精品解析：山东省青岛大学附属中学2025年中考第二次模拟数学试题

青大附中九年级数学中考模拟试题 （满分：120分考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共9小题；每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使用高性能的模型，推动了技术的普惠化．2025年开年，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户（），超过了发布之初的数据表现，展现出巨大的市场潜力．其中用科学记数法表示21600000为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 估计的运算结果在( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 5. 下列各式中正确的是（　　） A. B. C. （ ） D. 6. 如图，△ABO缩小后变为，其中A、B的对应点分别为，均在图中格点上，若线段AB上有一点，则点在上的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重 两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图， 为上的点， 为外一点，，则 的度数可以是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知顶点为的抛物线经过点．则下列结论中错误的是（　　） A. B. C. 关于的一元二次方程的两根为 和 D. 若点，在抛物线上，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 10. 如果，那么锐角 的度数为________°． 11. 一个不透明的口袋中有红球10个、黑球若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现有400次摸到红球，估计口袋中有黑球________个． 12. 在中， ， 为 上一点，， ，，则 的长是___________ 13. 如图，四边形 和均为正方形，点C，D均在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，点F在 上，点B，E在反比例函数的图象上，则E的坐标为______． 14. 如图，在矩形 中，以点A为圆心， 的长为半径作圆，交 于点E，过点B作的切线 交 于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为______． 15. 某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为 和 ， 和 ， 和 ， 和 ， 和 ， 和 ， 和 ， 和 时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和 时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为________；当已知矩形的长和宽分别为和 时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和 应满足的关系式为________． 三、尺规作图题： 16. 已知：如图，线段a，∠α． 求作：Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=∠α，AC=a． 四、解答题：本题共9小题，供71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算题 （1）解不等式组 （2）分式化简： 18. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：A：；B： ；C： ；D： ，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 ___________ ___________，___________ （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 19. 把一副扑克牌中的 张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是 、 、 ）洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是 的概率是多少？ （2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当 张牌面数字相同时，小王赢；当 张牌面数字不相同时，则小李赢．现请你利用树形图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由． 20. 太原吾悦广场的具体位置是山西省太原市万柏林区千峰北路与漪汾街交叉口处，其摩天轮（图1）是太原大型商场中独一无二的摩天轮．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量太原吾悦广场摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量太原吾悦广场摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使用无人机在点 处竖直上升至点 处，在点 处测得摩天轮 顶部 的仰角为 ，然后以 的速度沿水平方向向左飞行至点 处，在点 处测得摩天轮 顶部 的仰角为 ，底部 的俯角为 ． 说明 点 ， ， ， ， 均在同一竖直平面内，且点 ， 在同一水平线上．（参考数据．，，，） 任务 求太原吾悦广场摩天轮 的高度（结果精确到） 21. 某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等． （1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？ （2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？ 22. 如图，在平行四边形ABCD中，E、 F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线.过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G. (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若∠G=90° ,求证:四边形DEBF是菱形. 23. 在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB． （1）若四边形ABCD为正方形． ①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系______； ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由； （2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图3中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系． 24. 新欣商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为元件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为元件时，销售量为件，销售单价每件降低 元，就可多售出件． （1）写出销售量件与销售单价元件之间的函数关系式． （2）写出销售该产品所获利润元与销售单价元件之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润． （3）若商场想获得不低于元的利润，同时要完成不少于件的该产品销售任务，则该商场应该如何确定该产品的销售单价 25. 已知：如图，菱形 中，，对角线 与 相交于点 ，直线 以从点 出发，沿 方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点 ，过点 作，交 于点 （1）求线段的长；（用含的代数式表示） （2）设的面积为 （单位：），求 与的函数关系式； （3）是否存在某时刻，使线段恰好经过点 ？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青大附中九年级数学中考模拟试题 （满分：120分考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共9小题；每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使用高性能的模型，推动了技术的普惠化．2025年开年，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户（），超过了发布之初的数据表现，展现出巨大的市场潜力．其中用科学记数法表示21600000为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、B、C都是轴对称图形，但都不是中心对称图形，故选项A、B、C都不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意． 故选：D． 3. 估计的运算结果在( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再合并同类二次根式，估算结果即可. 【详解】=， ∵， ∴的运算结果在3和4之间， 故选：C. 【点睛】此题考查二次根式的减法运算法则，估算无理数，正确计算是解题的关键. 4. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，据此可得该几何体是三棱柱． 【详解】解：由由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形， 所以该几何体是三棱柱 故选：B． 【点睛】本题考查几何体的展开图，从实物出发，结合具体问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图象的转化，建立空间观念，是解题关键． 5. 下列各式中正确的是（　　） A. B. C. （ ） D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法，二次根式的运算，根据相关运算法则，逐一进行技术，判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、（ ），原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选C． 6. 