精品解析：2024年山东省青岛市市南区中考二模数学试题

2023—2024学年度第二学期阶段性学业水平质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 本试题共有26道题，其中1—10题为选择题，共30分；11～16题为填空题，共18分；17题为作图题，共4分；18—26题为解答题，共68分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 绝对值等于5的有理数是( ) A. ±5 B. 5 C. D. 2. 下列是人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “五一”小长假出行数据显示，4月30日至5月5日，全国铁路、民航以及道路客流量合计将达到250000000人次左右，则250000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 求不等式组的解集，下面结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是斜边的中线，E，F分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算的结果为______． 12. 某城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）、采购小组分别从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 方差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.5 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购______苗圃的树苗． 13. 如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点B，则的值为______． 14. 某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为______． 15. 如图，半径为2的过正五边形的顶点C、D，与边、分别相切于点M、N，则劣弧的长度为______． 16. 如图，正方形纸片，P为边上的一点（不与点A，D重合）．将纸片折叠，使点B落在点P处，点C在点G处，交于点H，折痕为，连接，交于点M，连接．下列结论正确的有______．（填写序号） ①；②；③；④平分；⑤． 三、作图题（本题满分4分） 17 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，矩形区域是正在改造青岛火车站南广场的一部分．喜欢设计的小明在这一区域内设计了一个圆形休闲广场，要求这个圆与三条道路相切，请画出这个圆． 四、解答题（本题满分68分，共有9运小题） 18. （1）化简：． （2）关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 19. 小明、小华两位同学相约打羽毛球． （1）有款式完全相同的3个羽毛球拍，分别记为A，B，C．小明从中随机选取1个，则小明选中球拍A的概率为______． （2）为了决定谁先发球，两人一起设计了一个游戏：在一个口袋中装有四个小球，分别标有数字，球除数字外都相同，小明从口袋中随机摸出一球，记下数字后放回摇匀，小华再从中随机摸出一球，若两球上的数字之积小于或等于，则小明先发球，否则小华发球，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 20. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某中学为了迎接这一体育盛事的到来，组织七、八年级学生开展了奥运知识竞赛，为了解竞赛情况，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：：，：，：，：8.5分以下，得分在9分及以上为优秀）下面给出了部分信息： 七年级组同学的分数分别为：8.8，8.9，8.6，8.5； 八年级组同学的分数分别为：8.9，8.8，8.8，8.6，8.9，8.9，8.7，8.9，8.9． 七年经选取的学生竞赛成绩条形统计图　　　　八年级选取的学生竞赛成绩扇形统计图 七年级选取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 8.8 9.5 八年级 88 8.9 （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在此次奥运知识竞赛中，哪个年级学生对奥运知识的了解情况更好？请说明理由；（至少写出2条理由） （3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，请根据样本估计该校这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 21. 如图，在中，，，是边上一点，，点分别在边上，且． （1）如图，若，则______； （2）如图，若，则线段之间的数量关系：______； （3）请你通过类比、猜想、归纳，写出之间数量关系的一般结论：______． 22. 如图，数学课外兴趣小组决定利用无人机测量一下学校教学楼的高度，无人机起飞点在C处，经过一段时间飞行，无人机悬停在空中D处，此时操控者读取了无人机操作显示器上的部分数据：D离地面的垂直距离为36米，C处俯角为，教学楼顶点A处的俯角为，又经过人工测量，C与教学楼底端B距离为66米，已知点A，B，C，D都在同一平面上，求教学楼的高度 （结果精确到0.1米，参考数据：） 23. 为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个． （1）求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？ （2）该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 25. 如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ （3）水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 26. 如图，在菱形中，，，对角线和交于点，点从出发，沿方向向匀速运动，速度为；同时，点从出发，沿方向向匀速运动，速度为．连接，将沿折叠，得到，设运动时间为，请解答下列问题： （1）连接和，何值时，？ （2）连接，求四边形面积与的函数关系式；并求当为何值时，有最大值？最大值是多少？ （3）连接，是否存在某一时刻，使得平分？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期阶段性学业水平质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 本试题共有26道题，其中1—10题为选择题，共30分；11～16题为填空题，共18分；17题为作图题，共4分；18—26题为解答题，共68分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 绝对值等于5的有理数是( ) A. ±5 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的性质即可求解. 【详解】∵，∴绝对值等于5的有理数是±5， 故选A. 【点睛】此题主要考查绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质. 2. 下列是人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答． 【详解】解：．既是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D 3. “五一”小长假出行数据显示，4月30日至5月5日，全国铁路、民航以及道路客流量合计将达到250000000人次左右，则250000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 详解】解：, 故选：B． 4. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据三视图的定义，得到从几何体正面看得到的平面图形即可． 【详解】解：从正面看，底层左侧是两个小正方形，右侧有一个小矩形，只有B选项符合题意， 故选：B． 5. 求不等式组的解集，下面结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再取其公共部分即可． 【详解】解 解不等式①得：； 解不等式②得 ：； ∴不等式组的解集为：， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 观察图像可知： 故选：C． 7. 如图，是斜边的中线，E，F分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理，先根据直角三角形斜边的中线的概念求出，进而得到，由勾股定理求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：是斜边的中线， ，， ， ， ， ， E，F分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 8. 如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，由平行线的性质结合圆周角定理得出，，由直角三角形两锐角互余得出，计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：C． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据二次函数的图象得出，，，，从而得出，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点， ，，，， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， 在抛物线中，当时，， 反比例函数经过第一、三象限， 故选：A． 10. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为个、个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据、的系数表示出并判断为5的倍数，然后选择答案即可．本题考查了二元一次方程组的应用，根据系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正好是5的倍数是解题的关键，也是解题的突破口． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为个、个，根据题意得， ， 两式相加得，， 、都是正整数， 是5的倍数， 、2024、2025、2026四个数中只有2025是5的倍数， 的值可能是2025． 故选：B． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算的结果为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算及零指数幂，分别计算二次根式的乘法和零指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：3． 12. 某城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）、采购小组分别从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 方差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.5 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购______苗圃的树苗． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，平均数的意义，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好，根据方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的平均高度，进而确定选购哪家的树苗． 【详解】解：由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适； 又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃树苗． 故答案为：丁． 13. 如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点B，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，由菱形的顶点的坐标为，可求得，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得的值，注意根据菱形的性质求得点的坐标是关键． 【详解】解：∵点的坐标为顶点在轴的正半轴上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过顶点B， ∴， 故答案为：． 14. 某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二次函数，根据总利润单件利润销售量，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故， 故答案为：． 15. 如图，半径为2的过正五边形的顶点C、D，与边、分别相切于点M、N，则劣弧的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、正多边形和圆、弧长公式，熟记正多边形的内角公式和弧长公式是解答的关键． 连接，，首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算． 【详解】解：如图：连接，， ∵半径为2的过正五边形的顶点C、D，与边、分别相切于点M、N， ∴，，， ∴， ∵半径为2， ∴劣弧的长度为：． 