精品解析：2025年黑龙江省大庆市第六十九中学二部中考数学二模试卷

2024—2025学年度第二学期初四数学试题 注意事项 1．本试卷共5页、28题、120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，由绝对值的意义可得，再根据倒数的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，需要观察原数的小数点移动位数．当原数小于1时，为负数，其绝对值等于小数点向右移动的位数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 4. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可．，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：从左面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下： 故选：． 5. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31；改变这组年龄数据某1个数字的值后，新数据的下列统计量，与原数据相比，一定发生变化的是（     ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 极差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、极差和平均数，根据众数、中位数、极差和平均数定义即可求解，掌握众数、中位数、极差和平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵中位数、众数、极差只与一组数据中的部分数据有关系， ∴中位数、众数、极差不一定发生变化， 平均数与每个数据有关系， ∴平均数一定发生变化， 故选：C． 6. 已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，x的值为1或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； B、由图象可知：，故，该选项正确，符合题意； C、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； D、由图象可知，与轴的交点为，故当时，x的值为1或或0，，该选项错误，不符合题意； 故选B． 7. 下列说法不正确的是（     ） A. 斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 B. 一款跑步鞋在进价的基础上提高标价，商场为了促销打八折销售，仍可获利元， 则这款跑步鞋的进价为元 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 D. 甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形，一元一次方程的应用，圆周角定理，方差与标准差，根据全等三角形，一元一次方程的应用，圆周角定理，方差与标准差逐一判断即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵斜边相等的两个等腰直角三角形， ∴直角边也对应相等， ∴这两个等腰直角三角形一定全等，原选项说法正确，不符合题意； 、设进价为元，则标价为（元），售价为（元）， ∴， 解得：， ∴原选项说法正确，不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补 ，原选项说法错误，符合题意； 、甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 8. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 9. 题目：“要在边长为10的正方形内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形，若该正多边形能在正方形内(含边界) 自由旋转，求其边长的最大值d． 例如，当正多边形为正六边形时，如图1，该正六边形边长的最大值．” 甲：当正多边形为正方形时，如图2，该正方形边长的最大值； 乙：当正多边形为等边三角形EFG时，如图3，该等边三角形的边长的最大值．针对甲和乙的答案． 下列判断正确的是（ ） A. 甲和乙都对 B. 甲和乙都不对 C. 甲对乙不对 D. 甲不对乙对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，若正多边形能在正方形内自由旋转，需满足正多边形的半径等于正方形内切圆的半径5，依次求解即可；能理解正多边形能在正方形内自由旋转所需的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，若正多边形能在正方形内自由旋转，需满足正多边形的半径等于正方形内切圆的半径5， 对于甲：当正多边形为正方形时，若能自由旋转，且正方形边长最大时， 直径、需满足，此时边长 即 ； 对于乙：如图， 当正多边形为等边三角形时，若能自由旋转，且等边三角形边长最大时，其半径，此时等边三角形的边长 ，即d ． 甲和乙的答案均正确， 故选A． 10. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ） A. B. C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的算术平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解： ∴的算术平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键． 先根据一元二次方程的根的定义可得，再作为整体代入即可得． 【详解】解：由题意得：，即， 则 ， 故答案为：2023． 13. 不等式组的解集为，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和有理数的乘方，先求出不等式组上的解集，得出m，n的值，再进行乘方运算即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 又， ， ∴， 故答案为：2． 14. 如图所示是小华设计的物理电路图，假设开关①、②、③、④都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ① ② ③ ④ ① ①，② ①，③ ①，④ ② ②，① ②，③ ②，④ ③ ③，① ③，② ③，④ ④ ④，① ④，② ④，③ 共12种等可能的结果，其中能让小灯泡发光的结果有4种， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，AB=AC=2cm，∠CBA=30°，以A为圆心，AB为半径作弧BEC，以BC为直径作半圆弧BFC，则图中阴影部分面积等于___________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CBF的面积＋△ABC的面积−扇形ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出商标图案的面积 【详解】过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 16. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，，则第个图形中棋子的颗数为______．     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形规律，由第个图形有棋子（颗），第个图形有棋子（颗），第个图形有棋子（颗），，然后根据此规律解答即可，观察图形、发现排列规律是解题的关键． 【详解】解：∵第个图形有棋子（颗）， 第个图形有棋子（颗）， 第个图形有棋子（颗）， ， ∴第个图形中的棋子数为（颗）， 故答案为：． 17. 我们把a，b，c三个数的中间值记作，例如，；若直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： 根据题意画出函数的图象，找到临近点，进行求解即可． 【详解】解：由题意，函数 画出函数图象如图所示， ∵直线与函数的图象有且只有2个交点， 当直线经过点时， 则， 解得：， 当直线经过点时， 解得：， 此时直线与函数的图象恰好有3个交点， 当时，平行于， 与函数的图象也有且仅有两个交点； ∴直线与函数的图象有且只有2个交点，k的取值为：或． 故答案为：或． 18. 如图，在梯形中，，，，且，线段上一点，；点E在半径为10的上运动，点F为梯形内部任意一点，且满足，；点在线段上运动，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，交于点，在上取点，使得，根据两边对应成比例且夹角相等证得，从而由相似三角形的对应边成比例求得，即点在以点为圆心，半径为 5 的圆上运动．作点关于的对称点，连接，则，因此有．连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点．通过解直角三角形在中，求得，，在中，，，，在中，，因此在矩形中，，，进而求得，，在中，根据勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：连接，过点作，交于点，在上取点，使得， ， ，即， ，， ， ， ， ， 点在以点为圆心，半径为的圆上运动， 作点关于的对称点，连接，，则， ， ， 连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点， ，， ， 在中，， ， 点与关于对称， ， ，， 四边形，四边形，四边形都是矩形， ， 在中，，又， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在矩形中，，， 点与关于对称， ， ， 在中，， ， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查最短路径问题，相似三角形的判定及性质，轴对称的性质，矩形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等．掌握最短路径中的将军饮马问题，瓜豆原理是解题的关键． 三．解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂，负整数幂以及三角函数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，从，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，4. 【解析】 【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可. 【详解】原式 ． ∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝＝4． 【点睛】本题考查的是分式的运算和分式存在有意义的条件，根据分式有意义的条件挑选出合适的值代入是解题的关键. 21. 国产动画电影《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙相关商品也火热登场．新玛特商场专柜销售哪吒和敖丙的两款摆件，哪吒摆件单价比敖丙摆件单价高，用600元购买哪吒摆件的数量比用800元购买敖丙摆件数量少20个．求哪吒摆件和敖丙摆件的单价分别是多少元？ 【答案】30元，20元 【解析】 【分析】设敖丙摆件单价为x元，则哪吒摆件的单价为x元，根据题意得：20，解方程即可 ． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设敖丙摆件单价为x元，则哪吒摆件的单价为x元， 根据题意得：20， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元） 答：哪吒摆件单价是30元，敖丙摆件的单价是20元． 22. 如图，某校科技节，该校无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面的处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度是多少（结果保留根号）？ （2）求教学楼的高度（结果取整数）． （参考数据：） 【答案】（1）米； （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作，在中即可求解； （2）在中求出，可进一步求解． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： 由题意得： 在中， ∴（米） ∴（米） 故：无人机D与教学楼之间的水平距离的长度是米． 【小问2详解】 解：在中， ∴（米） ∴（米） 故：教学楼的高度为米． 【点睛】本题考查三角函数的实际应用．根据题意建立直角三角形是解题关键． 23. 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．我国以为代表的人工智能科技公司迅速崛起，不断改变着我们的现代生活方式．为培养学生创新思维，提升科技素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分），进行了统计分析： 【收集数据】（1）随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_______．（只填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩 ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩 ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩 ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）．如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） a 57 45 27 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （2）①填空：抽取学生竞赛成绩的样本容量为 ；_______； ②抽取样本的中位数所在组别是 组； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是_______ °； （4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）④ （2）①150；21 ②B （3）108 （4）720人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，统计表，样本估计总体，中位数，看懂统计图是解题的关键． （1）根据样本具代表性，避免偏差．即可得出答案， （2）根据组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求出的值，再根据中位数定义求出中位数在第几组； （3）用乘以组人数的占比即可求解； （4）用乘以分以上(含分)的人数占比即可求解； 【详解】解：（1）正确的抽样方法应该是能够代表整个学校的情况，避免偏差．选项①只抽一个班，可能这个班的成绩不能代表全校；选项②一个年级同理；选项③只抽女生，明显存在性别偏差；而选项④则分层抽样，每个年级每个班都抽，这样样本更具代表性．所以最合适的方法是：​④​（分别从各年级的每个班随机抽取学生，确保样本代表性）， ​（2）①B组人数为57，占总体的百分比为，总样本容量为， 因此，总样本数组人数． 故答案为：150，21； ②样本容量150，那么中位数为第人成绩的平均数，由于A组人数21人，组人数人， ∴抽取样本的中位数所在组别是组， 故答案为：； ​（3）C组圆心角度数为． 故答案为． ​（4）全校优秀人数估计为人． 答：估计该参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数大约是人． 