图），求加工后这个零件的表面积。 【答案】64平方分米 【思路引导】这个零件的表面积＝完整的正方体表面积－2个边长1分米的正方形面积＋中间长方体前后左右4个面的面积和，正方体表面积＝棱长×棱长×6，中间长方形前后左右4个面是完全一样的长方形，据此列式解答。 【完整解答】3×3×6－1×1×2＋1×3×4 ＝54－2＋12 ＝64（平方分米） 答：这个零件的表面积是64平方分米。 16．（19-20五年级下·广西玉林·期中）计算下面组合图形的表面积。（单位：cm） 【答案】424 cm2 【思路引导】通过观察图形可知，由于大小两个长方体粘合在一起，把小长方体的右面平移到大长方体的右面（即粘合处），这样大长方体的表面积是6个面的面积之和，而右边小长方体的表面积只求它的前后面、上下面共4个面的面积之和，然后相加，就是组合图形的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【完整解答】（6×10＋6×5＋10×5）×2 ＝（60＋30＋50）×2 ＝140×2 ＝280（cm2） （6×2＋6×10）×2 ＝（12＋60）×2 ＝72×2 ＝144（cm2） 280＋144＝424（cm2） 易错重难点考点09：体积的等积变形（长方体、正方体） 17．（24-25五年级下·河南南阳·期中）实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 【答案】8分米 【思路引导】已知长方体鱼缸长和宽均为8分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中，石块占据部分底面积，导致水的底面积变成（8×8－6×4）平方分米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水的高度。 【完整解答】8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方分米） 8×8－6×4 ＝64－24 ＝40（平方分米） 320÷40＝8（分米） 答：现在水的高度是8分米。 18．（2024五年级下·全国·专题练习）有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 【答案】分米 【思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，用8×5×4即可求出水的体积，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高，且水的总体积不变，根据长方体的体积＝底面积×高，可得水的体积＝（甲水池的底面积＋乙水池的底面积）×现在的高度，先根据底面积＝长×宽，分别求出两个水池的底面积，进而用除法求出现在的高度。 【完整解答】8×5×4＝160（立方分米） 8×5＝40（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 160÷（40＋20） ＝160÷60 ＝（分米） 答：水面高分米。 【考点评析】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，明确水的体积不变是解答本题的关键。 易错重难点考点10：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 19．（24-25五年级下·河北邢台·期中）一根5米长的方钢，把它横截成4段时，表面积增加120平方厘米，原来方钢的体积是( )立方厘米。 【答案】10000 【思路引导】先把5米化成500厘米，把这根长方体方钢截成4段，表面积增加的是（4－1）×2个截面的面积，由此用增加的120平方厘米除以增加的截面的个数可以求出底面积，然后根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据解答即可。 【完整解答】5米＝500厘米 （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 120÷6×500 ＝20×500 ＝10000（立方厘米） 所以原来方钢的体积是10000立方厘米。 20．（23-24五年级下·湖北省直辖县级单位·期末）一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】96 【思路引导】一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体，说明长方体有两个面是正方形，新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加的部分就是正方体4个面的面积，据此求出正方体一个面的面积，再求出正方体棱长，再求出正方体体积，用正方体的体积除以2，求出原来长方体的体积，再把正方体和长方体的体积相加，求出新长方体体积即可。 【完整解答】64÷4＝16（平方厘米） 16＝4×4 所以正方体棱长是4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 64＋64÷2 ＝64＋32 ＝96（立方厘米） 所以新长方体的体积是96立方厘米。 【考点评析】解答此题要注意结合图形特点，得出增加的64平方厘米是正方体4个面的面积之和是解答此题的关键。 易错重难点考点11：组合体的体积（长方体和正方体） 21．（24-25五年级下·甘肃平凉·期中）下图是一个“三级台阶”（下面接地面），每级台阶的长、宽、高见标注（单位：分米）。计算这个“三级台阶”的表面积和体积。 【答案】表面积：1128平方分米；体积：2880立方分米 【思路引导】（1）据图可知，这个“三级台阶”的表面积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的表面积减去一个长×宽的面再减去2个长是6分米宽是4分米的长方形的面积再减去2个长是（4×2）分米宽是6分米的长方形的面积，据此结合长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽列式计算即可求出表面积； （2）这个“三级台阶”的体积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的体积减去一个长是20分米宽是6分米高是4分米的长方体的体积再减去一个长是20分米宽是6分米高是（4×2）分米的长方体的体积，结合长方体的体积＝长×宽×高列式计算即可。 【完整解答】6×3＝18（分米） 4×3＝12（分米） （20×18＋20×12＋18×12）×2－20×18－6×4×2－4×2×6×2 ＝（360＋240＋216）×2－360－24×2－8×6×2 ＝816×2－360－48－48×2 ＝1632－360－48－96 ＝1272－48－96 ＝1224－96 ＝1128（平方分米） 20×18×12－20×6×4－20×6×（4×2） ＝360×12－120×4－120×8 ＝4320－480－960 ＝3840－960 ＝2880（立方分米） 答：这个“三级台阶”的表面积是1128平方分米，体积是2880立方分米。 