如图，△ABO缩小后变为，其中A、B的对应点分别为，均在图中格点上，若线段AB上有一点，则点在上的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据A，B两点坐标以及对应点，点的坐标得出坐标变化规律，进而得出坐标为． 故选D． 考点：位似变换；坐标与图形的性质． 7. 《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重 两，石重 两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识．根据石头的总重及体积，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵石头总重11斤， ∴，即； ∵石头的体积为27立方寸， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：B． 8. 如图， 为上的点， 为外一点，，则 的度数可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、圆周角定理、三角形外角性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设与相交于点 ，连接，由可得 为直角三角形， ，即得，得到，再根据三角形外角性质可得，据此即可解答． 【详解】解：设与相交于点 ，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 为直角三角形， ， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴ 的度数可以是． 故选：A． 9. 如图，已知顶点为的抛物线经过点．则下列结论中错误的是（　　） A. B. C. 关于 的一元二次方程的两根为 和 D. 若点，在抛物线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了二次函数的性质，考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容．由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据二次函数的对称性可对C进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近可对D进行判断． 【详解】解：A、图象与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，， 所以，故A选项正确，不符合题意； B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为，所以， 故B选项正确，不符合题意； C、根据抛物线的对称性可知，关于对称轴的对称点为， 所以关于x的一元二次方程的两根为 和， 故C选项正确，不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，因为离对称轴的距离大于0离对称轴的距离，所以， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 10. 如果，那么锐角 的度数为________°． 【答案】30 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案 【详解】解：∵， ∴锐角A的度数为30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键． 11. 一个不透明的口袋中有红球10个、黑球若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现有400次摸到红球，估计口袋中有黑球________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查由频率估计概率，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．设这个口袋中黑球的数量为 个，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：设这个口袋中黑球的数量为 个， 解得： 经检验是原方程的解， 故答案为： ． 12. 在 中，， 为上一点，， ，，则的长是___________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，设，在中，根据的正切可求出．在 中，根据勾股定理得到关于 的方程，解得 的值即可求出的长．熟知直角三角形的性质是解答此题的关键． 【详解】解：设，则， ，， ， 解得， ． 故答案为：3． 13. 如图，四边形 和均为正方形，点C，D均在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，点F在上，点B，E在反比例函数的图象上，则E的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，由正方形的性质即可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，设正方形的边长为a，由此即可表示出点E的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴， 设， ∴， ∵点 在反比例函数的图象上， ∴， 解得，或 （舍去）； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， ∵点 在反比例函数的图象上， ∴，解得，或（舍去）， ∴， ∴点 的坐标为． 14. 如图，在矩形中，以点A为圆心，的长为半径作圆，交于点E，过点B作的切线 交于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积，熟练掌握矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积公式是解题的关键；连接 ，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及割补法可进行求解． 【详解】解：连接 ，如图所示： ∵四边形是矩形，， ∴， ∵过点B作的切线 交于点G，切点为点F， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 15. 某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和 ，和 ， 和 ， 和 ， 和 ， 和 ， 和 ，和 时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和 时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为________；当已知矩形的长和宽分别为和 时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和 应满足的关系式为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出设所求的矩形的两边分别是 和 ，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设所求的矩形的两边分别是 和 ，由题意得方程组 解得：或 这个矩形较短边的长为 当已知矩形的长和宽分别为和 时，由题意得方程组 ∴ 即 ∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的， ∴方程有实数根， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 三、尺规作图题： 16. 已知：如图，线段a，∠α． 求作：Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=∠α，AC=a． 【答案】 如图，△ABC为所作． 【解析】 【详解】首先画射线AM，在射线AM上截取AC=a，过点C作AM的垂线，再以A为顶点作∠A=∠α，即可得到Rt△ABC． 本题考查了尺规作图——复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 四、解答题：本题共9小题，供71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算题 （1）解不等式组 （2）分式化简： 【答案】（1）2≤x＜3；（2）. 【解析】 【分析】（1）分别解得各不等式的解集，再求出两个不等式的公共解集即可.（2）根据分式的混合运算法则进行化简即可. 【详解】（1） 由 得：x＜3 由 得：x≥2 ∴不等式组的解集为：2≤x＜3 （2）原式= = = 【点睛】本题考查解不等式，分式的混合运算，熟练掌握不等式的解法及分式的运算法则是解题关键. 18. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用 表示，共分为四组：A：；B： ；C： ；D： ，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 ___________ ___________，___________ （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 【答案】（1），， （2）男生更喜欢《哪吒2》， 理由如下： 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》 （3） 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义求得 ，进而得出评分在 的人数，求得的值； （2）根据中位数和众数分析，即可求解； （3）用 和分别乘以评分在D组的占比，即可求解． 【小问1详解】 解： 名女生对《哪吒2》的评分分数：， ，， ，，，，，， ． 出现最多，则， 根据统计表可得满分的有人，则中位数为第 和第6个数据， 名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是： ， ， ． 则按从小到大排列，第 个数据为 ，第 个数据为 ， 则 根据扇形统计图可得评分分数为 和 的人数和为，且 的人数都不为， ∴评分分数为 和 的人数都是 人 ∴，则 故答案为：，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） 即这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有人 19. 把一副扑克牌中的张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是、 、 ）洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是 的概率是多少？ （2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王赢；当张牌面数字不相同时，则小李赢．