24. 如图，在中，于点E；F是上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形 ． （2）沿直线折叠，点C恰好落在矩形的对角线的中点H 处，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，等边三角形和中线性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，并证得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知四边形是矩形，结合锐角三角函数得出，即可求出，进一步得出为等边三角形以及，即可结合得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴即，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵是中点，， ∴， ∵由折叠可知， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，即是的中线， ∴， ∴． 25. 某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． （1）每件商品在第50天出售时的利润是______元； （2）求图1表示商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； （3）若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【答案】（1）100 （2） （3）从开始销售的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用． （1）当时，设y与的函数关系式为，图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后将求得y的值，然后依据利润售价成本求解即可； （2）当时，设y与的函数关系式为．图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后结合（1）中的关系式可得到y与的关系式； （3）抛物线的顶点坐标为，设商品的成本与时间的关系式为，然后可求得的解析式，然后由得到与的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100； 【小问2详解】 解：由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 26. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； （3）如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）法1：作轴交直线于点，根据，即可求． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，根据与同底等高，，即可求； （3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可证明，得，设，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点的坐标． 【小问1详解】 解：点在一次函数上， ， 一次函数的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为； 小问2详解】 解：法1：作轴交直线于点， ， ， ， ， ． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点， 连接， 与同底等高， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于， 由旋转的性质可知：， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 点， 为等腰直角三角形． 设，则， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，， 点坐标为． 【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解． 27. 如图，是的外接圆，为直径，点是的中点，连接，，过点作交的延长线于点，使得． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若的半径，，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（）连接，可得，进而由得，即可求证； （2）证明，即可得证； （）过点作于点，可证，即得，得到，进而由三角函数得，即由勾股定理得，又根据角平分线的性质可得，利用的面积可求得，即得，，最后根据即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， 过半径的外端点，且， 为切线； 【小问2详解】 证明：∵点是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ， 在中，，， ， ∴， ，，， ， ∴， ∴， ， ，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 如图，直线与抛物线：交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线． （1）若点A的横坐标为，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，如图1，抛物线上两点D、E，其中点D与点B纵坐标相等，点E在直线下方抛物线上运动；连接交直线于点F．求的最大值，及此时的点E坐标； （3）将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．则直线是否恒过一个定点？若是求出该点坐标，若不是请说明理由． 【答案】（1）或 （2）； （3）是； 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数与相似三角形的综合问题，根与系数的关系等知识，运用数形结合思想和函数交点与方程（组）的关系是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）作轴，作轴，联立方程组可求出点的坐标，继而求出点H的坐标，点 ，证明，得到，即，再根据二次函数的最值求解即可； （3）根据题意得出的解析式为，令，利用根与系数的关系得出得出，，设直线的解析式为，令，同理得出，设直线的解析式为，令，再同理得出，继而得到，设直线的解析式为，令，得到，得到，从而得到直线的解析式为，从而求出定点． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，设顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把A的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 或 ； 【小问2详解】 解：作轴，作轴，分别交直线与点H、G 由题意得，， 解得或， ∴， ∵点D与点B纵坐标相等， ∴点D与点B关于直线对称， ∴ ∵点H在直线上，横坐标是， ∴ 则 设点 ) 则点G(t， t) ∴ ∵轴，作轴 ∴ ， ， ∴ ∴ ， 即 ∴ 当 时，有最大值， 此时，点； 【小问3详解】 证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 令， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，即时，， ∴直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期初四数学试题 注意事项 1．