故答案：． 16. 如图，正方形纸片，P为边上的一点（不与点A，D重合）．将纸片折叠，使点B落在点P处，点C在点G处，交于点H，折痕为，连接，交于点M，连接．下列结论正确的有______．（填写序号） ①；②；③；④平分；⑤． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】过点F作，垂足为，过点B作，垂足为，根据折叠的性质，得到，得到，结合正方形的性质，进而得到，证明，即可判断①；根据，证明，得到，即可判断②；根据翻折不变性可知：，得到． 由，推出． 即．由， 得到． 推出，易证，得到，再证明 ，得到，即可判断③④；根据勾股定理即可判断⑤． 【详解】解：过点F作，垂足为，过点B作，垂足为， 则， 根据折叠的性质得：，， 是正方形， ， ， ， ， ， ， ；故①正确； ， ， ， ， ， ，故②正确； 根据翻折不变性可知：， ． ， ． 即． ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， ，平分；故③④正确； ，， 一定相等时，有， 不一定相等，故⑤错误， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题属于几何综合题，考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考选择题中的压轴题． 三、作图题（本题满分4分） 17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，矩形区域是正在改造的青岛火车站南广场的一部分．喜欢设计的小明在这一区域内设计了一个圆形休闲广场，要求这个圆与三条道路相切，请画出这个圆． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图、矩形的性质、切线的判定与性质等知识点，作平分，平分，、交于点，作于，以点为圆心，为半径的即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，圆即为所求， 四、解答题（本题满分68分，共有9运小题） 18. （1）化简：． （2）关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）且． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简和一元二次方程根的判别式，熟练掌握分式的运算法则和一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键． （1）先计算括号内的减法，再计算除法即可； （2）根据根的情况列出关于m的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）解：由题意得： ， ， 且． 19. 小明、小华两位同学相约打羽毛球． （1）有款式完全相同的3个羽毛球拍，分别记为A，B，C．小明从中随机选取1个，则小明选中球拍A的概率为______． （2）为了决定谁先发球，两人一起设计了一个游戏：在一个口袋中装有四个小球，分别标有数字，球除数字外都相同，小明从口袋中随机摸出一球，记下数字后放回摇匀，小华再从中随机摸出一球，若两球上的数字之积小于或等于，则小明先发球，否则小华发球，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 【答案】（1） （2）游戏不公平 【解析】 【分析】本题考查概率公式，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握用列表法和画树状图法求等可能事 件的概率的方法是解题的关键． （1）估计概率公式直接求出即可； （2）利用列表法或画树状图法求出小明先发球和小华先发球的概率，再比较概率大小即可． 【小问1详解】 解：∵3个羽毛球拍，从中随机选取1个，有3种可能，小明选中球拍A有1种可能， ∴小明选中球拍A的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有16种等可能的情况，其中两球上的数字之积小于或等于有6种可能的结果， ∴，， ∵， ∴这个游戏不公平． 20. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某中学为了迎接这一体育盛事的到来，组织七、八年级学生开展了奥运知识竞赛，为了解竞赛情况，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：：，：，：，：8.5分以下，得分在9分及以上为优秀）下面给出了部分信息： 七年级组同学分数分别为：8.8，8.9，8.6，8.5； 八年级组同学的分数分别为：8.9，8.8，8.8，8.6，8.9，8.9，8.7，8.9，8.9． 七年经选取的学生竞赛成绩条形统计图　　　　八年级选取的学生竞赛成绩扇形统计图 七年级选取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 8.8 9.5 八年级 8.8 8.9 （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在此次奥运知识竞赛中，哪个年级学生对奥运知识的了解情况更好？请说明理由；（至少写出2条理由） （3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，请根据样本估计该校这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1），，； （2）七年级学生对奥运知识的了解情况更好，理由见解析； （3）531人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、众数、中位数、由样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据中位数、众数的定义结合统计图的相关信息计算即可得出答案； （2）根据表格中的数据即可得出答案； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 八年级组同学的分数可知：出现的次数最多，故， ； 【小问2详解】 解：七年级学生对奥运知识的了解情况更好， 理由：由表格可知，七年级学生对奥运知识的了解的众数高于八年级学生对奥运知识的了解的众数，七年级学生对奥运知识的了解的优秀率高于八年级学生对奥运知识的了解的优秀率； 【小问3详解】 解：由题意可得： （人）， 故估计该校这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人． 21. 如图，在中，，，是边上一点，，点分别在边上，且． （1）如图，若，则______； （2）如图，若，则线段之间的数量关系：______； （3）请你通过类比、猜想、归纳，写出之间数量关系的一般结论：______． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）由“”可证，可得，即可求解； （）先证和是等腰直角三角形，可得，，，，，再证，设，，通过证明，可求，即可求解； （）先证和是等腰直角三角形，可得，，，，，再证，设，，通过证明，可求，即可求解． 【小问1详解】 连接， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 过点作于，于， ∵，， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 如图，过点作于，于， ∵，， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质和矩形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 如图，数学课外兴趣小组决定利用无人机测量一下学校教学楼的高度，无人机起飞点在C处，经过一段时间飞行，无人机悬停在空中D处，此时操控者读取了无人机操作显示器上的部分数据：D离地面的垂直距离为36米，C处俯角为，教学楼顶点A处的俯角为，又经过人工测量，C与教学楼底端B距离为66米，已知点A，B，C，D都在同一平面上，求教学楼的高度 （结果精确到0.1米，参考数据：） 【答案】教学楼的高度约为19.3米． 【解析】 【分析】过点C作，垂足为F，延长交于点G，本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键，过点C作，垂足为F，延长交于点G． 由题意得：米，米，解直角三角形，根据角度与线段的关系，进行计算解答即可． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为F，延长交于点G， 由题意得：， 四边形是矩形 米，米， 在中， （米）， ∴（米）， 在中，， （米）， （米）， 答：教学楼的高度约为19.3米． 23. 为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个． （1）求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？ （2）该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）一个扇面进价是10元，一个人偶进价是9元 （2）应购买扇面150个，人偶50个，最大利润是1260元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． （1）设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元，根据700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设应购买扇面个，则购进人偶个，根据购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．列出一元一次不等式组，解得，再设两种货品全部售出后所获利润为元，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一个扇面进价是10元，一个人偶进价是9元； 【小问2详解】 解：设应购买扇面个，则购进人偶个， 由题意得：， 解得：， 设两种货品全部售出后所获利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 此时，， 答：应购买扇面150个，人偶50个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大，最大利润是1260元． 24. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2）时，四边形是矩形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质得出，，推出，即可证明； （2）求出，由全等三角形的性质可得，证明，得出四边形是平行四边形，求出，即可得证． 【小问1详解】 证明：和为等腰直角三角形， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形，证明如下： ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 25. 如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ （3）水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 【答案】（1） （2）米 （3）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键． （1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为．故设该二次函数的解析式为：，再结合经过原点，求出a即可得解； （2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：，从而可得当时，，进而可以判断得解； （3）依据题意，可得，B的坐标为，再设的解析式为，建立方程组可得k，b进 而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意得：二次函数的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为： 二次函数经过原点， 解得： 该二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解： 当时， 答：护栏最大高度为米． 【小问3详解】 解：点的坐标为，点的坐标为 设的解析式为 解得： 解得：（不合题意，舍去）， 当时， 答：河水降至离路面距离米时，水柱刚好落在水面上． 26. 如图，在菱形中，，，对角线和交于点，点从出发，沿方向向匀速运动，速度为；同时，点从出发，沿方向向匀速运动，速度为．连接，将沿折叠，得到，设运动时间为，请解答下列问题： （1）连接和，为何值时，？ （2）连接，求四边形的面积与的函数关系式；并求当为何值时，有最大值？最大值是多少？ （3）连接，是否存在某一时刻，使得平分？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），时，最大值为54 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明，得出，代入数据计算即可得解； （2）过点作于，过点作于，根据菱形的面积得出，证明得出，求得，由得出函数关系式，由二次函数的性质即可得出答案； （3）过点作，求出，得到，证明，得出，，，从而得出方程，计算即可得解． 【小问1详解】 解：沿折叠， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：过点作于，过点作于， ， ， ， ． ， ， ， 开口向下，当时，有最大值为54． 【小问3详解】 解：过点作， ， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ，，， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、二次函数的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$