现请你利用树形图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由． 【答案】（１）； （２）游戏规则对双方不公平． 理由如下： 如图所示, 由上述树状图知：所有可能出现的结果共有9种． P（抽到牌面数字相同）=， P（抽到牌面数字不相同）=． ∵， ∴此游戏不公平，小李赢的可能性大． 【解析】 【分析】（1）根据概率=所求情况数与总情况数之比计算． （2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可． 【详解】解： （１）P（抽到牌面数字4）= （２）略 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 太原吾悦广场的具体位置是山西省太原市万柏林区千峰北路与漪汾街交叉口处，其摩天轮（图1）是太原大型商场中独一无二的摩天轮．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量太原吾悦广场摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量太原吾悦广场摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使用无人机在点 处竖直上升至点 处，在点 处测得摩天轮顶部 的仰角为 ，然后以 的速度沿水平方向向左飞行至点 处，在点 处测得摩天轮顶部 的仰角为 ，底部 的俯角为 ． 说明 点 ， ， ， ， 均在同一竖直平面内，且点 ， 在同一水平线上．（参考数据．，，，） 任务 求太原吾悦广场摩天轮的高度（结果精确到） 【答案】太原吾悦广场摩天轮的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；延长 交于点，设，则四边形是矩形，依题意得，，解直角三角形求出，，，由，建立方程求解即可． 【详解】解：如图，延长 交于点，设， 则四边形是矩形， 依题意得，， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，，则， ， ， 解得， ， ， 答：太原吾悦广场摩天轮的高度约为． 21. 某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等． （1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？ （2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？ 【答案】（1）A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元 （2）购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元 【解析】 【分析】（1）设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，利用用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等，建立方程即可； （2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，再利用总费用等于购进两种拖把的费用之和建立函数关系式，再利用函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元． 【小问2详解】 设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元， 由得 根据题意得：， ∵， ∴当时，， ∴． 答：购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，确定相等关系或不等关系建立方程或不等式或函数关系式是解本题的关键． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，E、 F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线.过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G. (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若∠G=90° ,求证:四边形DEBF是菱形. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C， ∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE=AB，CF=CD， ∴AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∵， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）证明：∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG， ∴四边形AGBD是矩形， ∴∠ADB=90°， 在Rt△ADB中 ∵E为AB的中点， ∴AE=BE=DE， ∵DF∥BE，DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明AE=CF，从而根据SAS可证明两三角形全等； （2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，难度适中． 23. 在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB． （1）若四边形ABCD为正方形． ①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系______； ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由； （2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图3中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系． 【答案】（1）①； ②； 理由如下： 绕点 逆时针旋转到图2所示的位置， ， ， ，   ， ， ， 即； （2） 如图3， 【解析】 【分析】（1）①利用正方形的性质得为等腰直角三角形，则，再证明为等腰直角三角形得到，所以，从而得到； ②利用旋转的性质得，加上，则根据相似三角形的判定可得到，所以； （2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到，再证明得到，则，接着利用旋转的性质得，，，所以，然后根据相似三角形的判定方法得到，再利用相似的性质可得． 【小问1详解】 解：① 四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 即； 故答案为； ②略 【小问2详解】 解：如图3， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， 绕点 逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形和正方形的性质；灵活应用相似三角形的判定和性质，会利用相似比表示线段之间的关系． 24. 新欣商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为元件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为元件时，销售量为件，销售单价每件降低 元，就可多售出件． （1）写出销售量件与销售单价元件之间的函数关系式． （2）写出销售该产品所获利润元与销售单价元件之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润． （3）若商场想获得不低于元的利润，同时要完成不少于件的该产品销售任务，则该商场应该如何确定该产品的销售单价 【答案】（1）；（2），最大利润为4500元；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据在一段时间内，销售单价为40元/件时，销售量为200件，销售单价每件降低1元，进行求解即可； （2）根据利润=（售价-进价）×数量，列出关系式，然后利用二次函数的性质进行求解即可； （3）先求出当商场销售利润不低于元时，，再由要完成不少于320件的该产品销售任务得到，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）由题意得：， ∵， 当时， 有最大值，最大值为， ，商场获得的最大利润是元． （3）当时，即， 解得，． 当时，商场销售利润不低于元． 又∵， 解得， ． 该商场确定该产品的销售单价元件 应该为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出W关于x的表达式． 25. 已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点 ，直线 以从点 出发，沿 方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点 ，过点 作，交于点 （1）求线段 的长；（用含 的代数式表示） （2）设的面积为 （单位：），求 与 的函数关系式； （3）是否存在某时刻 ，使线段恰好经过点 ？若存在求出此时 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在某时刻 ，使线段恰好经过点 ， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出 ，，，，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可； （2）过点Q作于点E，解直角三角形求出，，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）过点Q作于点E，求出，，根据得出，再根据解析（2）得出，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵菱形中，， ∴ ，，， ， ∴， 根据平移可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点Q作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 解：存在某时刻 ，使线段恰好经过点 ； 过点Q作于点E，如图所示： 则， 根据解析（2）可知：，， ∵， ∴， 当经过点O时，， ， 根据解析（2）可知：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的相关计算，三角形面积的计算，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $