高考模拟测试卷03（考前增强信心卷）-2025年高考数学最后冲刺题型秒杀专项训练（上海专用）

2025年上海市高考模拟测试卷03（考前增强信心卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题 1．设全集，若集合，则 ． 【答案】 【分析】结合题意，由补集的运算直接求出即可. 【解析】由题意可得. 故答案为：. 2．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】移项，通分即可求解； 【解析】由， 可得， 即，即， 所以， 所以解集为：， 故答案为： 3．已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标. 【解析】圆的方程是，即， 所以圆心的坐标为. 故答案为： 4．已知平面向量的夹角为，则 【答案】 【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案. 【解析】， 所以． 故答案为：. 5．若，则 【答案】 【分析】化简得到，再利用二倍角公式计算得到答案. 【解析】，. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为 ． 3 4 5 6 2.5 3 4 【答案】 4.5 【分析】根据回归直线过样本中心点得出. 【解析】，. 故答案为： 7．函数的严格减区间是 . 【答案】和 【分析】画出函数图象，数形结合得到严格减区间. 【解析】函数， 可作出函数的图像，如图， 由图可知，函数的严格减区间为：和. 故答案为：和 8．已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为 ． 【答案】18π 【分析】由圆柱的侧面积公式与圆面积公式求得底面半径和高，再由体积公式计算． 【解析】设圆柱底面半径为，高为， 由题意，解得， 所以体积为． 故答案为：． 9．从甲､乙､丙､丁､戊等5名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人中只有1人被选到的概率为 .（用数字作答） 【答案】/ 【分析】先计算出从5名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人中只有1人被选到的情况，从而得解. 【解析】从5名同学中选2名同学共有种情况， 其中甲､乙两人中只有1人被选到有种情况， 故所求概率为. 故答案为：. 10．已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为 【答案】 【分析】根据题意，结合双曲线的定义求解即可. 【解析】解：如图，设的边长为，， 因为为等边三角形，所以， 由双曲线的方程知， 所以由双曲线的定义得， 即，解得，. 所以的边长为. 故答案：. 11．凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．如图，在凸四边形中，，，，当变化时，对角线的最大值为 【答案】 【分析】设，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，利用余弦定理求得对角线，根据三角恒等变换求出的最大值即可． 【解析】设，在中 由余弦定理，可得， 即， 因为，所以， 在中， ， 因为，所以可以取到最大值， 所以． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题． 12．定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为 . 【答案】 【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案. 【解析】，即，，故集合表示双曲线上支的点， 集合表示直线上的点， ，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为. 双曲线的渐近线为，不妨取，则，即， 平行线的距离，故或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键. 二、单选题 13．设为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 【解析】，故， 故选：D 14．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（    ） A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数 【答案】A 【分析】分别求出平均数、第50百分位数、极差、众数，即可得到答案 【解析】平均数为； ，则第50百分位数为； 极差为； 众数为 故平均数最大 故选：A. 15．设函数，，，则可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可知为函数的最大值和最小值，再写出自变量的取值，作差变形即可求解． 【解析】因为，且， 所以为函数的最大值和最小值， 不妨设，即， 所以， 又，所以， 所以当时，，即可以是3， 故选：A． 16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【分析】对于①，列举验证，对于②，列举验证. 【解析】当时， ，此时， ，此时， ，此时， 故存在，使为常数列；①正确； 设，则有个零点， 则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点， 因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点， 同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点， 故，所以是公差为的等差数列，故②正确. 故选：C. 三、解答题 17．如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，. (1)求证：平面平面； (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直； （2）等体积法求解点到平面的距离. 【解析】（1）因为四棱柱为正四棱柱， 所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD， 因为平面ABCD，所以⊥BD， 因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接， 因为正方形的边长为，， 所以，， 由三线合一可得：⊥BD，且， 由勾股定理得：， 所以， 故， 又，平面 故， 由， 故点A到平面的距离为. 18．已知函数，其中，且． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分段解不等式，再相并即可得解； （2）当和时，利用图象列式可求出结果，当时，根据函数的单调性以及，可知不符合题意. 【解析】（1）当时，，则， 当时，解不等式，解得，故， 当时，解不等式，解得，故， 所以实数的取值范围是； （2）①当时， 由图可知，当时，存在直线与有两个交点， 由，解得，故； ②当时， 由图可知，当时，存在直线与有两个交点， 即，解得，故； 当时，函数在和上都为增函数，且， 所以为增函数， 所以不存在实数使得方程有两个实根， 综上所述：实数的取值范围是为. 19．某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元.假设当天进货能全部售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元.根据销售经验，每天晚七点前的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关.为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、晚七点前购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示： 每天的浏览量 每天晚七点前的购买量 300 900 天数 36 24 以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率. (1)求4月份草莓一天晚七点前的购买量（单位：盒）的分布； (2)设4月份销售草莓一天的利润为（单位：元），一天的进货量为（单位：盒），为正整数且，当为多少时，的期望达到最大值，并求此最大值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)当时的期望达到最大值，. 【分析】（1）依题意的可能取值为、，求出所对应的概率，即可得到概率分布列； （2）依题意可得的可能取值为或，求出所对应的概率，即可得到 【解析】（1）依题意的可能取值为、， 则，， 所以的分布列为 （2）当一天的进货量为（单位：盒），为正整数且时利润的可能取值为或， 且，， 所以， 显然随着的增大而减少，所以当时的期望达到最大值，. 20．椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解. （2）求出以线段为直径的圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可. （3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建立不等式求解. 【解析】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 21．已知，记，，． (1)试将、、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数； (2)借助（1）的结果，求函数的导函数和最小值； (3)记，a是实常数，函数的导函数是．已知函数有三个不相同的零点．求证：． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3)见解析. 【分析】（1）直接计算即可； （2）利用复合函数求导法则得，再结合导数和函数最值的关系即可得到答案； （3）首先求出，求出其单调性，假设，再利用函数的单调性即可证明. 【解析】（1） （2）利用复合函数的求导法则可求得, 令,可求得: 令，，，所以， 解得，当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以函数的最小值为. （3） 由， ， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 因为函数有三个不相同的零点. 而的零点为1,不妨设,则的零点为. 不妨设,则. 令， 则. 令,则, 所以当时,，所以当时,是严格单调递增的, 所以当时,, 所以当时,, 则在上单调递增， 所以在上，,所以. 又,所以, 即. 又函数在上单调递增,所以， 即. 综上,. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键需要求出函数的单调性，再得到其导函数的零点，从而得到三个零点中的一个具体值，再假设，则题目转化为证明，再次构造函数，利用导函数得到其单调性，从而证明不等式成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市高考模拟测试卷03（考前增强信心卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集，若集合，则 ． 2．不等式的解集为 . 3．已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 4．已知平面向量的夹角为，则 5．若，则 6．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为 ． 3 4 5 6 2.5 3 4 7．函数的严格减区间是 . 8．已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为 ． 9．从甲､乙､丙､丁､戊等5名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人中只有1人被选到的概率为 .（用数字作答） 10．已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为 11．凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．如图，在凸四边形中，，，，当变化时，对角线的最大值为 12．定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．设为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 14．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（    ） A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数 15．设函数，，，则可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，. (1)求证：平面平面； (2)求点A到平面的距离. 18．已知函数，其中，且． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围． 19．某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元.假设当天进货能全部售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元.根据销售经验，每天晚七点前的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关.为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、晚七点前购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示： 每天的浏览量 每天晚七点前的购买量 300 900 天数 36 24 以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率. (1)求4月份草莓一天晚七点前的购买量（单位：盒）的分布； (2)设4月份销售草莓一天的利润为（单位：元），一天的进货量为（单位：盒），为正整数且，当为多少时，的期望达到最大值，并求此最大值. 20．椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 21．已知，记，，． (1)试将、、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数； (2)借助（1）的结果，求函数的导函数和最小值； (3)记，a是实常数，函数的导函数是．已知函数有三个不相同的零点．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$