22．（24-25五年级下·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】2532dm2，6688dm3；150dm2，113dm3 【思路引导】第一个组合体，通过平移，表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方体4个面的面积和＝（长×高＋宽×高）×2；体积＝大长方体体积＋小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高； 第二个组合体，挖去一个长方体，减少了3个面，又出现了同样的3个面，因此表面积＝完整的正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6；体积＝正方体体积－长方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【完整解答】第一个组合体： 表面积：（37×16＋37×10＋16×10）×2＋（16×6＋8×6）×2 ＝（592＋370＋160）×2＋（96＋48）×2 ＝1122×2＋144×2 ＝2244＋288 ＝2532（dm2） 体积：37×16×10＝5920（dm3） 16×8×6＝768（dm3） 5920＋768＝6688（dm3） 第二个组合体： 表面积：5×5×6＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 第一个组合体的表面积是2532dm2，体积是5920dm3；第二个组合体的表面积是150dm2，体积是113dm3。 易错重难点考点12：长方体、正方体的容积 23．（24-25五年级下·贵州黔南·期中）下图是一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子，这个盒子长( )厘米，宽( )厘米，高( )厘米，容积是( )立方厘米。 【答案】 25 15 5 1875 【思路引导】这个盒子的长＝原来长方形的长－2×正方形的边长，这个盒子的宽＝原来长方形的宽－2×正方形的边长，这个盒子的高等于减去的这个正方形的边长；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，所得结果即为这个盒子的容积。 【完整解答】长：35－2×5 ＝35－10 ＝25（厘米） 宽：25－2×5 ＝25－10 ＝15（厘米） 高：5厘米 容积：25×15×5＝1875（立方厘米） 因此这个盒子长25厘米，宽15厘米，高5厘米，容积是1875立方厘米。 24．（24-25五年级下·河南南阳·期中）超市所用的长方体无盖储粮盒是用铁皮做的，具有结实、耐用、不易损坏的优点，制做方法如下：把一块长方形铁皮从四个角各切掉一个相同的正方形，然后将四边向上折起，沿缝焊接，就做成了一个无盖长方体储粮盒。已知做成的储粮盒容积是120升，底面积为40平方分米，做成这个储粮盒从铁皮上切掉的正方形边长是多少分米？如果储粮盒的长是8分米，则长方形铁皮的面积是多少平方分米？（接口忽略不计） 【答案】3分米；154平方分米 【思路引导】（1）根据题意，把一块长方形铁皮从四个角各切掉一个相同的正方形，然后制做成一个无盖长方体储粮盒，根据长方体的体积（容积）公式V＝Sh，可知长方体的高h＝V÷S，求出这个长方体储粮盒的高，也就是从铁皮上切掉的正方形边长。注意单位的换算：1升＝1立方分米。 （2）根据铁皮展开图可知，原长方形铁皮的长＝长方体的长＋正方形的2条边长，原长方形铁皮的宽＝长方体的宽＋正方形的2条边长，据此求出原长方形铁皮的长、宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出铁皮的面积。 【完整解答】（1）120升＝120立方分米 120÷40＝3（分米） 答：做成这个储粮盒从铁皮上切掉的正方形边长是3分米。 （2）宽：40÷8＝5（分米） 原铁皮的长：8＋3＋3＝14（分米） 原铁皮的宽：5＋3＋3＝11（分米） 铁皮的面积：14×11＝154（平方分米） 答：长方形铁皮的面积是154平方分米。 易错重难点考点13：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 25．（2025五年级下·全国·专题练习）一个长方体容器装有45升的水，将一个铁球浸没在水中时，容器内的水深达到5.7分米。如果再放入一个体积为3.2立方分米的铁球，这个长方体容器里的水会溢出来吗？（请通过计算说明） 【答案】会 【思路引导】由题意可知，容器内无水部分可以看作一个长方体，长方体的长和宽都是3分米，高为（6－5.7）分米，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出无水部分的体积，最后和铁球的体积比较大小，即可求得。 【完整解答】3×3×（6－5.7） ＝3×3×0.3 ＝9×0.3 ＝2.7（立方分米） 因为3.2立方分米＞2.7立方分米，所以水会溢出来。 答：这个长方体容器里的水会溢出来。 26．（24-25五年级下·山西晋中·期中）阅读理解。 小欣用排水法测量一块石头的体积，她的办法如下： 第一步：准备一个长方体水箱，从里面量长是14分米，宽10分米，深16分米。 第二步：往水箱里倒入10分米深的水。 第三步：把一块石头放如水箱中，水正好能淹没这块石头。 第四部：测出水面上升到12.5分米，水无溢出。 (1)要解决“水箱里有多少升水”这个问题，必须用到的信息是（    ）。 A．14分米  10分米  16分米  10分米 B．14分米  16分米  10分米 C．14分米  10分米  10分米 D．14分米  10分米12.5分米 (2)根据题中相关数据，求出这块石头的体积。 【答案】(1)C (2)350立方分米 【思路引导】（1）求水箱里水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，需要知道水箱的长、宽以及水的深度。 （2）上升的水的体积就是石头的体积，用12.5减去10计算出放入石头后水上升的高度，然后根据长方体体积公式计算石头的体积。 【完整解答】（1）已知水箱从里面量长是14dm，宽10dm，水的深度是10dm，所以必须用到的信息是14dm、10dm、10dm。 故答案为：C （2）14×10×（12.5－10） ＝140×2.5 ＝350（立方分米） 答：石头的体积是350立方分米。 易错重难点考点14：单位“1”的热认识与确定 27．（24-25五年级下·河南南阳·期中）如图所示，甲乙两条彩带都被遮住了一部分。两条彩带的总长度相比，（    ）。 A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．一样长 【答案】B 【思路引导】通过观察图片可知，甲的等于乙的，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，因此甲里面有2个，乙里面有3个，所以乙比甲长，据此解答。 【完整解答】如图所示，甲乙两条彩带都被遮住了一部分。两条彩带的总长度相比，乙比甲长。 故答案为：B 28．（23-24五年级上·山东济宁·期末）2023年杭州亚运会中，我国体操队获得的金牌数约是游泳队的，是把( )队的金牌数看作单位“1”；射击队获得金牌数的等于乒乓球队获得的金牌数，是把( )队的金牌数看作单位“1”。 【答案】 游泳 射击 【思路引导】两个量之间单位“1”的确定：找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、是、占……，这些关键词与分率之间的量一般就是单位“1”。看分率是哪个量的几分之几，哪个量就是单位“1”。据此解答。 【完整解答】通过分析可得：我国体操队获得的金牌数约是游泳队的，是把游泳队的金牌数看作单位“1”；射击队获得金牌数的等于乒乓球队获得的金牌数，是把射击队的金牌数看作单位“1”。 易错重难点考点15：求一个数占另一个数几分之几 29．（24-25五年级下·重庆渝北·期中）五（1）班有学生45人，其中男生23人，男生占全班的几分之几？女生人数是男生人数的几分之几？ 【答案】； 【思路引导】用男生的人数除以总人数，就是男生占全班的几分之几；用45－23求出女生的人数，然后用女生的人数除以男生人数，就是女生人数是男生人数的几分之几；据此解答。 【完整解答】23÷45＝ （45－23）÷23 ＝22÷23 ＝ 答：男生占全班的，女生人数是男生人数的。 30．（21-22五年级下·河南南阳·期中）五（1）班有男生23人，女生17人，在棋艺统计中发现：全班同学中会下象棋的有15人，会下围棋的有10人，既会下象棋又会下围棋的有5人。女生人数占男生的( )，男生人数占全班人数的( )，会下围棋的人数占会下象棋的( )，只会下围棋的人数占会下棋的( )。 【答案】 【思路引导】（1）求女生人数占男生的几分之几，用女生人数除以男生人数； （2）先用男生人数加上女生人数，求出全班人数，再用男生人数除以全班人数就是男生占全班人数的几分之几； （3）求会下围棋的人数占会下象棋的几分之几，用会下围棋的人数除以会下象棋的人数即可； （4）先用会下围棋的人数减去两种棋都会下的人数得到只会下围棋的人数，用会下象棋的人数加上会下围棋的人数，再减去两种棋都会下的人数得到会下棋的人数，最后用只会下围棋的人数除以会下棋的人数即可。 【完整解答】（1）女生人数占男生的：17÷23＝ （2）男生人数占全班人数的： 23÷（17＋23） ＝23÷40 ＝ （3）会下围棋的人数占会下象棋的：10÷15＝ （4）只会下围棋的人数占会下棋的： （10－5）÷（15＋10－5） ＝5÷20 ＝ 【考点评析】求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算；计算结果能约分的要约成最简分数。 易错重难点考点16：真分数、假分数、带分数的认识 31．（21-22三年级上·广东潮州·期末）用分数表示下面各图中的涂色部分。 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【思路引导】（1）把一个整体平均分成了6份，涂色部分占其中的2份，那么分数表示是； （2）把一个整体平均分成了4份，涂色部分占其中7份，用分数表示是。 【完整解答】根据分析如图： （第1小问答案不唯一） 【考点评析】本题主要考查的是怎么用分数表示涂色部分。 32．（2025五年级下·全国·专题练习）老师在黑板上写出这样一道题目： 一共可以组成19个真分数，则分母△的值是多少？分子○中最大的数是多少？ 【思考过程】 真分数一共19个，分子的值为1到（    ），则分母△的值是（    ），所以分子○中最大的数是（    ）。 【思维拓展】 若是最小的假分数，则▱的值是多少？ 【答案】19；20；19； 20 【思路引导】真分数的值小于1，1转化为分母为20的分数为，所以真分数分子的值为1到19，最大的为19，分母为20，假分数的值大于等于1，所以最小的假分数为。 【完整解答】根据分析，分母△的值为20，分子○中最大的数是19，最小的假分数为，即▱的值为20。 易错重难点考点17：假分数与带分数或整数的互化 33．（24-25五年级下·广东东莞·期中）把下面的假分数化成带分数或整数。 ( )     ( )    ( )     ( ) 【答案】 5 4 【思路引导】假分数化成整数，用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。分子能被分母整除的假分数可以化成整数。假分数化成带分数，用假分数的分子除以分母，得到整数商和余数（比除数小）。整数商就是带分数的整数部分，以除数为分母，余数为分子的分数就是带分数的真分数部分。据此解答。 【完整解答】，则 ，则   ，则 ，则 34．（24-25五年级下·新疆喀什·期中）把和化为带分数；把化为整数。 （1）            （2）            （3） 【答案】（1）；（2）；（3）4 【思路引导】用假分数的分子除以分母，如果能整除就化成整数，如果不能整除求出商和余数，把商作为带分数的整数部分，余数作为分数部分的分子，分母不变，这样把假分数化成带分数。 【完整解答】（1）＝7÷5＝1……2，所以＝ （2）12÷5＝2……2，所以 （3）＝24÷6＝4，所以＝4 易错重难点考点18：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 35．（22-23五年级下·甘肃天水·期中）分数，当( )时，它是这个分数的分数单位；当( )时，它是最大的真分数；当( )时，它是最小的假分数；当( )时，它的分数值是0。 【答案】 1 6 7 0 【思路引导】根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。分子小于分母的分数是真分数，分子大于或等于分母的分数是假分数。根据分数和除法的关系，如果分子为0，则分数值为0；据此解答。 【完整解答】分数，当时，它是这个分数的分数单位；当时，它是最大的真分数；当时，它是最小的假分数；当时，它的分数值是0。 【考点评析】本题主要考查了分数单位、假分数、真分数的认识以及分数和除法的关系。 36．（20-21五年级下·湖南株洲·期末）a＝( )时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是( )（填出所有可能）。 【答案】 8 1、2、4、8 【思路引导】分子等于或大于分母的分数就是假分数；若能化成整数，则b是8的因数，据此解答即可。 【完整解答】由分析可知： a＝8时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是1、2、4、8。 【考点评析】本题考查假分数和假分数化整数，明确假分数和假分数化整数的方法是解题的关键。 易错重难点考点19：分数的基本性质的应用 37．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）在括号里填上适当的数。                           【答案】；7；8；2； 6；12；6；1；48；9 【思路引导】分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【完整解答】 ， ， ， 填空如下：                         38．（2025五年级下·全国·专题练习）一个假分数，如果分子增加14，该分数就可以化成5；如果分子减少10，该分数就可以化成2。这个假分数是多少？将它化成带分数。 【答案】； 【思路引导】分子增加14和减少10，实质是相差14＋10＝24（个）分数单位，而分数值相差5－2＝3，由此可知原假分数的分母是24÷3＝8。根据题意，可算出原假分数的分子是5×8－14＝26，所以原假分数是，把它化成带分数是。 【完整解答】（14＋10）÷（5－2） ＝24÷3 ＝8 5×8－14＝26 所以原假分数是： 26÷8＝3……2，所以 答：这个假分数是，化成带分数是。 【考点评析】在变化的过程中，分母是不变的，所以分子的变化量与分数值大小的变化量是有关系的，将它们相除即可算出分母，进而算出分子。 易错重难点考点20：分解质因数 39．（18-19五年级下·浙江杭州·期末）星星新家的客厅是一个长40dm，宽32dm的长方形，如果用正方形地砖铺满（边长为整分米数，不切割），至少需要买这样的地砖多少块？ 分析与解答： （1）要使地砖正好铺满，地砖的边长必须是40和32的（    ）。 （2）要求边长最大，那么地砖边长必须是40和32的（    ）。 （3）我是这样解决的：________________    回顾与反思：我用画图来验证： 【答案】（1）公因数 （2）最大公因数 （3）见详解 【思路引导】要使正方形的地砖正好铺满且没有剩余，那么地砖的边长必须是40和32的公因数；要使买的地砖最少，则地砖的边长要最大，那么地砖的边长必须是40和32的最大公因数；先分别把40、32分解质因数，求出它们的最大公因数，再看长方形的长、宽里各有几个这样的最大公因数，最后相乘，就是至少需要买地砖的块数。 【完整解答】（1）要使地砖正好铺满，地砖的边长必须是40和32的公因数； （2）要求边长最大，那么地砖边长必须是40和32的最大公因数； （3）我是这样解决的： 40＝2×2×2×5 32＝2×2×2×2×2 40和32的最大公因数是：2×2×2＝8 即地砖边长最大是8dm。 （40÷8）×（32÷8） ＝5×4 ＝20（块） 答：至少需要买这样的地砖20块。 我用画图来验证： 【考点评析】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题的能力。可以用分解质因数或短除法求两个数的最大公因数。 40．（23-24五年级下·河北唐山·期中）小明是一名小学生，他参加了学校的“数学嘉年华”决赛活动（参加决赛的共90人）。小明说：“我的年龄乘我的名次再乘我的得分，所得的积是2134。”请问小明的年龄是多少岁？他的竞赛得分是多少分？他的名次是多少名？（“数学嘉年华”决赛的满分是100分。） 【答案】年龄：11岁；得分：97分；名次：第2名 【思路引导】已知题目中三个数的乘积为2134，将2134分解质因数得到：2134＝2×11×97；小学生年龄通常在6到12岁之间，因此唯一合理的质因数是 11岁；名次：总参赛人数为90人，名次范围是1到90，质因数中 2 符合条件；得分：剩余质因数为97，决赛的满分100分，因此得分为 97分，满足条件。 【完整解答】2134＝2×11×97 年龄：小学生年龄通常在6到12岁之间，11符合条件，因此小明的年龄是11岁。 名次：参加决赛的共90人，因此名次可能在1到90名之间，满足条件的有2，因此小明的名次是第2名。 竞赛得分：决赛的满分是100分，满足条件的是97，因此小明的竞赛得分是97分。 答：小明的年龄是11岁，他的竞赛得分是97分，他的名次是第2名。 易错重难点考点21：公因数与最大公因数 41．（24-25五年级下·甘肃平凉·期中）在20以内中，最小的质数是( )，最小的合数是( )，最大的奇数是( )，既是奇数又是合数的两个数，它们的最大公因数是( )。 【答案】 2 4 19 3 【思路引导】自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数；是2的倍数的数叫做偶数；只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身以外，还有其它因数的数叫做合数。可以从最小的自然数开始查找符合要求的数。再根据短除法求最大公因数：先把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，再把除得的商写在该数的下方，一直除到各个商只有公因数1为止，最后所有除数连乘起来所得的积就是这几个数的最大公因数。 【完整解答】据分析可知： 20以内奇数从小到大有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19 20以内合数从小到大有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18 20以内质数从小到大有：2、3、5、7、11、13、17、19 9和15的最大公因数是3 在20以内中，最小的质数是2，最小的合数是4，最大的奇数是19，既是奇数又是合数的两个数，它们的最大公因数是3。 42．（2024·广东广州·小升初真题）赵伟家的客厅长6米，宽4.8米。计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且正好铺满，需要（    ）。 A．50厘米 B．60厘米 C．80厘米 D．100厘米 【答案】B 【思路引导】先根据进率“1米＝100厘米”把6米换算成600厘米，4.8米换算成480厘米； 在长600厘米、宽480厘米的地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且正好铺满，那么方砖的边长是600和480的公因数； 先把600和480分解质因数，把公有的相同质因数乘起来即是它们的最大公因数，再列举这个最大公因数的所有因数，即是600和480的公因数，从各选项中找出哪个数是600和480的公因数，即是方砖的边长。 【完整解答】6米＝600厘米 4.8米＝480厘米 600＝2×2×2×3×5×5 480＝2×2×2×2×2×3×5 600和480的最大公因数是：2×2×2×3×5＝120 120的因数：1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120； A．50不是600和480的公因数，所以边长为50厘米的方砖不能正好铺满； B．60是600和480的公因数，所以边长为60厘米的方砖能正好铺满； C．80不是600和480的公因数，所以边长为80厘米的方砖不能正好铺满； D．100不是600和480的公因数，所以边长为100厘米的方砖不能正好铺满。 故答案为：B 易错重难点考点22：用最大公因数解决问题 43．（24-25五年级下·河南南阳·期中）手工课上，要将长度分别为24厘米、40厘米的两根细木棒截成同样长的小段，不能有剩余，每段最长是多少厘米？用它们摆正方形一共可以摆出多少个？ 【答案】8厘米；2个 【思路引导】要将两根不同长度的木棒截成同样长且无剩余的小段，每段长度就是 24和 40 的公因数，要求最长，就是求最大公因数。求出每段长度后，用24和40分别除以它们的最大公因数算出两根木棒分别能截成的段数，进而相加求出总段数，用总段数除以4就能得到摆正方形的个数。 【完整解答】24＝2×2×2×3 40＝2×2×2×5 所以24和40的最大公因数是2×2×2＝8，即每段最长是8厘米。 24÷8＋40÷8 ＝3＋5 ＝8（段） 8÷4＝2（个） 答：每段最长是8厘米，用它们摆正方形一共可以摆出2个。 44．（18-19五年级下·江苏淮安·期末）一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 【答案】20米；18棵 【思路引导】由题意可知：每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数；求出长方形的周长，用周长÷每两棵树间的距离即可求得最少需要多少棵杉树；据此解答。 【完整解答】100＝2×2×5×5 80＝2×2×2×2×5 所以100和80的最大公因数是2×2×5＝20，即每两棵树间的距离最多是20米。 （100＋80）×2÷20 ＝360÷20 ＝18（棵） 答：每两棵树间的距离最多是20米，最少需要18棵杉树。 【考点评析】本题主要考查最大公因数的实际应用，明确每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数是解题的关键。 易错重难点考点23：约分的认识与应用 45．（21-22六年级上·重庆梁平·期末）一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是( )。 【答案】 【思路引导】把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 一个分数约分之前分子与分母的和是160，约分后是，约分后分子与分母的和是3＋5＝8，则约分前分子与分母的和是约分后的160÷8＝20倍，用约分后分数的分子、分母分别乘20，即可求出约分前的分数。 【完整解答】160÷（3＋5） ＝160÷8 ＝20 ＝＝ 约分前的分数是。 【考点评析】理解掌握约分的意义及应用，找出分数约分前与约分后分子、分母之和的倍数关系是解题的关键。 46．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）先约分，再比较各组分数的大小。 和 和 和 【答案】，＝，＝； ，，＜； ＝2；＝2；＜ 【思路引导】先运用分数的基本性质进行约分，分子和分母同时除以它们的最大公因数，即是最简分数。再根据分数大小比较的方法进行比较。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小。 【完整解答】（1）＝＝，＝＝ ＝，所以＝； （2）＝＝，＝＝ ＜，所以＜； （3）＝＝2，＝＝ 2＜，所以＜。 易错重难点考点24：用最小公倍数解决实际问题 47．（24-25五年级下·湖南怀化·期中）为了打造书香校园，涵养师生文化自信。幸福小学在图书角新设计一个四层书架，方便学生随时阅读。根据下面对话，请你算一算这个书架最多可放多少本图书？ 【答案】192本 【思路引导】先求出6和8的最小公倍数，再找出不超过50的最大公倍数，即每层书架最多能放的图书本数，然后用每层书架最多能放的图书本数乘4，就能计算出四层书架最多可以放图书的数量。 【完整解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 24×2＝48、24×3＝72、24×4＝96…… 48不超过50，所以每层最多放48本。 48×4＝192（本） 答：这个书架最多可放192本图书。 48．（23-24五年级下·贵州安顺·期末）某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 【答案】36名 【思路引导】根据题意可知，宴会上的客人人数是2，3，4的公倍数，根据求最小公倍数的方法，先求出2，3，4的最小公倍数；2，3，4的最小公倍数是12；假设宴会上有12名客人，将其分别除以2，3，4，所得的商相加，即可求出此时假设客人需要点心的份数；再用实际客人吃到点心的份数÷此时假设客人需要点心的份数，求出实际客人吃到点心的份数是此时假设客人需要点心的份数的几倍，再乘12，即可求出宴会上的客人数量。 【完整解答】2，3，4的最小公倍数是12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝10＋3 ＝13（份） 39÷13＝3 12×3＝36（名） 答：宴会上有36名客人。 【考点评析】解答本题的关键是假设2，3，4的最小公倍数是这些客人的人数，求出需要点心的份数，再求出实际吃点心的份数是假设客人吃点心的份数的几倍，进而解答。 易错重难点考点25：同分子分数的大小比较 49．（2025五年级下·全国·专题练习）如图，三条彩带都被遮住了一部分，露出部分的长度相等。原来这三条彩带中，最长的是( )号彩带。（填序号） 【答案】③ 【思路引导】露出部分占总长度的分率越小，说明彩带的总长度越长。分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，利用分数的基本性质化成同分母或同分子的分数进行比较。 【完整解答】 ，所以 2＜5，所以 所以 因此，这三条彩带中，最长的是③号彩带。 50．（24-25五年级下·全国·单元测试）从3、5、7三张数字卡片中任取两张卡片，可以组成一个分数。一共可以组成（    ）个分数，其中最大的分数是，最小的分数是。 【答案】6；； 【思路引导】将3和5分别作分子分母，可以组成2个分数，将3和7分别作分子分母，可以组成2个分数，同理将5和7分别作分子分母，也可以组成2个分数，所以一共可以组成6个分数。其中，分母最小，分子最大时，即，是最大的分数；分母最大，分子最小时，即，是最小的分数，据此填空。 【完整解答】由分析可得：从3、5、7三张数字卡片中任取两张卡片，可以组成一个分数。一共可以组成6个分数，其中最大的分数是，最小的分数是。 易错重难点考点26：通分的认识与应用 51．（2025六年级下·吉林·专题练习）一张彩纸，乐乐先用去了它的折千纸鹤，又用了它的剪窗花，如图，应选择（    ）作为测量单位，就能正好测量出共用去几个这样的单位。 A．彩纸的 B．彩纸的 C．彩纸的 D．彩纸的 【答案】A 【思路引导】求出两次用去彩纸占比的分母的最小公倍数，把彩纸按照这个最小公倍数进行平均分，每份对应的分数就是合适的测量单位。 【完整解答】因为3和4是互质数（两个数除了1以外没有其他公因数），根据互质数的最小公倍数是它们的乘积，可得3和4的最小公倍数为3×4＝ 12。 把这张彩纸平均分成12份，那么每份就是这张彩纸的； 乐乐先用去彩纸的，＝＝，也就是4个； 又用去彩纸的，＝＝，也就是3个。 这样就能正好测量出共用去几个这样的单位，所以应选择彩纸的作为测量单位。 故答案为：A 52．（20-21五年级下·全国·课后作业）如果把假分数的分子和分母分别都加上1、2、3、…从开始写下前5个分数，比较它们的大小，你有什么发现？ 【答案】； 发现：不等于1的假分数分子和分母同时加上一个相同的数后，分数越来越小了。 【思路引导】本题可以利用通分的方法进行比较，也可以用如下方式进行大小比较：都是假分数，越靠后的数越接近1，越接近1就说明分数越小。 【完整解答】由分析得： 因为：＞＞＞＞，所以，即不等于1的假分数分子和分母同时加上一个相同的数后，分数越来越小了。 【考点评析】本题先要正确书写变化后的分数，再将这些分数通分，并比较大小。其中包含了找最小公分母，以及通分的运算，计算时要细心。 易错重难点考点27：异分母异分子分数的大小比较 53．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）下列说法正确的是（    ）。 ①大于小于的分数只有。 ②一堆沙子的质量是5吨，运走，还剩下吨。 ③0是偶数。 ④相邻的两个自然数的和，一定是奇数。 A．①② B．③④ C．②③ 【答案】B 【思路引导】①在和之间，除了同分母分数，还有无数个异分母分数。 ②一堆沙子的质量是5吨，运走，这里的是把总质量平均分成5份，运走了3份，首先需要计算出运走的质量，然后用总质量减去运走的质量就是剩下的质量； ③能被2整除的整数是偶数，判断0能否被2整除即可； ④判断相邻两个数的和是否是奇数，需要判断相邻两个数本身的奇偶性，再判断和的奇偶性。 【完整解答】①大于小于的分数有无数个，例如，等，不止是，所以该表述错误； ②一堆沙子的质量是5吨，运走，运走的质量是5÷5×3＝1×3＝3（吨），剩下的质量是5－3＝2（吨），不是吨，该表述错误； ③能被2整除的数是偶数，0÷2＝0，所以0是偶数，该表述正确； ④相邻的两个数必是一奇一偶，奇数＋偶数＝奇数，所以相邻的两个自然数的和，一定是奇数，该表述正确。 所以③④正确。 故答案为：B 54．（23-24五年级下·江西南昌·期中）因为比小，所以的分数单位比的分数单位小。( ) 【答案】× 【思路引导】分母是几分数单位就是几分之一，两分数比大小，分子相同看分母，分母小的分数大，据此分析。 【完整解答】的分数单位是，的分数单位是，＞，的分数单位比的分数单位大，原题说法错误。 故答案为：× 易错重难点考点28：异分母分数加减法 55．（23-24五年级下·河南驻马店·期中）一批水果，桃占总重量的，苹果占总重量的，西瓜占总重量的，其余的是梨。 （1）苹果和西瓜共占水果总重量的几分之几？ （2）梨占水果总重量的几分之几？ 【答案】（1）； （2） 【思路引导】（1）把这批水果的总重量看作单位“1”，用苹果所占的分率加上西瓜所占的分率即可得到一共占总重量的几分之几； （2）用1分别减去桃、苹果、西瓜占总重量的几分之几即可得到梨占水果总重量的几分之几。 【完整解答】（1）＋＝＋＝ 答：苹果和西瓜共占水果总重量的。 （2）1－－－ ＝－－－ ＝－－ ＝－ ＝ 答：梨占水果总重量的。 56．（20-21五年级下·湖北武汉·期末）王叔叔是自行车运动爱好者，周末经常去训练场进行训练。训练路线由三部分组成，从起点到全程的处是上坡，从处到全程的处是下坡，其余的是平地，如下图所示。 （1）下坡路线占全程的几分之几？ （2）王叔叔从起点出发，骑行了全程的后原地休息，然后继续向终点方向骑行了全程的，这时他处于哪段训练路线？（列式计算说明） 【答案】（1） （2）平地训练路线 【思路引导】（1）求下坡路线占全程的几分之几，用求得即可； （2）根据王叔叔骑行的路程判断王叔叔处于哪段训练路线即可。 【完整解答】（1） 答：下坡路线占全程的。 （2） 答：这时他处于平地训练路线。 【考点评析】本题考查分数加减法，解答本题的关键是分析清楚整条路线的分布情况。 易错重难点考点29：分数的加减法运算 57．（24-25五年级下·全国·课后作业）计算题。（能简算的要简算）                                  【答案】； ； 【思路引导】根据加法结合律把原式化为：进行简便计算； 按照从左到右的顺序计算； 根据加法交换律和结合律把原式化为：进行简便计算； 根据加法交换律和结合律把原式化为：进行简算。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1＋ ＝ ＝ ＝1＋ 58．（21-22五年级下·河北保定·期末）一杯奶茶，欢欢喝了半杯后，感觉不太甜，就兑满了糖水，又喝了杯，就去写作业了，他一共喝了多少杯奶茶？多少杯糖水？ 回忆：本学期学习“喝牛奶问题”时，我们采用什么方法解决的？今天我们用画图方法尝试解决吧！    第一次喝了（    ）杯奶茶，剩下（    ）杯奶茶。加满糖水后，糖水是（    ）杯，奶茶是原来剩下的（    ）杯。又喝了杯，也就是把杯奶茶再平均分成3份，其中的一份是整杯奶茶的（    ）。同样的道理，一份糖水是整杯奶茶的（    ）。 请算出欢欢一共喝多少杯奶茶？多少杯糖水？ 【答案】；；；；； 奶茶：＋＝（杯） 糖水：杯 【思路引导】第一次喝的半杯是杯奶茶，剩下的半杯也是奶茶。加半杯糖水后成满杯，第二次喝了杯，这里有杯奶茶的,还有杯糖水的，据此能够算出一共喝了多少杯奶茶，多少杯糖水。 【完整解答】第一次喝了（）杯奶茶，剩下（）杯奶茶。加满糖水后，糖水是（）杯，奶茶是原来剩下的（）杯。又喝了杯，也就是把杯奶茶再平均分成3份，其中的一份是整杯奶茶的（）。同样的道理，一份糖水是整杯奶茶的（）。 奶茶：＋＝（杯） 糖水：杯 【考点评析】解决此类问题的关键是抓住奶茶的总量不会改变这一特点进行分析推理，明确每次喝奶茶的数量和喝糖水的数量，从而解决问题。 易错重难点考点20：分数的加减法 59．（23-24五年级下·江西九江·期末）2024年4月23日是第29个世界读书日，希望小学开展“读书节”的活动，图书馆每天都对外开放，欢迎每位学生都来图书馆阅读、借书。 （1）聪聪选了一本《趣味科学》，共280页，第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩这本书的几分之几没有看？ （2）睿睿和敏敏两人都在图书馆借书，睿睿每3天去一次，敏敏每5天去一次。如果5月8日他们两人在图书馆相遇，那么他们下次在图书馆相遇是几月几日？ 【答案】（1） （2）5月23日 【思路引导】（1）把全书的总页数看作单位“1”，聪聪第一天、第二天分别看了全书的、，根据减法的意义，用“1”减去第一天、第二天看了全书的分率，即是还剩这本书的几分之几没有看。 （2）已知睿睿每3天去一次，敏敏每5天去一次，他们在图书馆相遇的间隔天数就是3和5的最小公倍数；先求出3和5的最小公倍数，再加上他们上一次在图书馆相遇的日期，即是下次在图书馆相遇的日期。 【完整解答】（1）1－－ ＝－ ＝－ ＝ 答：还剩这本书的没有看。 （2）3和5的最小公倍数是：3×5＝15 即每15天两人在图书馆相遇。 5月8日＋15日＝5月23日 答：他们下次在图书馆相遇是5月23日。 60．（23-24五年级下·天津南开·期末）每年的4月23日是世界读书日。楠楠制定了2023年阅读计划，她上半年完成了计划的，下半年完成了计划的。楠楠2023年实际阅读量超过计划的几分之几？ 【答案】 【思路引导】由题意知：把全年阅读计划量看作单位“1”，用上下半年实际完成的分率减单位“1”，就是全年实际阅读量超过计划阅读量的几分之几。 【完整解答】实际阅读量超过计划的： 答：楠楠2023年实际阅读量超过计划的。 易错重难点考点31：分数加减法简便运算 61．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）怎样简便就怎样算。 （1）        （2）      （3） （4）         （5） 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）；（5） 【思路引导】带符号搬家：在同级运算中，可以将数连同它前面的运算符号一起移动位置。 减法的性质：；。 （1）按运算法则依次通分再进行计算； （2）观察式子中三个分数的分母，分母相同的尽可能先进行计算，所以利用减法的性质进行简便计算； （3）观察式子中分数的分母，运用“带符号搬家”进行简便计算； （4）先把小数化成分数，再利用“带符号搬家”进行简便计算； （5）利用减法的性质进行简便计算。 【完整解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ 62．（21-22五年级下·河北张家口·期末）已知、、、、，那么( )。 【答案】 【思路引导】已知，，，观察算式，利用加法交换律，前后的可以相互抵消，因此求的和，前后的、、、均可以相互抵消掉，据此计算即可。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点评析】此题巧妙拆解分数，通过加法交换律，两两相互抵消，达到简便计算的目的。 易错重难点考点32：打电话问题 63．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）由于天气原因，某登山社团组织的户外活动不能如期举行，社长需要尽快通知社团里的20位社员，如果一对一打电话每分钟通知一人，那么最少需要( )分钟可以通知到每一位社员。 【答案】5 【思路引导】本题考查打电话问题。根据题意，第1分钟社长可以通知1人，第2分钟社长和 已经通知的1人可以通知2人，第3分钟社长和已经通知的3人可以通知4人，第4分钟社长和已经通知的7人可以通知8人，第5分钟社长和已经通知的15人可以通知16人，此时一共通知了1＋2＋4＋8＋16＝31（人），31＞20，所以最少需要5分钟可以通知到每一位社员。据此解答即可。 【完整解答】由分析可知：最少需要5分钟可以通知到每一位社员。 64．（21-22五年级下·河北保定·期末）一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 【答案】3分钟；图见详解。 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共l＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，所以要通知到7人，需要3分钟，据此解答即可。 【完整解答】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人）； 即需要3分钟能全部通知到位。 答：全部通知完至少需要3分钟。 如图： 【考点评析】解答本题的关键是明确已通知的队员的人数加上老师是下一次要通知的队员人数。 易错重难点考点33：复式折线统计图 65．（24-25五年级下·全国·单元测试）王叔叔骑自行车匀速从甲地驶向乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶，他离乙地的距离与时间的关系如图中折线所示。刘叔叔开车匀速从乙地驶向甲地，比王叔叔晚出发一段时间，他离乙地的距离与时间的关系如图中线段AB所示。王叔叔出发多少小时后与刘叔叔相距15千米？ 【答案】6.4小时或6.8小时 【思路引导】从图中可知，甲、乙两地的距离是120千米；王叔叔骑车从甲地到乙地中间休息了1小时，到达目的地用时（9－1）小时；刘叔叔开车从乙地到甲地用时（8－6）小时；根据“速度＝路程÷时间”，分别求王叔叔骑车的速度和刘叔叔开车的速度。 当刘叔叔出发时，王叔叔骑车已行了（6－1）小时，根据“路程＝速度×时间”求出王叔叔先行的路程；再用全程减去王叔叔先行的路程，即是当刘叔叔出发时两人相距的距离。 求王叔叔出发多少小时后与刘叔叔相距15千米，分两种情况： 情况一：两人相遇前相距15千米时，用刘叔叔出发时两人相距的距离减去15，即是两人相遇前行的路程之和，再除以两人的速度和，求出两人相距15千米时行的时间，最后加上王叔叔早出发的6小时即可； 情况二：两人相遇后相距15千米时，用刘叔叔出发时两人相距的距离加上15，即是两人相遇前行的路程之和，再除以两人的速度和，求出两人相距15千米时行的时间，最后加上王叔叔早出发的6小时即可。 【完整解答】刘叔叔开车的速度： 120÷（8－6） ＝120÷2 ＝60（千米/时） 王叔叔骑车的速度： 120÷（9－1） ＝120÷8 ＝15（千米/时） 当刘叔叔出发时，两人相距： 120－15×（6－1） ＝120－15×5 ＝120－75 ＝45（千米） 情况一：两人相遇前相距15千米 （45－15）÷（60＋15） ＝30÷75 ＝0.4（小时） 6＋0.4＝6.4（小时） 情况二：两人相遇后相距15千米 （45＋15）÷（60＋15） ＝60÷75 ＝0.8（小时） 6＋0.8＝6.8（小时） 答：王叔叔出发6.4小时或6.8小时后与刘叔叔相距15千米。 【考点评析】先从时间与距离的关系图中获取信息，根据速度、时间、路程之间的关系分别求出两人的速度以及刘叔叔出发时两人相距的距离；然后分两种情况讨论两人何时相距15千米是解题的关键。 66．（24-25五年级下·北京大兴·期中）阅读材料，解答问题。 2023年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为32微克/立方米，二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、26微克/立方米和61微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数为271天，重污染天数为8天。 2024年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为30.5微克/立方米，连续4年稳定达标；二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、24微克/立方米和54微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数比上一年增加19天，重污染天数比上一年减少6天。这是有监测记录以来，优良天数最多的一年。 经过多年的努力，北京市大气污染治理成效显著，空气中主要污染物浓度呈现长期整体下降趋势，“北京蓝”逐步成为常态。 ①请把统计图补充完整。 ②2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度是2024年的多少倍？（结果保留两位小数） ③2014~2024年北京市空气优良天数是怎样变化的？重污染天数呢？ ④根据阅读材料，请你提出一个数学问题。 【答案】①见详解 ②1.13倍 ③见详解 ④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？（问题不唯一）10天 【思路引导】①用271＋19，求出优良的天数，将“优良”天数的折线补到290处，即可完成统计图。 ②用2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度÷2024年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度，即可解答。 ③观察统计图，说出2014~2024年北京市空气优良天数的变化，以及重污染天数的变化。（说法合理即可） ④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？用2022年空气质量优良天数－2020年空气质量优良天数，即可解答（答案不唯一）。 【完整解答】①271＋19＝290（天） 如图： ②61÷54≈1.13 答：2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度是2024年的1.13倍。 ③根据统计图可知，2014～2024年，北京市空气优良天数整体呈“逐渐增多”的趋势（从172天增加到290天），中间略有小幅波动； •而重污染天数整体呈“逐渐减少”的趋势（从47天下降到2天），同样有少量上下起伏。 ④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？（问题不唯一） 286－276＝10（天） 答：北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了10天。 易错重难点考点34：找次品 67．（24-25五年级下·全国·单元测试）有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( )的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称( )次。 【答案】 天平称 2 轻的那包 2 【思路引导】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【完整解答】有5包奶糖，其中有一包是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（2，2，1），天平两边各放2包，①若天平平衡，则次品就是剩下的1包；②若天平不平衡，次品就在较轻的那2包中； 第二次称重：把2包分成（1，1），天平两边各放1包，次品就是较轻的那1包。 有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用天平称的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放2包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是轻的那包；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称2次。 68．（23-24五年级下·全国·期末）在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片。 【答案】 2 5 【思路引导】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【完整解答】把8瓶钙片分成3份，即（3，3，2）； 第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3瓶钙片分成3份，即（1，1，1）； 第二次称，天平两边各放l瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那一瓶； 所以分成3份（3，3，2），用天平称2次，就一定能找出次品。 把82瓶钙片分成3份，即（27，27，28）； 第一次称，天平两边各放27瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的27瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的28瓶中。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的28瓶钙片分成3份，即（9，9，10）； 第二次称，天平两边各放9瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那9瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那10瓶。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）； 第三次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那3瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那4瓶。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4瓶钙片分成2份，即（2，2）； 第四次称，天平两边各放2瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那2瓶。再把有次品的2瓶钙片分成2份，即（1，1）； 第五次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那1瓶； 所以，至少称5次能保证找出次品钙片。 【考点评析】在找次品问题中，为确保用最少的次数能够找到次品，考虑最不利原则并且每次把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$