本试卷共5页、28题、120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 清代袁枚一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31；改变这组年龄数据某1个数字的值后，新数据的下列统计量，与原数据相比，一定发生变化的是（     ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 极差 6. 已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，x的值为1或 7. 下列说法不正确的是（     ） A. 斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 B. 一款跑步鞋在进价的基础上提高标价，商场为了促销打八折销售，仍可获利元， 则这款跑步鞋的进价为元 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 D. 甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差 8. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 题目：“要在边长为10的正方形内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形，若该正多边形能在正方形内(含边界) 自由旋转，求其边长的最大值d． 例如，当正多边形为正六边形时，如图1，该正六边形边长的最大值．” 甲：当正多边形为正方形时，如图2，该正方形边长的最大值； 乙：当正多边形为等边三角形EFG时，如图3，该等边三角形的边长的最大值．针对甲和乙的答案． 下列判断正确的是（ ） A. 甲和乙都对 B. 甲和乙都不对 C. 甲对乙不对 D. 甲不对乙对 10. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ） A. B. C. 20 D. 24 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的算术平方根是___________． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是________． 13. 不等式组的解集为，则________． 14. 如图所示是小华设计的物理电路图，假设开关①、②、③、④都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为______． 15. 如图，在△ABC中，AB=AC=2cm，∠CBA=30°，以A为圆心，AB为半径作弧BEC，以BC为直径作半圆弧BFC，则图中阴影部分面积等于___________cm2． 16. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，第个图形有颗棋子，，则第个图形中棋子的颗数为______．     17. 我们把a，b，c三个数中间值记作，例如，；若直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值范围是________． 18. 如图，在梯形中，，，，且，线段上一点，；点E在半径为10的上运动，点F为梯形内部任意一点，且满足，；点在线段上运动，连接，则的最小值为__________． 三．解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，从，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 21. 国产动画电影《哪吒2》以细腻笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙相关商品也火热登场．新玛特商场专柜销售哪吒和敖丙的两款摆件，哪吒摆件单价比敖丙摆件单价高，用600元购买哪吒摆件的数量比用800元购买敖丙摆件数量少20个．求哪吒摆件和敖丙摆件的单价分别是多少元？ 22. 如图，某校科技节，该校无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面的处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度是多少（结果保留根号）？ （2）求教学楼的高度（结果取整数）． （参考数据：） 23. 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．我国以为代表的人工智能科技公司迅速崛起，不断改变着我们的现代生活方式．为培养学生创新思维，提升科技素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分），进行了统计分析： 【收集数据】（1）随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_______．（只填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩 ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩 ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩 ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）．如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） a 57 45 27 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （2）①填空：抽取学生竞赛成绩的样本容量为 ；_______； ②抽取样本的中位数所在组别是 组； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是_______ °； （4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数． 24. 如图，在中，于点E；F是上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形 ． （2）沿直线折叠，点C恰好落在矩形的对角线的中点H 处，若，，求四边形的面积． 25. 某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． （1）每件商品在第50天出售时的利润是______元； （2）求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； （3）若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 26. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； （3）如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 27. 如图，是的外接圆，为直径，点是的中点，连接，，过点作交的延长线于点，使得． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若的半径，，求的长度． 28. 如图，直线与抛物线：交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线． （1）若点A的横坐标为，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，如图1，抛物线上两点D、E，其中点D与点B纵坐标相等，点E在直线下方抛物线上运动；连接交直线于点F．求的最大值，及此时的点E坐标； （3）将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．则直线否恒过一个定点？若是求出该点坐标，若不是请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$